4.1. ФОРМАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ; РОЛЬ ФЕЙНМАНОВСКОГО ПРОПАГАТОРА

Для того чтобы вычесть из координатно-инвариантную расходящуюся часть, нужно сначала однозначным образом выделить ее. Это требует введения общековариантной схемы регуляризации. Чтобы построить такого рода схему, мы должны начать с некоторых формальных соотношений. Допустим на некоторое время, что мы интересуемся скалярным полем Тогда формально получается сложением соответствующих производных швингеровского среднего и переходом к пределу Если потребовать, чтобы х стремилось к х по пространственноподобному направлению, это среднее может быть связано с фейнмановским пропагатором

Фейнмановский пропагатор есть функция Грина, удовлетворяющая уравнению

где — дифференциальный оператор, присутствующий в уравнении поля Решающее значение для теории имеют граничные условия, определяющие функцию Грина. Когда фоновая геометрия допускает глобальный времениподобный вектор Киллинга, относительно которого определяются вакуумные состояния (в этом случае можно представить как сумму соответствующих базисных функций. Если рассматривается как функция х при фиксированном то ее можно разложить на чисто положительно-частотные базисные функции, когда х лежит в будущем точки х, и на чисто отрицательно-частотные базисные функции, когда х лежит в прошлом х. То же верно, если рассматривается как функция х при фиксированном х, поскольку она симметрична по своим аргументам.

Можно показать, что эти свойства получаются из следующего формального выбора решения уравнения (34):

Здесь не обозначены аргументы а символ означает добавление единичного оператора с малым мнимым положительным множителем и переход к нулевому пределу по этому множителю Альтернативный способ получения той же функции Грина состоит в повороте временнбй координаты в комплексной плоскости на 90° по часовой стрелке; при этом оператор который в скалярном случае имеет вид становится отрицательно определенным. Такой оператор обладает единственной функцией Грина, обращающейся в нуль, когда разделены бесконечным интервалом. Фейнмановский пропагатор получается аналитическим продолжением этой функции Грина обратно к физическим значениям времени.

Когда глобального времениподобного векторного поля нет нигде, кроме областей «in» и «out», фейнмановский пропагатор определяется требованием разложимости (по каждому из двух аргументов) по отрицательно-частотным базисным функциям в области «in» и по положительно-частотным базисным функциями в области «out». Глобально-гиперболическое пространство-время, обладающее областями «in» и «out», может быть получено из пространства-времени, обладающего глобальным времениподобным вектором Киллинга,

интегрированием бесконечной последовательности инфинитезимальных вариаций метрики Требуемое граничное условие выполняется, если при каждой из этих вариаций получает изменение

где — соответствующее изменение Поскольку а следовательно, и самосопряжены, симметрия по аргументам остается неизменной. Что еще более важно, при этом сохраняется представление (35).

Естественно задаться вопросом: существует ли функция Грина, удовлетворяющая (35) и (36) и обладающая нужным свойством симметрии, в тех случаях, когда вообще нет областей Общего ответа на этот вопрос пока не найдено, но известно, что такие функции Грина существуют в тех случаях, когда можно воспользоваться техникой глобального аналитического продолжения и (или) конформных преобразований, включая случаи, в которых имеются геометрические сингулярности. Например, среднее хронологического произведения по естественному тепловому состоянию, связанному с черной дырой, имеет представление (35). В этом случае данная функция единственна. Следует ли вообще единственность из существования — это вопрос, который пока полностью не решен.

Представление (35) может быть записано в виде

где множители введены для того, чтобы обеспечить общековариантность подынтегрального выражения. Вопрос о существовании может быть заменен вопросом о существовании интеграла (37).

Восстанавливая явную запись зависимости от аргументов получаем эквивалентное (37) выражение 00

где функция К удовлетворяет дифференциальному уравнению

и «начальному» условию

Когда пространство-время неполное, функция К должна также удовлетворять определенным условиям на границе. В проблеме

Казимира эти условия элементарны, но если неполнота обусловлена геометрическими сингулярностями, они могут включать аналитическое продолжение и (или) конформное преобразование метрики.

Теперь вклад скалярного поля в классическое действие может быть записан в виде

Поскольку из (29) следует, что при вариации метрики и соответствующем изменении оператора функционал получает изменение

где при переходе к этой окончательной форме использовано равенство (33), а интегрирование по пространству-времени заменено символом следа. Оператор является локальным, поэтому взятие следа связано с пределами совпадения (по пространственноподобным направлениям) не выписанных явно аргументов Поскольку равенство (42) можно также записать в виде

который позволяет использовать представление (37):

Это вариационное уравнение непосредствено интегрируется; получаем следующее формальное выражение через функцию К?