4. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Мы начнем с задачи в пустоте, а затем перейдем к рассмотрению гравитации, взаимодействующей с другими полями. Дадим вначале обзор классических работ Лихнеровича [130] и Шоке-Брюа [32] и рассмотрим введение гармонических координат. Мы будем кратки, поскольку все это изложено в работах [35, 104]. Наш главный результат состоит в том, что для пространства-времени класса Н с имеют место достаточно интересные теорема существования 23 и теорема единственности 27 для решения задачи Коши. Этот результат является в настоящее время наиболее сильным из известных утверждений для задачи Коши.

Для простоты примем, что мы имеем дело с но ввиду гиперболичности это не ведет к существенной потере общности. В релятивистской теории пустого пространства мы ищем лоренцеву метрику при которой кривизна Риччи равна нулю, т. е.

должна удовлетворять системе

где представляет собой рациональную комбинацию из со знаменателем Отметим, что контравариантный тензор является рациональной комбинацией из со знаменателем

Введем — тензор Эйнштейна, где скалярная кривизна. Тогда, как известно, содержит произвольные времени только первого порядка. Поэтому для вычисления достаточны одни лишь данные Коши и потому уравнение представляет собой условие на данные Коши, необходимое для того, чтобы пространство-время имело именно эти данные Коши и удовлетворяло уравнению которое эквивалентно уравнению

Формулировка задачи Коши для системы в части существования решения состоит в следующем.

Пусть — данные Коши класса такие, что Пусть — собственная подобласть, Требуется найти и пространство-время такие, что

(I) принадлежит классу по совокупности компонент в

(III) обладает нулевой кривизной Риччи.

Система является квазилинейной системой десяти дифференциальных уравнений в частных производных, у которых в членах высшего порядка компоненты перемешиваются. В такой постановке для этой системы нет готовых теорем из теории дифференциальных уравнений в частных производных, которые можно было бы применить к сформулированной здесь задаче Коши. Как, однако, было впервые замечено Ланцошем [126] (а для линеаризованных уравнений фактически и самим Эйнштейном тензор Риччи существенно упрощается в гармонических координатах, т. е. в координатной системе, в которой обращаются в нуль свернутые символы Кристоффеля: В самом деле, алгебраическим вычислением можно показать, что

и, следовательно, в координатах, для которых

Оператор действует одинаково на каждую компоненту системы , следовательно, не происходит перемешивания компонент в старших производных. Поэтому нормализованная система значительно проще, чем полная. Действительно, система имеет только простые характеристики, и, следовательно, она является строго гиперболической системой.

Важность использования гармонических координат и системы обусловлена тем, что этого достаточно для решения задачи Коши для уравнения Этот замечательный факт, обнаруженный Шоке-Брюа [32], основан на том наблюдении, что для решений системы условие распространяется за пределы гиперповерхности Именно это утверждается в следующей лемме.

Лемма 22

Пусть принадлежат классу Соболева на и предположим, что удовлетворяют условиям

Если — собственная подобласть, является -решением системы, то

Доказательство. Допустим, что удовлетворяет условиям Тогда непосредственным вычислением убеждаемся, что удовлетворяет условию Из следует, что Г удовлетворяет системе линейных уравнений

Эта линейная система имеет вид системы (3), для которой уже

доказаны теоремы существования и единственности. Таким образом, согласно теореме 15, из того, что следует, что

Согласно этой лемме, -решение системы с фиксированными данными Коши является также решением системы (поскольку при условии, что эти данные Коши удовлетворяют требованиям (I) Как уже отмечалось, условие (II) на данные Коши является необходимым для того, чтобы решение удовлетворяло системе Если же не удовлетворено условие (I), то можно найти набор данных Коши, эволюция которых, согласно уравнению дает пространство-время класса которое после -преобразования координат приводит к пространству-времени с исходными данными Коши (см. ниже теорему 26 и работу [84]).

Из теоремы 21 следует, что при данные Коши класса приводят к развитию во времени класса и что имеет место коши-устойчивость. Мы можем прийти к этому результату, сводя строго гиперболическую систему к квазилинейной симметричной гиперболической системе первого порядка. Ниже приводится набросок доказательства.

Теорема 23

Пусть — открытая ограниченная область в с собственной подобластью и пусть принадлежат классу Соболева Допустим, что Тогда существуют и единственная лоренцева метрика такие, что

(I) принадлежат классу по совокупности компонент;

Согласно лемме 22, такая метрика удовлетворяет также системе Более того, зависит от и непрерывно по топологии Если принадлежат классу на то принадлежит классу для всех при которых существует это решение.

Ниже будут рассмотрены решения на всем пространстве с пространственными асимптотическими условиями.

Выше было показано, как данное утверждение следует непосредственно из теоремы 21 и леммы 22. Чтобы дать иное доказательство, использующее теорему 20, мы преобразуем систему к системе первого порядка, для чего введем 10 новых неизвестных новых неизвестных и рассмотрим

квазилинейную систему первого порядка из 50 уравнений:

Мы рассматриваем как полином по и рациональную функцию по со знаменателем В качестве первого шага распространим наши начальные данные на все пространство скажем, приравнивая их метрике Минковского вне некоторого компактного множества и рассматривая систему (8) на Отметим, что при такой постановке данные Коши не обязательно должны удовлетворять условию в переходной области.

Матрица имеет обратную и поэтому вторую подсистему из 30 уравнений в (8) можно обратить, что дает

Для класса С уравнение (9) означает , следовательно, система (8) эквивалентна системе

Пусть

есть -компонентный вектор-столбец, где расписывается в виде

Введем — нулевую матрицу — единичную матрицу а также —

матрицы 50 x 50, определяемые выражениями

и пусть В -компонентный вектор-столбец:

где -компонентный нулевой вектор-столбец.

Отметим, что симметричны, а положительно определена, если имеет лоренцеву сигнатуру. Прямое вычисление показывает, что квазилинейная симметричная гиперболическая система

является как раз системой (8). Из теоремы 20 следует, что для данных Коши

класса Соболева существует и решение

класса По лемме Соболева, принадлежит также классу С, и потому из второй группы уравнений в системе (5) следует, что Поскольку принадлежит классу в действительности принадлежит классу Непрерывная зависимость этих решений от начальных данных следует из общей теории.

Чтобы из результата для получить результат для области можно воспользоваться стандартными утверждениями относительно области зависимости (см. [60]).

Поскольку область ограничена, принадлежность классу означает, что решение находится на пересечении всех пространств Соболева и, следовательно, также принадлежит классу здесь мы снова пользуемся общим результатом о регулярности для симметричных гиперболических систем.

Согласно лемме 22, найденная таким образом метрика удовлетворяет уравнению

В то время как из подхода, основанного на системе второго порядка, следует например [см. теорему 21, (II)], подход, основанный на системе первого порядка, в рассмотренном виде дает например Результат может быть уточнен, но для этого требуется знание конкретной структуры уравнений и эллиптичность. По этой причине методы, основанные на системе второго порядка, представляются более привлекательными.

В случае асимптотических условий следует проявлять некоторую осторожность. Пространство-время с пространственным поведением не будет принадлежать классу Зафиксируем фоновое пространство-время заданным стремлением к метрике Минковского на бесконечности. Например, коэффициент при может определяться некоторой конкретной массой; может быть решением типа Шварцшильда со сглаженной сингулярностью при

Введем переменные и будем решать уравнение для них. В отличие от самой метрики переменные принадлежат классу

Наложим на следующие условия:

В переменных уравнения (8) принимают вид (7). Поскольку в коэффициенты при производных второго порядка не входят производные и, требуется лишь, чтобы выполнялось условие

Введем обозначение для пространства метрик таких, что с соответствующей топологизацией. Тогда теорема 21 сводится к следующей.

Теорема 24

Допустим, что выполнены условия (10). Тогда для и начальных данных, заданных в некотором шаре вокруг в уравнение (8) имеет единственное решение в том же пространстве в интервале времени [0, Т], Это решение

зависит, от начальных данных этом пространстве непрерывно {т. е. оно корректно, или «коши-устойчиво») и гладко в смысле теоремы 19.

Таким образом, после выделения асимптотических условий начальные данные класса продолжают область пространства-времени класса причем так, что зависимость от начальных данных непрерывна. Если Т принимает большие значения, то лоренцев характер метрики может быть утерян или может появиться сингулярность.

Побочным результатом доказательства данной теоремы является регулярность: если существует решение в на то более гладким начальным данным на том же интервале соответствуют более гладкие решения. Поэтому начальные данные класса порождают -решения.

Интересно было бы установить, является ли пространство, порожденное начальными данными, которые удовлетворяют условию (10), настолько большим, чтобы включать асимптотические бусты. Из анализа доказательств видно, что время существования растет на пространственной бесконечности по крайней мере логарифмически и не похоже, чтобы из этих доказательств следовал утвердительный ответ.

Теперь покажем, что любые два пространства-времени класса с нулевой кривизной Риччи и с одними теми же данными Коши связаны координатным -преобразованием. Ключевая идея состоит в том, чтобы показать, что любое пространство-время класса при введении гармонических координат по-прежнему остается в том же классе. Это в свою очередь базируется на давнем результате Соболева [169], а именно что решения волнового уравнения с коэффициентами класса сохраняют данные Коши класса этот результат вытекает из теоремы 15. Мы можем дать альтернативное доказательство этого утверждения, используя известный факт, что любое одно гиперболическое уравнение может быть сведено к системе симметричных гиперболических уравнений (см. [84]). В результате имеем следующее утверждение.

Лемма 25

Пусть принадлежат классу Соболева на Тогда существует единственная функция класса которая удовлетворяет уравнению

и начальным данным

где — лоренцева метрика класса — векторное класса — функция класса

Теперь мы можем доказать, что при преобразовании пространства-времени класса Н к гармоническим координатам оно остается в классе

Теорема 26

Пусть — пространство-время класса Тогда существует координатное -преобразование , такое, что

является пространством-временем класса причем

Доказательство. Чтобы найти рассмотрим волновое уравнение

и допустим, что — единственное решение этого волнового уравнения с данными Коши и что — единственное решение того же уравнения с данными Коши

Для класса относится к классу и потому являются -функциями; по теореме об обратной функции для есть фактически -диффеоморфизм в окрестности

Поскольку есть инвариантное уравнение, в системе координат с чертой имеем

и, следовательно, х есть система гармонических координат.

Замечание. Эту теорему можно рассматривать как частный случай общей теории гармонических отображений [77].

В качестве простого следствия леммы 25 имеем следующее утверждение о единственности для уравнений Эйнштейна.

Теорема 27

Пусть — два эйнштейновски-плоских пространства-времени класса Н с таких, что тогда

в некоторой окрестности связаны координатным -преобразованием.

Доказательство. Согласно лемме 25, существуют координатные -преобразования такие, что преобразованные метрики

удовлетворяют уравнению Поскольку данные Коши для совпадают, для преобразованных метрик данные Коши также одинаковы. В силу единственности

Поскольку композиция преобразований координат класса принадлежит тому же классу в некоторой окрестности метрика связана с преобразованием координат класса

Локальные теоремы существования и единственности 23 и могут быть глобализованы в том же духе, как при исследовании максимальных кривых обыкновенных дифференциальных уравнений. Это приводит к следующей теореме, принадлежащей Шоке-Брюа и Героку 150].

Теорема 28

Зафиксируем компактное многообразие М и пусть {т. е. являются решением уравнений связи) Тогда существуют пространство-время и пространственноподобное вложение , такие, что

(I)

(II) метрика и сопряженный импульс, индуцированные на совпадают с

(III) 2. является поверхностью Коши;

(IV) является максимальным пространством-временем , т. е. не может быть погружено собственным и изометричным образом в другое пространство-время со свойствами (I), (II) и (III)].

Это пространство-время единственно в том смысле, что если имеется другое пространство-время для которого выполняются условия то существует единственный диффеоморфизм такой, что

Доказательство можно найти в работе 1104]. Единственность доказывается с использованием того факта, что изометрия определена своим действием на систему отсчета в некоторой точке. Линеаризованная версия этого результата понадобится нам в следующем разделе (подробности см. в работе [92]).

Теорема 29

Пусть — вакуумное пространство-время (т. е. ) с компактной поверхностью Коши и с индуцированными метрикой и каноническим импульсом Пусть удовлетворяют линеаризованному уравнению связи, т. е.

Тогда существует для которого

и такое, что линеаризованные данные Коши, индуцированные на , суть

Если — другое такое решение, на существует единственное векторное такое, что

и и его производная равны нулю на

Замечания, а) Линеаризованные данные Коши определяются аналогично определению , т. е. если — кривая лоренцевых метрик, касательных к в точке то

где — данные Коши, индуцированные на 20 метрикой

б) На гармонические координаты можно смотреть как на техническое средство, с помощью которого проверяется абстрактная теория, изложенная в разд. 3. Однако коль скоро это проделано, корректность имеет место в любой калибровке. Например, можно дать бескоординатную трактовку гиперболических систем (см. [143], с. 247). Более того, при численных расчетах, как показывает работа Смарра и др., разбиения на максимальные слои и слои постоянной средней кривизны могут оказаться более полезными, чем гармонические координаты.

Абстрактная теория, приведенная в разд. 3 (см. теорему 16), относится как к полям, взаимодействующим с гравитацией, так и к чистой гравитации. Однако при этом следует отметить ряд моментов (ср. с работой [104], разд. 7.7):

(I) Взаимодействие полей с гравитацией должно быть минимальным, чтобы не нарушился гиперболический характер уравнений для гравитационного поля.

(II) Тензор энергии-импульса должен быть гладкой функцией (не обязательно полиномиальной)

(III) Для фиксированной (линеаризованные) уравнения материальных полей должны быть корректными. Это необходимо для того, чтобы могла выполняться гипотеза теоремы 16.

Остальные условия теоремы 16 носят технический характер, но их нельзя игнорировать (они уточняют условие Б, с. 254 книги Хокинга и Эллиса [104]). Примеры взаимодействующих систем и теорию существования, основанную на прямых методах, читатель найдет в работе [35].

Приведенные выше результаты относительно единственности и глобального развития Коши для вакуумных уравнений стандартным образом переносятся на системы, взаимодействующие с гравитацией.