5.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕЙНМАНА; МЕРА

Рассмотрим теперь амплитуду перехода вида где векторы относятся к состояниям, в которых поле максимально задано (в квантовомеханическом смысле, например через полный набор коммутирующих наблюдаемых) в областях соответственно. Эти состояния не обязательно «вакуумные», а области не обязательно находятся соответственно в бесконечно удаленном прошлом или будущем. Если пространство-время имеет геометрические сингулярности в прошлом и (или) будущем, то могут быть определены не через наблюдаемые, а путем некоторой специальной процедуры аналитического продолжения. Предполагается лишь, что области лежат соответственно в прошлом или будущем области, представляющей интерес с точки зрения динамики.

Есть много способов показать, что амплитуда может быть выражена в виде формального функционального интеграла:

Здесь — нормировочная постоянная, — классический функционал действия, — некоторый функционал меры, а интегрирование распространяется как на все поля которые удовлетворяют граничным условиям, подходящим для данных состояний «in» и «out», так и на все топологии, к которым можно прийти аналитическим продолжением данной фоновой топологии.

Выражение (99) впервые было выведено Фейнманом [37] в обычной квантовой механике, без калибровочных групп, а позднее было применено им к теории поля [38]. Распространение на калибровочные теории — плод труда большого числа исследователей; подробности можно найти в литературе. В сочетании с соотношением

выражение (99) немедленно приводит к таким вариационным законам, как (1), (2), (29) и (42).

Правильный выбор функционала меры был предметом разногласий в течение многих лет. Нет ни одного хорошего обзора по возникающим при этом проблемам, и размеры данной статьи не позволяют дать такой обзор здесь. Достаточно сказать, что выбор, которому следует тот или иной автор, зависит от следующих факторов: 1) какому определению функционального интеграла отдается предпочтение (например, через разбиение времени или через функции Грина и правила Фейнмана), 2) какой используется формализм — лагранжев или гамильтонов, 3) какая интерпретация принимается для некоторых неопределенных выражений. Многие из этих неопределенностей связаны с проблемой упорядочения сомножителей и с вопросом, какой смысл придать локальным операторам, построенным из исходных полей . В случае перенормируемых теорий такие неопределенности при адекватной регуляризации исчезают и не появляется никаких разногласий относительно того, как производить вычисления. В случае неперенормируемых теорий, напротив, из-за того, что не существует надежных конечных ответов, противоборствующие интерпретации в настоящее время напоминают средневековые споры о том, сколько чертей уместится на острие иглы.

Мы займем здесь бескомпромиссно формальную позицию, поскольку представляется весьма вероятным, что она останется справедливой в процессе дальнейшего развития, и будем полагаться на известную тенденцию, согласно которой чистый формализм приобретает и сохраняет свою последовательность и логику. Мы начнем с того, что амплитуда (99) должна быть калибровочно-инвариант-ной. Поскольку функционал действия в экспоненте подынтегрального выражения уже калибровочно-инвариантен, мы обеспечим калибровочную инвариантность интеграла, если потребуем, чтобы «элемент объема» был калибровочно-инвариантен. Наиболее простой путь — введение такого метрического тензора в пространстве полей для которого действие калибровочной группы будет изометрией. В явном виде это требование означает

Затем выберем

предполагая, что детерминант может быть подходящим образом определен. Нетрудно убедиться, что равенство (97) является условием интегрируемости для (101) и что из самого условия (101) формально следует

Это уравнение «потока без расходимости», которое в принципе можно

использовать для отбора подходящего функционала меры независимо от метрики.

В чистой квантовой гравитации с в качестве основных переменных условие (101) переходит в утверждение о том, что должна быть двухточечной функцией, преобразующейся при действии группы диффеоморфизмов подобно симметричной контравариантной тензорной плотности веса 1 в каждой из точек. Среди всевозможных таких битензоров имеется единственное (с точностью до постоянного множителя) однопараметрическое семейство битензоров, которые могут быть охарактеризованы как локальные. Они имеют вид

Из-за дельта-функции, появляющейся в (104), имеет блочную структуру, что позволяет представить формально его детерминант в виде

где -детерминант -матрицы Нетрудно вычислить, что

где . В четырехмерном пространстве , следовательно, как легко видеть, являются постоянными, независимыми от Поэтому меру можно взять постоянной; без потери общности ее можно приравнять единице. Но это не будет справедливо при иных размерностях или при наличии других полей, если мы будем по-прежнему рассматривать как основные переменные. Однако в принципе мы можем заменить переменными или и выбрать так, чтобы оставалась постоянной. На практике, как мы увидим ниже, это излишне. Оказывается, что для эффективного приравнивания единице достаточно выбрать такие основные поля, которые под действием калибровочной группы преобразуются линейно. Уравнение (99) тогда приобретает простой вид: