6. ПРОСТРАНСТВО ГРАВИТАЦИОННЫХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Теперь мы дадим обзор некоторых результатов симплектической геометрии, которая служит основой для единообразного описания различных расщеплений, возможных в общей теории относительности [4]. Эти результаты основаны на общей редукции фазовых пространств, для которых имеется инвариантная относительно действия некоторой группы гамильтонова система [142]. Последующее применение этих результатов ведет к построению симплектического пространства гравитационных степеней свободы [93]. Основополагающими по содержанию данного раздела являются работы 11, 30, 138).

Пусть Р — некоторое многообразие и — симплектическая форма на Р, т. е. есть замкнутая (слабо) невырожденная -форма. В случае общей теории относительности Р есть и — каноническая симплектическая форма уже введенные в разд. 1.

Пусть — топологическая группа, действующая канонически на Р, т. е. для любого действие на Р сохраняет Допустим, что для этого действия существует импульс . Это означает, что есть отображение из Р в дуально к алгебре Ли группы С), такое, что

для всех где -соответствующий инфинитезимальный генератор (форма Киллинга) на Р и При ином способе введения от отображения требуется, чтобы для всякого оно было энергетической функцией гамильтонова векторного поля

Такое понятие импульса представляет собой существенную геометризацию различных теорем сохранения классической механики и теории поля, включая теорему Нётер.

Легко доказать следующее утверждение: если Я— гамильтонова функция на Р с соответствующим гамильтоновым векторным полем или, что то же самое, и если Я инвариантна относительно то есть интеграл движения для т. е. если есть поток то

В качестве примера рассмотрим группу действующую на конфигурационном пространстве Лифт действия этой группы в фазовое пространство является каноническим преобразованием. Импульс в этом случае определяется равенством

где принадлежит Если есть множество трансляций или вращений, то является импульсом или моментом импульса соответственно. Как и следовало ожидать, есть вектор, и трансформационным свойством, требующимся от этого вектора, является эквивариантность импульса или момента относительно косопряженного действия на т. е. диаграмма

должна быть коммутативной. Мы будем рассматривать лишь эквивариантные импульсы и моменты.

Имеется несколько классических теорем относительно редукции фазовых пространств. В небесной механике есть теорема Якоби об исключении узлов орбит, утверждающая, что во вращательно-инвариантной системе из общего числа переменных можно исключить четыре переменные и при этом в новых координатах система останется гамильтоновой. Другая классическая теорема гамильтоновой механики утверждает, что существование первых интегралов в инволюции позволяет сократить переменных в фазовом пространстве. Обе эти теоремы следуют из теоремы Марсдена и Вайнштейна 1142] о редукции фазового пространства.

Для построения этого редуцированного пространства положим

Рассмотрим Условие эквивариантности означает, что сохраняет и потому мы можем рассматривать . В случае когда представляет собой многообразие (т. е. является регулярной точкой) и действие на это многообразие является свободным и собственным, имеет место следующая теорема.

Теорема 37

наследует от Р естественную симплектическую структуру, и гамильтонова система на Р, инвариантная относительно канонического действия естественным образом проецируется на некоторую гамильтонову систему на Р.

В теореме Якоби об исключении узлов группы есть так что есть и косопряженное действие совпадает с обычным. Отсюда подгруппа изотропии точки есть Если размерность Р равна то есть множество решений для трех уравнений, и, следовательно, размерность равна . Для первых интегралов в инволюции группы есть -мерная абелева группа, поэтому косопряженное действие тривиально и Отсюда, размерность равна Другой известной теоремой, вытекающей из теоремы 37, является теорема Костанта—Кириллова, утверждающая, что орбита точки при сопряженном действии есть симплектическое многообразие.

Теперь мы покажем, как получить общую теорему расщепления для симплектических многообразий, одна часть которых касательна к редуцированному пространству Р [41. Она включает как частный случай теоремы расщепления для симметричных тензоров.

Теорема расщепления для симплектического многообразия Р требует положительно-определенной, но, возможно, только слабоневырожденной метрики или иной подобной структуры, задающей дуализацию. Если эти требования выполнены, то могут быть введены ортогональные дополнения. Допустим, нам известно, скажем из теоремы Фредгольма, что

(здесь — обычное -сопряжение). Ясно, что при конечном числе измерений это выполняется автоматически. Введем

где — алгебра Ли группы Допустим также, что имеется расщепление

Для этих двух расщеплений существует общее условие совместности, а именно арскег которое прямо следует из эквивари

антности. В самом деле,

Это условие совместности приводит к более тонкому расщеплению

т. е.

Заметим, что третье слагаемое есть касательное пространство к Р.

Рис. 2. Геометрия общего симплектического разложения.

Геометрическая картина показана на рис. 2. Для пояснения этого рисунка перечислим слагаемые в разложении (15) в виде

где

принадлежит ортогональному дополнению касательного пространства к уровню ;

принадлежит касательному пространству орбиты точки под действием ;

лежит в и является частью разложения, касательного к редуцированному симплектическому многообразию.

вместе составляют касательное пространство к

Основное расщепление в 1146] можно рассматривать как частный случай этого результата. Мы выберем а «группой» будет тогда множество пространственноподобных вложений М в гиперповерхности Коши в пространство-время с нулевым тензором Эйнштейна которое является максимальным развитием с некоторой гиперповерхности Коши

Хотя группой не является, но имеет достаточно сходства с группой, чтобы был применим наш анализ. «действует» на следующим образом (рис. 3). Пусть есть максимальное развитие данных Коши, которым обладают

как данные Коши на некоторой вложенной гиперповерхности уподобляется началу координат для Тогда отображает на индуцированные на гиперповерхности Множество всех таких определяет орбиту в Эти орбиты не имеют общих точек и потому определяют отношение эквивалентности

Рис. 3. Схема «действия» пространства вложений на пространстве данных Коши.

Хотя это не есть действие (поскольку Спростр не является группой), но все же здесь есть хорошо определенные орбиты и применим изложенный выше симплектический анализ [93]. С помощью сопряженной формы эволюционной системы Эйнштейна вычисляется импульс этого «действия» на касательный вектор с функциями длительности и сдвига X:

Здесь или можно рассматривать как элементы «алгебры Ли» группы

Поскольку совпадает в точности с множеством связей мы выберем , следовательно, Из уравнений движения находим, что

определяется через

и поэтому симплектическое разложение (15) принимает вид

представляет собой расщепление Монкри. Элементы первого слагаемого инфинитезимально деформируют в данные Коши,

которые не удовлетворяют уравнениям связи. Элементы второго слагаемого инфинитезимально деформируют в данные Коши, которые порождают некоторое изометрическое пространство-время, а элементы третьего слагаемого инфинитезимально деформируют в направлении новых данных Коши, порождающих неизометрическое решение уравнения поля в пустом пространстве с рис. 2). Это третье слагаемое представляет собой касательное пространство к редуцированному пространству

Рис. 4. Симплектическое разложение, примененное к уравнениям Эйнштейна для построения пространства гравитационных степеней свободы.

Существует единственный изоморфизм между этим фактор-пространством (по отношению эквивалентности, введенному выше) и пространством гравитационных степеней свободы

т. е. множеством максимальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна

по модулю группа пространственно-временных диффеоморфизмов Оно является пространством изометрических классов решений уравнений Эйнштейна в пустом пространстве или пространством гравитационных степеней свободы, поскольку координатная калибровочная группа отфакторизована.

Представление описанное здесь, мы называем динамическим представлением, так как оно использует каноническую

формулировку для определения Конформное представление см. в работах [53, 91, 176].

Как мы уже подчеркивали, в случае компактных гиперповерхностей отождествляются все которые возникают при разбиениях в максимальном пространстве-времени с нулевым тензором Эйнштейна. В некомпактном случае, как было показано в работах [54, 161], этого не происходит.

Относительно разложения следует сделать несколько дополнительных замечаний.

Положим (третье слагаемое в вышеприведенном разложении Монкри). Это слагаемое обобщает классическое поперечно-бесследовое разложение в работах Дезера и Брилла [62, 22]. В самом деле, для разложение Монкри сводится к двум копиям расщепления Берже — Эбена 116]. Если еще и — плоская метрика), то воспроизводится первоначальное расщепление Брилла—Дезера.

Теперь допустим, что Тогда удовлетворяет следующим уравнениям:

Те же уравнения, записанные через функции связи и имеют вид

Эти уравнения, представляющие собой восемь условий на двенадцать функций трех переменных, формально оставляют в качестве параметров пространства четыре функции трех переменных. Формально является касательным пространством к пространству гравитационных степеней свободы, параметризованным четырьмя функциями трех переменных.

Более того, в слагаемом имеется определенная «симплек-тическая симметрия», которая отражена в равенствах (16) и (17): если то также принадлежит Мы будем называть эту симметрию .-инвариантностью пространства

Предложение 38

(Слабая) симплектическая форма на естественным образом индуцирует слабую симплектическую форму на любом -инвариантном подпространстве в В частности, является (слабо) симплектическим линейным пространством.

Доказательство. Симплектическая форма на определяемая как

задает той же формулой и антисимметричную билинейную форму на (как и на любом другом -инвариантном подпространстве многообразия Мы должны показать, что не вырождена. Предположим, что для

при всех Поскольку -инвариантно, то

Поэтому положим

и, учитывая, что получаем

Отсюда , следовательно, форма не вырождена.

Предложение 38 является частным случаем следующего общего результата симплектической геометрии [173].

Теорема 39

Пусть — (слабо) симплектическое векторное пространство, -некоторое подпространство. Пусть для всех со предположим также, что коизотропно, т.е. Тогда является (слабо) симплектическим векторным пространством на естественном пути.

Доказательство. Обозначим элемент из через -Введем на этом фактор-пространстве с помощью соотношения Поскольку это определение корректно. С другой стороны, если для всех то является нулевым элементом фактор-пространства.

Предложение 38 следует отсюда как частный случай, если

положить взять как определено выше, и Тогда

Описанная выше симплектическая структура на может оказаться важной для проблемы квантования гравитации. Эта симплектическая структура, вероятно, содержится в неявной форме в работах Бергмана [17], Дирака [72] и Де Витта [66]. Однако изложенная нами формулировка позволяет развить более геометрич-ный и более строгий подход. Прежде всего он дает возможность воспользоваться формализмом Сигала или Костанта—Сурио для полного или полуклассического квантования. Во-вторых, подход, предлагаемый нами, позволяет показать, что вблизи метрики не допускающей никакой изометрии (и, следовательно, никакого пространственно-временного векторного поля Киллинга), является гладким многообразием, находится в естественном локальном изоморфизме фактор-пространству , следовательно, несет каноническую симплектическую структуру. Таким образом, в окрестности пространств-времен с нулевым тензором Эйнштейна, не допускающих векторных полей Киллинга, пространство гравитационных степеней свободы само является симплектическим многообразием, или, если угодно, гравитационным фазовым пространством без сингулярностей, каждый элемент которого представляет собой геометрию некоторого пустого пространства. Заметим, что представляет собой (вообще говоря) симплектическое многообразие, несмотря на то, что не является кокасательным расслоением. Мы предполагаем, что может быть в действительности разбито на симплектические многообразия, подобно стратификации суперпространства; см. [18, 82]. Сингулярности в возникают в окрестности пространств-времен с симметриями, и они имеют конический характер [95]. В своем отчете 1978 г. Фонду гравитационных исследований Монкри подчеркивал, что эти сингулярности оказывают существенное влияние на процедуры квантования (например, для пространства-времени де Ситтера).

Методы, использованные нами для анализа гравитации, основаны на -сопряженном формализме и переносятся

непосредственно на поля, минимально взаимодействующие с гравитацией, в частности на поля Янга—Миллса. В последнем случае эквивалентность устанавливается не по группе а по большей группе диффеоморфизмов эквивалентного расслоения (т. е. калибровочных преобразований, накрывающих диффеоморфизмы пространства-времени). С помощью изложенных методов мы можем показать, что пространство степеней свободы для полей и гравитации, если взаимодействие полей с гравитацией минимально, представляет собой, вообще говоря, симплектическое многообразие; см. [93, 94].

В заключение мы хотели бы выразить надежду, что представленные здесь методы помогут раскрыть некоторые взаимосвязи, существующие между общей теорией относительности, дифференциальной геометрией, функциональным анализом, теорией нелинейных уравнений в частных производных, бесконечномерными динамическими системами, симплектической геометрией и теорией сингулярностей. Несомненно, все эти (как и прочие) области математики должны внести соответствующий вклад в исследование теории гравитации, прежде чем наступит время окончательного анализа.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)