9. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ОДНОПЕТЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

В разд. 5 действие было разложено в ряд Тейлора в окрестности фонового поля, которое было решением классических полевых уравнений. Интеграл по траекториям был взят по квадратичным членам, а членами более высокого порядка мы пренебрегли. В перенормируемых теориях, таких, как квантовая электродинамика,

теория Янга — Миллса, с помощью дифференциального оператора А, присутствующего в квадратичной («свободной») части действия, можно вычислить и эти члены более высокого порядка (члены «взаимодействия»). Их вклад можно представить диаграммами Фейнмана с двумя или более замкнутыми петлями, где линии диаграмм соответствуют пропагатору или функции Грина а вершины — членам взаимодействия, скажем кубичным, если в вершине сходятся три линии, и т. д. В этих перенормируемых теориях неопределенные величины, возникающие при регуляризации петель второго и более высокого порядков, оказываются связанными с неопределенной нормировочной величиной для одной петли. Поэтому все эти величины могут быть включены в переопределение постоянной взаимодействия и каких-либо масс, присутствующих в теории.

В квантовой гравитации ситуация совсем иная. Однопетлевой член относительно плоской или топологически тривиальной вакуумной метрики не содержит нормировочной постоянной Но в окрестности топологически нетривиального фона мы получаем пропорциональный где однопетлевой член, число Эйлера. Это можно представить как добавление к действию эффективного топологического члена где — масштабно-неинвариантная топологическая постоянная связи. Вообще говоря, мы не можем обеспечить такую же топологическую интерпретацию для зависимости от однопетлевого члена относительно фоновой метрики, которая является решением полевых уравнений с ненулевыми материальными полями. Однако это может быть сделано в специальном случае, когда материальные поля связаны с гравитационным полем локальной суперсимметрией или зависящими от спиноров калибровочными преобразованиями. Таковы различного рода теории супергравитации и расширенной супергравитации [4, 15].

Двухпетлевые члены в супергравитации и, возможно, также в чистой гравитации, по-видимому, не вносят каких-либо дополнительных неопределенных величин. Но кажется весьма вероятным, что и в супергравитации, и в чистой гравитации в трехпетлевых и более высоких приближениях возникнут добавочные неопределенности, хотя вычисления, необходимые для выяснения этого, столь громоздки, что никто не пытался их проделать. Даже если каким-то чудом никаких добавочных неопределенностей в многопетлевых членах не возникнет, у нас все же не будет разумной процедуры для вычисления интеграла по траекториям, так как разложение по возмущениям в окрестности заданного фонового поля в теории гравитации имеет весьма узкие рамки применимости в отличие от перенормируемых теорий вроде теории Янга — Миллса или . В последней теории квадратичный («свободный») член в действии ограничивает член «взаимодействия» Это

означает, что среднее значение члена взаимодействия может быть вычислено по мере или, иными словами, с помощью диаграмм Фейнмана, в которых линии соответствуют свободному пропагатору. Аналогично и в квантовой электродинамике или теории Янга — Миллса член взаимодействия только третьего или четвертого порядка по полям и ограничен свободным членом. В гравитационном же случае разложение Тейлора в окрестности фоновой метрики содержит члены взаимодействия всех порядков по возмущениям метрики и квадратичные члены по производным этих возмущений. Эти члены взаимодействия не ограничены свободным квадратичным членом, поэтому их средние значения по мере, заданной этим квадратичным членом, не определены. Иными словами, изображать их диаграммами Фейнмана высших порядков не имеет никакого смысла. Это не будет сюрпризом для тех, кто работает в классической теории относительности, а не в квантовой теории поля. Мы знаем, что объект, подобный черной дыре, нельзя представить в виде возмущения плоского пространства.

В классической общей теории относительности проблему ограниченной применимости теории возмущений можно пытаться решать путем подбора асимптотических разложений относительно различных фоновых метрик. Поэтому представляется естественным попытаться проделать нечто подобное в квантовой гравитации. Для того чтобы гарантировать калибровочную инвариантность, по-видимому, необходимо, чтобы эти фоновые метрики были решениями классических уравнений поля. Насколько нам известно, при заданной топологии и заданных граничных условиях имеется только одно решение полевых уравнений или в крайнем случае такие решения составляют конечномерное семейство. Следовательно, решения заданной топологии не могут быть плотны в пространстве метрик этой топологии. Однако эйнштейновское действие в отличие от янг-миллсовского, по-видимому, не приводит к какому-либо барьеру в переходах между полями разной топологии.

Одним из путей убедиться в этом является использование исчисления Редже [401. При этом подходе пространственно-временное многообразие разлагается на симплициальный комплекс. Каждый -симплекс берется плоским и определяется длинами его ребер (т. е. -симплексов). Однако углы между гранями (т. е. -симплексами), вообще говоря, таковы, что -симплексы нельзя собрать в плоское четырехмерное пространство. Таким образом, имеется дисторсия, которая может быть представлена как -функции по кривизне, сконцентрированные на гранях. Полное действие равно сумма берется по всем -симплексам, причем площадь симплекса, а угловой эффект при этом симплексе, т. е. равен минус сумма углов между теми -симплексами, которые связаны данным -симплексом.

Комплекс, в котором действие стационарно при малых вариациях длин ребер, можно рассматривать как дискретную аппроксимацию к гладкому решению уравнений Эйнштейна. Однако на исчисление Редже можно также смотреть как на определение действия для определенного класса метрик без какого-либо приближения. Это действие останется корректно определенным и конечным, даже если длины ребер будут выбраны так, что некоторые из симплексов стянутся в симплексы меньших размерностей. Например, если — длины сторон треугольника (-симплекса), то они должны удовлетворять неравенствам Если этот 2-симплекс стягивается в 1-симплекс. В общем случае симплициальный комплекс перестает быть многообразием, если некоторые из его симплексов стягиваются до меньших размерностей. Однако действие по-прежнему хорошо определено. При этом мы можем «раздуть» некоторые из симплексов так, чтобы получилось новое многообразие с иной топологией. Таким способом можно непрерывно переходить от одной метрической топологии к другой.

Отсюда возникает идея, что могут быть квантовые флуктуации метрики не только в пределах отдельно взятой топологии, но и от одной топологии к другой. На эту возможность впервые указал Уилер [45], который выдвинул гипотезу, что в масштабах планковской длины пространство-время может иметь «пеноподобную» структуру. В следующем разделе я попытаюсь изложить математический аппарат для описания этой пеноподобной структуры. Существует надежда, что при рассмотрении метрик всех возможных топологий будет обнаружено, что классические решения в некотором смысле плотны в пространстве всех метрик. Тогда можно надеяться представить интегралы по траекториям как суммы фоновых и однопетлевых членов для этих решений. Можно было бы также рассчитывать на выделение некоторого конечного числа решений, которые дают главный вклад.