VIII. УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫЕ РАСХОДИМОСТИ В КВАНТОВЫХ ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ

С. Вейнберг

1. ВВЕДЕНИЕ

С тех пор как физики задумались над квантовой теорией гравитации, стало ясно, что ультрафиолетовые расходимости представляют трудную проблему. Простой размерный анализ указывает, что если константа связи полевой теории имеет размерность (принимая то интеграл для диаграммы Фейнмана порядка будет вести себя при больших моментах как где А зависит от рассматриваемого процесса, но не от Следовательно, опасными взаимодействиями являются взаимодействия с в этом случае интегралы для любого процесса будут расходиться в довольно высоком порядке. Однако гравитационная постоянная Ньютона имеет размерность поэтому общая теория относительности является прекрасным примером теории с опасными взаимодействиями.

Этот интуитивный аргумент становится точным с развитием ковариантных правил вычисления фейнмановских диаграмм в квантовой теории гравитации [4—10]. Знакомство с этими правилами непосредственно показало, что общая теория относительности не удовлетворяет обычным тестам на перенормируемость. Это было подтверждено детальными расчетами [11—15]: однопетлевой интеграл для вакуумных флуктуаций в классическом фоновом поле

как выяснилось, имеет расходящиеся члены, пропорциональные и (Эти члены, конечно, обращаются в нуль, если удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна, но не в присутствии материальных полей с ) В более общем случае из размерных соображений следовало бы ожидать, что диаграммы с витками должны иметь расходящиеся члены, пропорциональные степени тензора кривизны. Как во всякой неперенормируемой теории, сокращение этих ультрафиолетовых расходимостей потребовало бы введения в лагранжиан бесконечного числа членов, пропорциональных произвольно высоким степеням тензора кривизны и его ковариантных производных, но если бы эти члены были введены, расходимости появились бы даже раньше.

Конечно, при решении большинства физических проблем можно прекрасно обойтись без понимания квантовой гравитации и ее ультрафиолетовых расходимостей. Однако глубоко не безразлично, что слияние двух таких фундаментальных теорий, как квантовая механика и общая теория относительности, должно приводить к явному противоречию. Кроме того, попытка построить единую калибровочную теорию слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий может вынудить нас перейти к рассмотрению более высоких энергий, чем энергии 1018 ГэВ [18], при которых гравитация является сильным взаимодействием. Если это так, то успеха в развитии такой «сверхединой» теории придется ждать до тех пор, пока мы не поймем, как обращаться с ультрафиолетовыми расходимостями в квантовой гравитации.

Эта проблема, возможно, возникает потому, что обычный формализм квантовой теории поля, развитый в плоском пространстве, просто не может быть приложен к гравитации. В конце концов, гравитация — это очень специфическое явление, включающее в себя саму топологию пространства и времени. Вероятно также, что все же может быть найден способ описания гравитации вместе с соответствующими материальными полями при помощи обычной перенормируемой квантовой теории поля. Обзор некоторых попыток найти такой способ дан в разд. 2. Однако в данной статье будет главным образом рассматриваться другая возможность, а именно что квантовая теория поля, которая включает гравитацию, может удовлетворять обобщенному варианту условия перенормируемости, известному как асимптотическая безопасность.

Говорят, что теория является асимптотически безопасной, если «существенные» параметры связи достигают фиксированной точки, когда масштаб импульса их точки перенормировки стремится к

бесконечности. Это условие вводится в разд. 3 как средство избежать нефизических особенностей при очень высокой энергии. Из наблюдаемых свойств фазовых переходов второго рода можно заключить, что для некоторых, а может быть, и всех фиксированных точек условие асимптотической безопасности действует весьма аналогично условию перенормируемости, фиксируя все, кроме, может быть, конечного числа существенных параметров связи теории. Для некоторых фиксированных точек асимптотическая безопасность даже требует, чтобы теория была перенормируемой в обычном смысле.

В разд. 4 рассматривается поведение асимптотически безопасной теории при обычных энергиях, гораздо ниже планковской массы ГэВ. Оказывается, что такая теория будет эффективно перенормируемой в обычном смысле, причем все неперенормируемые взаимодействия подавляются как степени Единственное исключение составляет гравитация, которая хотя и является невероятно слабым взаимодействием, тем не менее не может не обнаруживать себя, так как ее когерентность и большой радиус действия позволяют нам наблюдать ее макроскопические проявления; гравитация на расстояниях, гораздо больших, чем планковская длина волны, см, будет описываться эйнштейновским лагранжианом Таким образом, если исходить из этой точки зрения, то вполне естественно, что слабые, электромагнитные и сильные взаимодействия микрофизики должны так хорошо описываться перенормируемыми квантово-полевыми теориями и что только одна сила требует, по-видимому, неперенормируемого описания, единственная сила, наблюдаемая лишь по своим макроскопическим проявлениям, — сила гравитации.

Остается вопрос, существуют ли на самом деле какие-нибудь теории гравитации, которые являются асимптотически безопасными. В разд. 5 мы покажем, как использовать продолжение по размерности, чтобы попытаться ответить на этот вопрос. Этот метод применяется к гравитации в разд. 6, и он приводит к выводу, что имеется асимптотически безопасная теория чистой гравитации в измерениях (здесь Материальные поля могут менять или не менять этот вывод в зависимости от их типа и числа. К сожалению, проблема продолжения от к 4 измерениям остается нерешенной.

Как читатель вскоре убедится, представленный здесь анализ чрезвычайно «сырой»: многое предполагается, но мало доказывается фактически относительно квантовой гравитации. Я пользуюсь случаем, предоставленным этим изданием, скорее для того, чтобы высказать свою собственную точку зрения о наиболее вероятном

направлении прогресса в разрешении проблемы ультрафиолетовых расходимостей в квантовой теории гравитации, чем продемонстрировать законченный формализм.

Другая цель, которую я здесь преследовал, состояла в том, чтобы дать обзор некоторых математических методов, разработанных в теориях критических явлений и элементарных частиц, которые выступают под общей рубрикой «ренормализационной группы» (ре-норм-группы). Очень мало из этого материала является новым и почти ничего не принадлежит мне, но я надеюсь, что, собранный мною в этой статье, он даст некоторым читателям опыт обращения с ренормализационной группой, который мог бы оказаться полезным в будущей работе в области квантовой теории гравитации.