7. ФОНОВЫЕ ПОЛЯ

В этом разделе я опишу некоторые положительно-определенные метрики, являющиеся решениями уравнений Эйнштейна, вакуумных или с Л-членом. В некоторых случаях они представляют собой аналитические продолжения известных лоренцевых решений, хотя их глобальная структура может быть иной. В частности, сечение комплексифицированного многообразия, на котором метрика положительно-определена, может не содержать сингулярностей, имеющихся в лоренцевом сечении. В других случаях эти положительно-определенные метрики могут быть введены только на многообразиях, не имеющих какого-либо сечения, на котором метрика

была бы лоренцевой и действительной. Тем не менее и эти метрики представляют интерес как точки стационарности фазы в определенных интегралах по траектории.

Простейший нетривиальный пример вакуумной метрики — решение Шварцшильда [18, 26]. Обычно оно записывается в виде

Замена превращает это выражение в положительно-определенную метрику при При имеется явная сингулярность, но она такая же кажущаяся, как сингулярность в начале полярных координат. В этом можно убедиться, введя новую радиальную координату тогда метрика принимает вид

Она регулярна при если рассматривается как угловая переменная и по ней производится отождествление с периодом (я пользуюсь единицами, в которых гравитационная постоянная Многообразие, задаваемое условиями называется евклидовым сектором решения Шварцшильда. В нем метрика положительно-определена, асимптотически-плоская и несингулярна (сингулярность кривизны при не лежит в евклидовом секторе).

Ввиду периодичности шварцшильдова решения по мнимому времени с периодом граничная поверхность радиуса будет обладать топологией и эта метрика будет точкой стационарности фазы в функциональном интеграле для статистической суммы канонического ансамбля с температурой Как уже было показано в разд. 2, действие при этом определяется полностью одним только поверхностным членом и равно

Аналогичный евклидов сектор может быть найден для решения Райсснера — Нордстрема с где — электрический заряд, магнитный монопольный заряд. В этом случае радиальная координата пробегает значение Снова внешний горизонт будет осью симметрии в плоскости а по координате мнимого времени производится отождествление с периодом где к — «гравитационный потенциал» на поверхности внешнего горизонта. Электромагнитное поле в евклидовом секторе будет действительным при мнимом и действительном Р. В частности, если это поле будет самодуальным или антисамодуальным:

где — альтернирующий тензор. Если действительно в евклидовом секторе, то операторы, определяющие поведение заряженных полей, будут эллиптическими; поэтому оказывается возможным вычислить однопетлевые члены методом дзета-функции. Затем полученный результат можно аналитически продолжить обратно к действительным точно так же, как положительно-определенная метрика аналитически продолжается к лоренцевой.

Поскольку гравитационная часть действия не меняется. Однако имеется еще вклад от электромагнитного лагранжиана Таким образом,

где — электростатический потенциал горизонта, — магнитостатический потенциал.

Подобным же образом можно найти евклидов сектор для метрики Керра при условии, что масса М действительна, а момент количества движения мнимый. В этом случае метрика будет периодичной в системе отсчета, которая вращается вместе с горизонтом, т. е. точка отождествляется с точкой где — угловая скорость горизонта мнимая при мнимом Как и в случае электромагнитного поля, наилучшим методом представляется вычисление однопетлевых членов с мнимым и последующее аналитическое продолжение к действительному Наличие момента количества движения не влияет на асимптотическую метрику в главном порядке, в котором действие равно

где х — гравитационный потенциал поверхности.

Метрики Тауба — НУТ [32, 37] составляют другой интересный класс вакуумных решений. Их можно рассматривать как гравитационные «дионы» с обычной массой М «электрического» типа и гравитационной массой «магнитного» типа. Соответствующая метрика может быть представлена в виде

где Эта метрика регулярна на полуоси но имеет сингулярность при поскольку член в метрике означает, что малый контур вокруг этой оси не стягивается в точку при Эту сингулярность можно рассматривать как аналог дираковской струны в электродинамике, возникающей при наличии монопольного магнитного заряда. Такую сингулярность можно устранить путем введения новой координаты

Тогда метрика принимает вид

Она регулярна при но сингулярна при Следовательно, можно использовать координаты для покрытия окрестности северного полюса и координаты для покрытия окрестности южного полюса Поскольку по Ф происходит отождествление с периодом из формулы (86) следует, что по и происходит отождествление с периодом Поэтому если — регулярное поле с зависимостью от вида то со должна удовлетворять условию

Оно является аналогом дираковского условия квантования и связывает «магнитный» заряд решения Тауба — НУТ с «электрическим» зарядом или энергией о поля Процесс устранения сингулярности дираковской струны через введение координат и периодическое отождествление превращает топологию поверхностей постоянного из на них — угловые координаты Эйлера.

Метрика (85) также имеет сингулярности при Как и в случае Шварцшильда, соответствует неустранимой сингулярности кривизны, но соответствует некоторому горизонту, и эта сингулярность может быть устранена периодическим отождествлением мнимой координаты времени. Это отождествление совместимо с тем отождествлением, которое устраняет дираковскую струну, если оба периода равны, что имеет место при Если это так, то при действительном М метрика действительна и положительно определена в области а кривизна самодуальна или антисамодуальна:

Кажущаяся сингулярность при становится единственной точкой — началом гиперсферических координат, в чем можно убедиться, вводя новые радиальные и временные переменные

Метрика при этом принимает вид

Таким образом, многообразие, которое определяется условиями причем интерпретируются как гиперсферические углы Эйлера, топологически представляет собой и обладает несингулярной положительно-определенной метрикой. Эта метрика — асимптотически-плоская в том смысле, что тензор Римана убывает как при но не является асимптотически-евклидовой, поскольку для этого кривизна должна быть пропорциональной Поверхности постоянного топологически суть но их метрика — это метрика деформированной сферы. Орбиты вектора Киллинга задают расслоение Хопфа где параметризуется координатами 0 и Индуцированная на метрика будет метрикой двумерной сферы радиуса тогда как слои будут окружностями длины Таким образом, граница при большом радиусе есть в некотором смысле но является скрученным (twisted) произведением.

Имеется также возможность скомбинировать самодуальные решения Тауба — НУТ [29, 30]. Причина состоит в том, что притяжение между массами электрического типа уравновешивается отталкиванием между мнимыми массами магнитного типа Соответствующая метрика имеет вид

где

Здесь — расстояние от решения НУТ в плоской трехмерной метрике Операции и как и вектор относятся к этой трехмерной метрике. Для каждого решения НУТ .

Векторные поля будут иметь сингулярности дираковской струны от каждого решения НУТ. Если массы все равны между собой, эти струнные сингулярности и сингулярности типа горизонтов при все могут быть устранены отождествлением с периодом Граничная поверхность при больших радиусах будет при этом поверхностью, подобной линзе [41]. Топологически это поверхность с отождествлением точек в слое расслоения Хопфа где — число решений НУТ.

Эту граничную поверхность даже локально нельзя вложить в плоское пространство, поэтому мы не можем получить поправочный член для действия. Если пытаться «почти» вложить ее настолько, насколько это возможно, то для действия получается значение т. е. такое же, как в случае Шварцшильда о Фактически присутствие гравитационной магнитной массы изменяет топологию пространства и не позволяет ей быть асимптотически-плоской в обычном смысле. Но можно получить асимптотически-плоское пространство, содержащее одинаковое число

решений Поскольку решения НУТ и взаимно притягиваются, они должны удерживаться на расстоянии друг от друга электромагнитным полем. Такое решение будет фактически решением Израэля — Вильсона [27, 33]. Гравитационная часть действия равна при этом так что каждое НУТ и дает вклад

Теперь я перейду к положительно-определенным метрикам, которые являются решениями уравнений Эйнштейна с Л-членом на компактных многообразиях без края.

Простейшим примером служит с метрикой, индуцированной вложением этого многообразия как сферы радиуса в пятимерное евклидово пространство. При этом мы имеем аналитическое продолжение пространства де Ситтера [19]. Метрика может быть выражена через вектор Киллинга

Она содержит сингулярность типа горизонта при Фактически это двумерная сфера площади которая является геометрическим местом нулей вектора Киллинга Действие равно

Можно также получить решения с черной дырой, которые асимптотически не плоски, а деситтеровы. Простейшим из них является решение Шварцшильда — де Ситтера [191. Соответствующая метрика имеет вид

где

Если то имеются два положительных значения при которых Меньшее из них соответствует горизонту черной дыры, тогда как большее аналогично «космологическому горизонту» в пространстве де Ситтера. Кажущуюся сингулярность на каждом из горизонтов можно устранить периодическим отождествлением по . Но периоды, требующиеся для этих двух горизонтов, различны, за исключением предельного случая . В этом случае многообразие представляет собой с метрикой прямого произведения, а действие равно

Можно получить также решение Керра — де Ситтера [19]. При мнимом моменте количества движения метрика будет положительно определена для значений лежащих между космологическим горизонтом и внешним горизонтом черной дыры. Сингулярности типа горизонта снова можно устранить периодическим отождествлением, и при специальном выборе параметров периоды будут соизмеримы [38]. В этом случае мы получим метрику без

сингулярностей на -расслоении над . При этом действие равно

Можно получить и решения Тауба — де Ситтера. В дополнение к обычным сингулярностям Тауба — НУТ они будут обладать еще космологическим горизонтом. Все горизонты и сингулярности дираковской струны могут быть устранены одновременно в том предельном случае, когда многообразие представляет собой (комплексное двумерное проективное пространство с обычной келеровой метрикой) [20]. Действие равно

Можно получить решения, являющиеся произведением двух двумерных пространств постоянной кривизны [17]. О случае уже упоминалось, но есть также тривиальный случай плоского тора . В других примерах оба пространства имеют жанры и -член должен быть отрицательным. Действие равно

Наконец, для завершения этого каталога положительно-определенных решений уравнений Эйнштейна нужно упомянуть Это компактное четырехмерное многообразие, которое может быть реализовано как поверхность четвертого порядка в трехмерном комплексном проективном пространстве СР. Это многообразие может быть снабжено положительно-определенной метрикой, кривизна которой самодуальна, вследствие чего эта метрика будет решением уравнений Эйнштейна с Более того, с точностью до отождествлений является единственным компактным многообразием, допускающим самодуальную метрику. Действие равно нулю.

Компактные четырехмерные многообразия обладают топологическими инвариантами, которые могут быть представлены в виде интегралов от кривизны:

X есть число Эйлера данного многообразия и равно альтернированной сумме чисел Бетти:

Число Бетти есть число независимых замкнутых -мерных поверхностей, которые не являются границей какой-либо -мерной поверхности. Оно равно также числу независимых гармонических -форм. Для замкнутых многообразий Если многообразие односвязно, то , следовательно,

Сигнатура Хирцбруха интерпретируется следующим образом: гармонических -форм можно разделить на самодуальных и В; антисамодуальных -форм. Тогда

определяет гравитационный вклад в аномалию аксиального тока [10, 29, 30, 32].

Для имеем для для -расслое-ния над для для произведения двумерных пространств с жанрами имеем

В некомпактном случае в формулах для хит имеются добавочные поверхностные члены. Евклидово пространство и самодуальное решение Тауба — а для решения Шварцшильда