3. АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА КОШИ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

В этом разделе дается сводка тех результатов общей теории гиперболических задач с начальными данными, которые понадобятся нам для общей теории относительности. Полные доказательства длинны и технически сложны, поэтому будут приведены лишь их идеи. За подробностями можно обратиться к работам [108, 112—114]. Приводимый здесь абстрактный подход предпочтителен тем, что в нем содержатся как частные случаи и симметричные системы первого порядка, так и гиперболические системы второго порядка и комбинации этих систем. Более того, этот подход дает наименее ограничительные результаты в смысле дифференцируемости.

Начнем с линейного случая с последующим переходом к нелинейному и приведем один полезный для дальнейшего результат относительно дифференцируемости отображения по времени затем покажем, как эти результаты применяются к гиперболическим системам.

Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией линейных полугрупп (см., например, [106, 140, 181]).

Пусть X — банахово пространство и означает множество генераторов -полугруппы на X, удовлетворяющих условию

т. е., по теореме Хилла — Иосиды, действует на X однооднозначно и, кроме того,

Если мы будем говорить, что генератор А квазиаккретивен. или что оператор квазиконтрактивен. Именно этот класс линейных полугрупп важен для нас. Напомним, что для — область определения также лежит в и удовлетворяет уравнению эволюции

где при вычислении производной по времени рассматривается как отображение на X.

Пусть — банаховы пространства, причем включение непрерывно и плотно. Пусть — семейство ограниченных операторов на X, определенное при здесь — подходящим образом выбранный интервал времени; Т может быть сколь угодно большим. Пусть — семейство линейных генераторов на Мы назовем семейством (сильных) эволюционных операторов для А, если

(I) сильно непрерывно в X;

(III) есть ограниченный оператор из в и сильно непрерывен по (t, s);

(IV) («дифференциальное уравнение вперед»), причем и правая, и левая части сильно непрерывны по со значениями в (ограниченные операторы из в X) и берется по норме пространства X.

Если продифференцировать (II) по при и использовать (IV), то формально получим «дифференциальное уравнение назад»:

для Это легко доказать, представив (IV) в виде интегрального уравнения по времени; запишем

и используем равенство

Семейство (при фиксированных называется устойчивым, если для любого

или, что то же самое,

Если то очевидным образом устойчиво. Если пространство X с некоторой новой нормой зависящей от экспоненциально

обозначить через X, и если то устойчиво в (см. работу Като [1101, предложение 3.4). Там же в предложении 3.5 показано, что ограниченное возмущение устойчивого семейства устойчиво.

В следующей теореме означает класс эквивалентности строго измеримых существенно ограниченных функций из в означает сильно неопределенные интегралы функций в

Теорема 13 [111]

Предположим, что

(I) - устойчивог семейство генераторов в ;

(II) с непрерывным плотным включением и

(III) имеется семейство изоморфизмов (на), таких, что

где — ограниченный оператор на X и лежит в лежит в непрерывно по норме.

Тогда для А имеется единственное семейство сильных эволюционных операторов. Доказательство см. в работе [111]. Случай, когда область определения постоянна во времени, много проще. Здесь мы предположим, что и что Тогда (III) будет выполнено при и

Однако для тех гиперболических задач, которые мы хотим рассмотреть, области определения не обязательно постоянны. Случай постоянной области определения является предметом начальной работы Като [109]; см. также [181].

Неоднородную задачу

можно исследовать с помощью следующего хитроумного приема Като [114]. Мы перепишем это уравнение как уравнение на и рассмотрим эквивалентную однородную проблему

где

Тогда теорему 13 можно применить к А.

Во многих нелинейных задачах часто удобно рассматривать присоединенные (зависящие от времени) линейные задачи Коши, и к ним также применима теорема 13.

Чтобы проиллюстрировать применение этой теоремы, рассмотрим два случая, которые более всего касаются нас, а именно: симметричные гиперболические системы первого порядка и гиперболические системы второго порядка. Мы будем рассматривать их на но в силу гиперболичности этих уравнений полученные результаты могут быть локализованы и затем применены также и к компактным многообразиям (см. [104]).

Сначала рассмотрим симметричные гиперболические системы первого порядка по Фридрихсу [99] (см. также [84, 112—114]). Они имеют вид

где а действительны. Сделаем следующие предположения:

(I) имеются постоянные матрицы такие, что

здесь — обычное пространство Соболева над (пока без уточнения области определения) и ;

(II) - симметричные матрицы;

III) при некотором .

Теорема 14

При этих условиях гипотезы теоремы 13 удовлетворяются, если принять

(замыкание этого оператора на т. е. уравнение (2) порождает

сильную эволюционную систему в I, которая отображает на .

Примечание. Областью определения оператора не обязательно является например, могут обращаться в нуль.

Идея доказательства состоит в следующем. Если введем на X энергетическую норму

то обнаружим, что

причем

и величина конечна в силу неравенств Соболева. Основная идея состоит теперь в том, чтобы получить оценку

которая в силу неравенства Шварца следует из неравенства

Последнее неравенство легко доказывается с использованием интегрирования по частям и симметрии Устойчивость вытекает из того факта, что норма зависит от экспоненциально. Труднее всего доказать, что

(где — коммутатор) является ограниченным оператором на X. Этот коммутатор расписывается явно; решающим пунктом является оценка коммутатора

Искомые оценки этого коммутатора получаются с помощью длинной, но относительно прямой последовательности оценок типа Соболева. Подробности для можно найти в работе [113], а общий случай вполне аналогичен этому.

Замечание. Результаты этого типа для выражения (2) приводились уже в давних работах Фридрихса [98] и Куранта и Гильберта [60]. Однако нигде не были отчетливо и точно сформулированы гипотезы о дифференцируемости, которые имеют решающее значение в нелинейных задачах. Попытка промежуточного характера была предпринята в работе [84], а затем эта формулировка была уточнена

и пояснена в работе Като [112]. Нынешняя единая формулировка, предложенная в работе [1081, также принадлежит Като.

Теперь мы рассмотрим гиперболическую систему второго порядка. Она имеет вид

где опять — матричные функции также предполагается, что и

(I) имеются постоянные матрицы такие, что

(II) симметрична;

(III) для некоторого

(IV) сильная эллиптичность: имеется так что

(матричное неравенство) для всех Теорема 15

При этих условиях предположения теоремы 13 справедливы, если принять, что

(замыкание этого оператора на т. е. уравнение (3) порождает сильную эволюционную систему в X, которая отображает в

Здесь мы записали (3) обычным образом, как систему для (первого порядка по времени).

Используем норму

где постоянная с выбирается достаточно большой. Ввиду неравенства Гординга это дает эквивалентную норму на X (если воспользоваться сильной эллиптичностью). Тогда прямыми вычислениями получаем оценку

для чего, как и прежде, нужно показать, что

Можно также показать, как это сделано в работе [181], что есть одно-однозначное отображение на X, поэтому , причем, как и выше, зависит от экспоненциально и, следовательно, есть устойчивое семейство.

И вновь доказательство ограниченности требует получения оценок для коммутаторов; подробности см. в работе [108].

Для дальнейшего использования в нелинейной задаче предположений о дифференцируемости (и в лемме 22) очень важно, чтобы они были именно такими, как они здесь сформулированы.

Замечание. Ясно, что аналогичным образом можно трактовать комбинированные системы таких уравнений, поскольку абстрактная теорема 13 включает как частные случаи системы (2) и (3). Это существенно некоторых видов взаимодействия материальных полей с гравитационным полем.

Теперь обратимся к нелинейной задаче. Как и выше, пусть X и — банаховы пространства, причем плотно и непрерывно содержится в X. Пусть есть открытая область, и пусть — некоторое данное отображение. Нелинейное эволюционное уравнение имеет вид

Если даны то кривая-решение (или интегральная кривая) для со значением в есть отображение ), такое, что на выполняется

Если эти кривые-решения существуют и единственны для в открытом множестве мы можем ввести эволюционные операторы которые отображают на Будем говорить, что система (4) корректна (или коши-устойчива), если оператор непрерывен (по К-топологии на и при любых удовлетворяющих условию Заметим, что непрерывность по вместе вытекает из общих гипотез 130]. Более того, если имеется корректность для малых временных интервалов, легко доказать ее для максимально расширенного потока.

Установить корректность в конкретных, особенно «гиперболических

случаях может оказаться затруднительным. Непрерывность оператора из К в К, вообще говоря, нельзя заменить более сильными условиями гладкости, такими, как непрерывность по Липшицу или даже по Гёльдеру; Като [112] дал простой пример, показывающий это, а именно уравнение на Эти вопросы гладкости будут обсуждаться ниже.

Наиболее строго изучены те нелинейные эволюционные уравнения, которые приводят к нелинейным сжимающим полугруппам, порожденным монотонными операторами [20]. Их эволюционные операторы иногда бывают определены на всем пространстве X. Это нетипично для гиперболических задач, где оператор может быть определенным лишь на непрерывным при отображении из в дифференцируемым при отображении в X и К-локально липшицевым при отображении из X в X, не будучи Х-локально липшицевым при отображении из X в X или К-локально липшицевым при отображении из К в К; это легко увидеть в приведенном выше примере.

Конкретизируя (4), рассмотрим квазилинейную абстрактную задачу Коши

где и принимает значения в X и есть (неограниченный) линейный оператор, зависящий от неизвестной и нелинейным образом. Мы включили сюда для полноты неоднородный член хотя он может быть устранен упомянутым выше приемом Като.

Сделаем следующие допущения. Будем исходить из того, что есть четыре (действительных) банаховых пространства

причем все они рефлексивны и сепарабельны, а включение непрерывно и плотно. Предположим, что

есть интерполирующее пространство между и таким образом, если то причем означает множество ограниченных операторов на

Пусть есть множество всех норм в эквивалентных некоторой данной Тогда будет метрическим пространством с функцией расстояния

Введем теперь на где и — открытое множество в четыре функции со следующими свойствами.

Для всех при всех найдутся действительное число и положительные числа такие, что будут выполнены следующие условия:

причем

есть изоморфизм на причем

где означает банахово пространство с нормой . Это значит, что есть -генератор в такой, что для всех и

, причем и отображение непрерывно по норме.

непрерывно.

Замечания. (I) Если условие излишне. Если условие тривиально. Если имеет место и то, и другое и, кроме того, мы приходим к случаю, рассмотренному в [113].

(II) В большинстве приложений можно выбрать и (или)

(III) В статье [108] имелось дополнительное условие которое, как показал затем Като [114], является излишним.

Теорема 16

Допустим, что удовлетворяются условия и Тогда существуют такие положительные постоянные и что уравнение (5) имеет единственное на решение и, если причем

Здесь зависит только от в то время как Т может зависеть от всех постоянных и Когда 0 изменяется в с выполнением условия отображение липшиц-непрерывно по -норме равномерно по

Для установления корректности мы должны усилить некоторые предположения. Наложим еще следующие условия:

Теорема 17

Допустим, что удовлетворяются условия и в них независимым от Тогда существует положительная постоянная такая, что когда пробегает с выполнением условия отображение определяемое теоремой 16, непрерывно по норме равномерно по

Замечание. Как и в работе [113], можно доказать аналогичную теорему непрерывности для случая, когда варьируются не только начальное значение но и функции т. е. решение «устойчиво» при изменении самих уравнений. Наоборот, изменение по-видимому, довольно трудно рассмотреть.

Данная теорема, таким образом, гарантирует существование (заданных локально) отображений

которые непрерывны по всем переменным. Как и в линейном случае, имеем

Мы будем называть эволюционными операторами, порожденными уравнением (5). Общее понятие эволюционного оператора для (4) вводится по аналогии.

Идея, на которой основано доказательство теоремы 17, состоит в том, чтобы фиксировать кривую в К и рассматривать как решение «задачи с замороженными коэффициентами»

что допустимо в связи с теоремой 13. Это приводит к отображению Ф: и мы ищем фиксированную точку Ф. В подходящем функциональном пространстве и для достаточно малого Т Ф будет в действительности сжатием и потому будет иметь единственную фиксированную точку

Однако доказать, что и непрерывно зависит от не так просто, и необходимы детальные оценки по линейной теории. Доказательство неизбежно должно оказаться более или менее затруднительным, поскольку зависимость от вообще говоря, не является локально-липшицевой. За деталями доказательств читатель отсылается к работам [108, 113, 114].

Непрерывная зависимость решения от естественным образом приводит нас к вопросу о том, является ли эта зависимость в каком-нибудь смысле гладкой. Это важно для изучения соотношения между нелинейными теориями и их линеаризациями. Следующие результаты взяты нами из нескольких неопубликованных заметок Дорро и Марсдена.

Сначала введем подходящее понятие дифференцируемости для генератора уравнения (4). Пусть X и Y — банаховы пространства, причем включение непрерывно и плотно. Пусть открытое множество и некоторое заданное отображение. Будем говорить, что а-дифференцируемо, если для каждого найдется ограниченный линейный оператор такой, что

когда Если является а-дифференцируемым и непрерывно по норме, мы назовем отображение — а-дифференцируемым. Отметим, что это свойство сильнее, чем дифференцируемость в смысле Фреше. Если отображение а-дифференцируемо и отношение

равномерно ограниченно для в некоторой Т-окрестности каждой точки, мы говорим, что локально-равномерно а-дифференцируемо.

В наиболее часто встречающихся случаях а-дифференцируемость может быть установлена с помощью следующего предложения.

Предложение 18

Допустим, что — отображение класса и локально по топологии функция

ограниченна. Тогда локально-равномерно — а-дифференцируемо.

Это утверждение легко доказать, исходя из тождества

Теперь мы обратимся к соответствующему понятию для эволюционных операторов.

Отображение с называется -дифференцируемым, если оно а-дифференцируемо и для каждого расширяется до ограниченного оператора из X в X.

Р-дифференцируемые отображения подчиняются правилу цепи. Например, если и каждое из них Р-диффе-ренцируемо (как отображение из У в X) и непрерывно из У в К, то -дифференцируемо, причем, конечно,

Доказательство этого факта стандартно. В частности, можно применить правило цепи к если каждое из Р-дифференцируемо. Дифференцирование этого равенства по при дает «уравнение назад» для

Затем дифференцирование по при дает

т. е. инвариантность потока генератора.

Получение строгих доказательств этих утверждений мы предоставляем читателю, который должен руководствоваться ходом рас-суждений в линейном случае.

Для следующей теоремы мы сделаем такие предположения: есть непрерывное и плотное включение, — непрерывная эволюционная система на открытом подмножестве с Х-инфини-тезимальный генератор системы имеет областью определения Кроме того, предположим:

локально-равномерно -а-дифференцируем. Его производная обозначается и предполагается, что она сильно непрерывна по

Для пусть будет время жизни х вне т. е. задано Предположим, что в X имеется сильно непрерывная линейная эволюционная система в X, у которой Х-инфинитезимальный генератор является расширением т. е., если ,

Теорема 19 (Дж. Дорро)

При сформулированных выше предположениях а-дифференцируема в точке х и

Доказательство. Введем с помощью равенства

(или равно нулю, если и заметим, что в силу локальной равномерности равномерно ограничены, если х и у близки по топологии У. По совместной непрерывности для

норма ограничена при при достаточно малых

По построению имеем уравнение

Пусть

так что

Поскольку непрерывно со значениями в X, то, обозначая получим «дифференциальное уравнение назад»:

Отсюда, интегрируя от получи

Пусть

Тогда из неравенства Гронволла имеем

Иначе говоря,

Из теоремы об ограниченной сходимости мы заключаем, что оператор -дифференцируем в точке (Функция сильно измерима в поскольку непрерывна при )

Этим завершается наше описание абстрактной нелинейной теории. Теперь мы установим, как эта нелинейная теорема существования и единственности применяется к квазилинейным уравнениям типа уравнений (2) и (3).

Сначала рассмотрим случай уравнения первого порядка

Предположим, что

(I) , а — функции класса по переменным (и, возможно, по и определены локально);

(II) по и локально-равномерно выполняются линейные условия (I)-(III) теоремы 14.

Теорема 20

При этих условиях для уравнения (6) справедливы теоремы 16, 17 и 19, т. е. (6) порождает единственную локальную эволюционную систему в при отображает в непрерывно и при фиксированных Р-дифференцируемо как отображение в X.

Доказательство со всеми подробностями требует длинных рассуждений об оценках в пространстве Соболева для проверки выполнения принятых гипотез, но оно довольно прямое. Подробности см. в работах [112, 113]. Заметим, что можно также выбрать но выбор, сделанный в теореме 20, подходит для теоремы 19. И опять громоздкость и технический характер деталей применения теоремы 19 к уравнению (6) удерживает нас от их изложения. Это снова полустандартное упражнение по теории пространства Соболева.

В случае уравнения второго порядка мы поступим следующим образом. Рассмотрим

Здесь

Предположим, что

(I) , a — функции класса по всем переменным (и, возможно, по и определены локально);

(II) по и локально-равномерно выполняются линейные условия

(I)-(III) теоремы 15.

Теорема 21

I) Если то для уравнения (7) справедливы теоремы 16, 17 и 19, причем

m. e. (4.7) порождает единственную локальную эволюционную систему которая непрерывна и при фиксированных -дифференцируема как отображение из в X.

(II) Если не зависит от те же утверждения справедливы при

Детали доказательства см. в работе 1108].

Как будет видно из следующего раздела, с общей теорией относительности связан случай (II). Заметим также, что при решения будут лежать в где Например, в этом случае уравнение (7) задает корректную задачу для и в (Отметим, что при этом и принадлежит лишь к классу и нет необходимости, чтобы и принадлежало классу Для гиперболических систем теоремы 20 и 21 являются наиболее сильными из известных результатов, хотя эти задачи рассматривались многими авторами, такими, как Шоке-Брюа [32, 351, Курант и Гильберт [60], Дион [67], Френкл [96], Кржижанский и Шаудер [118], Лере 1128], Лихнерович [133], Лайонз [137], Петровский [159], Шаудер [164] и Соболев 1169].