4. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ГРАВИТАЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ

Евклидово действие для скалярных полей или полей Янга — Миллса положительно-определено. Это означает, что интеграл по траекториям в евклидовом секторе сходится и вклад в него дают только такие конфигурации, которые убывают на больших евклидовых расстояниях, поскольку иначе действие становится бесконечным. Для фермионных полей действие не является положительноопределенным. Однако они рассматриваются как антикоммутирующие величины [I], так что интеграл по траекториям по ним сходится. Евклидово гравитационное действие, напротив, не является положительно-определенным даже при действительной

положительно-определенной метрике. Причина состоит в том, что, хотя гравитационные волны несут положительную энергию, гравитационная потенциальная энергия отрицательна из-за того, что гравитация есть притяжение. Несмотря на это, в классической общей теории относительности полная энергия или масса любого асимп-тотически-плоского гравитационного поля, измеренные с бесконечности, всегда неотрицательны. Это утверждение известно как гипотеза о положительности энергии [3, 15]. Всякий раз, когда гравитационная потенциальная энергия становится слишком большой, по-видимому, происходит следующее: образуется горизонт событий, и область большой гравитационной связи испытывает гравитационный коллапс, оставляя после себя черную дыру положительной массы. Таким образом, можно было бы ожидать, что черные дыры играют определенную роль в проблеме неопределенности гравитационного действия в квантовой теории, и есть указания на то, что это в самом деле так.

Чтобы увидеть, как это действие может принимать произвольные отрицательные значения, рассмотрим конформное преобразование где — положительная функция, равная единице на границе имеем

где — единичная внешняя нормаль к границе Итак,

Отсюда видно, что может принимать любое отрицательное значение, если выбрать быстро изменяющийся конформный множитель

При изучении этой проблемы, по-видимому, желательно разбить интегрирование по всем метрикам на интегрирование по конформным множителям с последующим интегрированием по конформно-эквивалентным классам метрик. Я буду рассматривать по отдельности случай, когда космологическая постоянная Л равна нулю, но пространственно-временная область имеет границу и случай, когда а область компактна без границы.

В первом случае функциональный интеграл по траекториям по конформному множителю определяется конформно-инвариантным скалярным волновым оператором Пусть — собственные значения и собственные функции оператора А с граничными условиями Дирихле, т. е.

Если то есть собственная функция с нулевым собственным значением для метрики Ненулевые собственные значения и соответствующие собственные функции не обладают таким простым поведением при конформных преобразованиях. Но они будут изменяться непрерывно при гладких вариациях конформного множителя, остающегося всюду положительным. Поскольку нулевое собственное значение конформно-инвариантно, число отрицательных собственных значений (которое конечно) остается неизменным при конформных преобразованиях с положительными всюду

Пусть где на Тогда

где

Таким образом, можно написать

где первый и второй члены в правой части выражения (33), а третий член.

зависит только от классов конформной эквивалентности метрики тогда как зависит от конформного множителя. Следовательно, можно ввести величину X, которая будет интегралом по траекториям от по всем конформным множителям в одном классе конформно-эквивалентных метрик.

Если оператор А не имеет ни отрицательных, ни нулевых собственных значений, в частности если есть решение уравнений Эйнштейна, то оператор всюду определен и метрика будет регулярной метрикой, причем всюду. В этом случае в свою очередь определяется поверхностным интегралом от К по границе. Представляется правдоподобной следующая гипотеза о положительности действия: любая асимптотически-евклидова положительно-определенная метрика с имеет положительное или равное нулю действие [23]. Между этой гипотезой и гипотезой о положительности энергии в классической лоренцевой общей теории относительности есть тесная связь. Последняя утверждает, что измеренные с бесконечности масса и энергия любого лоренцева, асимптотически-плоского решения уравнений Эйнштейна положительны или равны нулю, если это решение развивается с некоторой несингулярной начальной поверхности, причем масса будет равна нулю, если и только если метрика тождественно-плоская. Хотя какого-либо полного

доказательства не существует, все же гипотеза о положительности энергии подтверждается в ряде ограниченных случаев или при определенных допущениях [2, 3, 15, 34], и в нее все верят. Если бы она выполнялась и в пятимерной классической общей теории относительности (сигнатура ), то отсюда бы следовала гипотеза о положительности действия, поскольку четырехмерную асимптотически-евклидову метрику с можно было бы взять в качестве симметричных по времени начальных данных для пятимерного решения и масса такого решения была бы равна действию для пятимерной метрики. Пейдж [38] получил ряд результатов, свидетельствующих в пользу гипотезы о положительности действия. Однако он показал также, что эта гипотеза не выполняется для метрик типа решения Шварцшильда, асимптотически-плоских в пространственных направлениях, но не в направлении евклидова времени. Смысл этого будет разъяснен ниже.

Пусть есть решение полевых уравнений. Если возрастает при всех возмущениях которые не являются чисто конформными преобразованиями, интеграл по конформным классам будет сходиться. Если есть какое-либо неконформное возмущение метрики при котором убывает, то для того, чтобы функциональный интеграл сходился, мы должны проинтегрировать по всем метрикам вида При этом в будет внесен множитель для каждой моды неконформных возмущений, при которой убывает. Этот вопрос мы обсудим в следующем разделе. При метриках, которые далеки от решения полевых уравнений, у оператора А могут оказаться нулевые или отрицательные собственные значения. Когда собственное значение проходит через нуль, становится неопределенным, а -бесконечным. Когда имеются отрицательные собственные значения, но нет нулевых, определены, но конформный множитель который преобразует метрику к метрике с , будет проходить через нуль, и, таким образом, метрика будет сингулярной. Это весьма похоже на то, что происходит с трехмерными метриками на симметричных по времени начальных поверхностях [2]. Если — трехмерная положительно-определенная метрика на начальной поверхности, мы можем совершить конформное преобразование чтобы получить метрику с которая будет удовлетворять уравнениям связи. Если трехмерный конформно-инвариантный оператор не имеет ни нулевых, ни отрицательных собственных значений (что действительно имеет место для метрик достаточно близких к плоскому пространству), конформный множитель будет необходимо конечным и всюду положительным. Но если рассматривать последовательность метрик для которой одно из собственных значений оператора В переходит через нуль и становится отрицательным, то соответствующий множитель будет сначала расходиться, потом снова

станет конечным, но будет проходить через нуль, и метрика будет сингулярной. Объясняется это тем, что метрика имеет область со столь большой отрицательной гравитационной энергией связи, что она сама отделяет себя от остальной вселенной, образуя горизонт событий. Чтобы описывать подобного рода ситуации, мы должны использовать начальные поверхности с различными топологиями.

По-видимому, нечто аналогичное может происходить в четырехмерном случае. В некотором смысле можно считать, что метрика при которой оператор А имеет отрицательные собственные значения, содержит области, которые отделяют сами себя от остального пространства-времени, так как в них слишком много кривизны. Их вклад можно тогда учесть, переходя к многообразиям с другими топологиями. Во всяком случае, метрики, при которых А имеет отрицательные собственные значения, являются в некотором смысле далекими от решений полевых уравнений, и в следующем разделе мы увидим, что в действительности мы можем ограничиться вычислением интегралов по траекториям только по метрикам, близким к решениям полевых уравнений.

Оператор А появляется в со знаком минус. Это значит, что интеграл по траекториям по конформным множителям сходится в окрестности решения полевых уравнений, в частности в окрестности плоского пространства, лишь при условии, что у взята чисто мнимой. Поэтому рецепт получения сходящегося интеграла по траекториям состоит в разделении пространства всех метрик на конформно-эквивалентные классы. В каждом классе эквивалентности выделяется метрика для которой Далее проводится интегрирование по всем метрикам где имеет вид Затем проводится интегрирование по классам конформной эквивалентности вблизи решений полевых уравнений, причем неконформные возмущения должны быть чисто мнимыми для мод, при которых убывает.

Похожая ситуация имеет место для компактных многообразий с -членом. В этом случае в действии нет ни поверхностного члена, ни требования на границе. Если то

Таким образом, квантовая гравитация с -членом на компактном многообразии представляет собой нечто вроде усреднения теории по всем фоновым метрикам. Но в отличие от обычной теории кинетический член присутствует в действии со знаком минус. Это значит, что по конформным множителям нужно интегрировать в комплексном направлении, как и в предыдущем случае.

Пространство всех положительно-определенных метрик на многообразии М можно снова разбить на классы конформной эквивалентности. В каждом классе эквивалентности действие будет

иметь один экстремум при нулевой метрике, для которой . В общем случае будет еще и другой экстремум при метрике для которой хотя в некоторых случаях конформное преобразование где - положительно-определенная метрика, может потребовать комплексного множителя Положив получим

где

Если и мы пренебрегаем членами третьей и четвертой степеней по у, то приходим к сходящемуся интегралу по траекториям при интегрировании по чисто мнимым у аналогично тому, как это происходило в предыдущем случае. Поэтому представляется разумным следовать такому рецепту вычисления интегралов по траекториям с Л-членом: в каждом классе конформной эквивалентности выделяется метрика для которой и затем производится интегрирование по конформным множителям вида окрестности

Если оператор который действует на квадратичные по члены, обладает по крайней мере одним отрицательным собственным значением На самом деле это, по-видимому, единственное отрицательное собственное значение. Его смысл обсуждается в разд. 10.