7. ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЫЧИСЛЕНИЕ b
В этом приложении дается расчет вычета полюса с «голой» гравитационной постоянной при 
полученной с использованием метода работ [76, 77].
Введем гравитационное поле 
такое, что
и будем работать в калибровке, в которой
(Индексы здесь поднимаются и опускаются с помощью 
а не 
) «Голый» гравитонный пропагатор пространственно-временной размерности 
есть тогда
В однопетлевом порядке этот пропагатор принимает вид
где П — тензор гравитонной поляризации вакуума, определяемый как
Так как тензор энергии-импульса сохраняется, П можно записать как
где 
свободны от полюсов при 
Теперь можно прямо вычислить исправленный пропагатор как
Мы видим, что перенормированная гравитационная постоянная, которая определяет силу дальнодействующего гравитонного обмена, есть
где 
- «голая» гравитационная постоянная. Следовательно, если 
имеет полюс при 
вида
мы должны ввести в 
полюс вида
Таким образом, величина 
в 
является такой же, как в (71) — (73). Наша задача заключается в вычислении вычета полюса в 
при 
и в определении 
сравнением с 
.
Для этой цели мы введем спектральные функции 
в по формуле
Не учитывая возможных вычитаний, из 
получаем
Рассмотрим теперь вклад состояния, состоящего из пары идентичных нейтральных бесспиновых частиц массы 
и импульсов 
В наинизшем порядке теории возмущений для любого 
где
Уравнение (П.13) тогда дает
где 
— площадь поверхности единичной сферы в 
пространственных измерениях
Теперь мы можем вычислить 
Функция 
задается формулами 
как
Этот интеграл является хорошо определенным для 
и может быть аналитически продолжен до 
с полюсом при 
Сравнивая с 
мы видим, что
в согласии с (79) и (80) при 
Этот метод расчета имеет то преимущество, что позволяет нам делать выводы общего характера относительно знака и других свойств спектральных функций и вычетов при различных размерностях для промежуточных состояний произвольного спина. Примем, что 
лежит во «временном» направлении 
и свернем с 
где 
— чисто пространственные векторы, разделенные углом Ф; это дает
для всех 
Для 
мы должны, конечно, принять 
так что это дает только условие
Для целых размерностей 
можно брать Ф произвольно; выбирая его так, чтобы минимизировать левую часть 
найдем
Наконец, для бесшпурового тензора энергии-импульса 
дает
В частности, 
для 
Даже если конечные массы дают тензор энергии-импульса с ненулевым следом, 
будет асимптотически справедливо при 
поэтому интеграл 
для 
не будет иметь полюса при 
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
