6. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЧЕРЕЗ ДЗЕТА-ФУНКЦИЮ

Чтобы регуляризовать детерминант оператора А с собственными значениями и собственными функциями построим из

собственных значений обобщенную дзета-функцию:

Из разложения (50) можно видеть, что будет сходиться при . Можно аналитически продолжить С до мероморфной функции с полюсами только при . В частности, она регулярна при Формально имеем

Поэтому можно определить регуляризованное значение детерминанта оператора А как

Дзета-функция может быть связана с ядром уравнения теплопроводности или диффузии

где означает, что этот оператор действует на первый аргумент функции При начальном условии

функция описывает диффузию по многообразию М в пятом измерении параметра времени от точечного источника тепла, находящегося в точке х в момент Это уравнение теплопроводности изучалось рядом авторов, в том числе Де Виттом [6], Мак-Кином и Синджером [36] и Джилки [25]. Хорошее освещение этого вопроса можно найти в работе [24].

Можно показать, что ядро является гладкой функцией и при если А — эллиптический оператор. При для имеется следующее асимптотическое выражение:

где снова — коэффициенты АМДВ, являющиеся скалярными полиномами по метрике, кривизне и ее ковариантных производных вплоть до порядка считая по производным метрики.

Функцию можно представить через собственные функции и собственные значения оператора А:

Интегрируя по многообразию, получим

Дзета-функцию можно получить из обратным преобразованием Меллина

Используя асимптотическое разложение для мы видим, что имеет полюс при с вычетом и полюс при с вычетом . Должен бы быть полюс и при но он компенсируется полюсом гамма-функции. Таким образом, . В определенном смысле полюсы при соответствуют устранению расходимостей, возникающих из-за первых двух членов в (50).

Если собственные значения известны точно, можно вычислить дзета-функцию и оценить ее производную при . В прочих случаях можно получить некоторую информацию из асимптотического разложения ядра уравнения теплопроводности. Предположим, например, что фоновая метрика умножена на постоянный масштабный множитель: тогда собственные значения безмассового оператора А будут равны Поэтому

и

следовательно,

Поскольку , следовательно, вообще говоря, не равны нулю, мы видим, что интеграл по траекториям не инвариантен относительно конформных преобразований фоновой метрики даже при конформно-инвариантных операторах А. Этот факт известен как конформная аномалия и возникает из-за того, что при регуляризации детерминанта мы вынуждены вводить нормирующую величину размерности массы или обратной длины. Альтернативно можно было бы сказать, что мера не является конформно-инвариантной.

Дальнейшие сведения относительно регуляризации через дзета-функцию детерминантов материальных полей можно найти в работах [17, 29, 30, 35].

Регуляризация через дзета-функцию однопетлевого гравитационного члена относительно вакуумного фона была рассмотрена Гиббонсом, Хокингом и Перри [23]. Я коротко изложу эту работу, обобщая ее так, чтобы включить А-член.

Член, квадратичный по флуктуациям относительно фоновой метрики равен

где

Нельзя просто считать однопетлевой член равным поскольку имеет много нулевых собственных значений, соответствующих тому факту, что действие не меняется при инфинитезимальном диффеоморфизме (калибровочное преобразование)

Было бы желательно отфакторизовать калибровочную свободу интегрированием только по калибровочно-неэквивалентным возмущениям Тогда мы получили бы результат, зависящий от детерминанта оператора А на множестве, которое состоит из классов эквивалентности всех полей относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований. Как это сделать, было показано Фейнманом [13], Де Виттом [7] и Фаддеевым и Поповым [11]. В действие добавляется член, фиксирующий калибровку:

Оператор В выбирается так, чтобы при любых достаточно малых возмущениях метрики удовлетворяющих требуемым граничным условиям, имелось бы единственное преобразование которое обращается в нуль на границе и удовлетворяет равенству

Я буду пользоваться гармонической (по фоновой метрике) калибровкой

Оператор вообще говоря, не имеет нулевых собственных значений. Однако содержит собственные значения произвольно выбранного оператора В. Чтобы скомпенсировать их, необходимо поделить его на детерминант оператора В на подпространстве всех которые являются чистыми калибровками,

т. е. имеют вид при некотором обращающимся в нуль на границе. Детерминант В на этом подпространстве равен квадрату детерминанта оператора С на пространстве всех векторных полей, которые обращаются в нуль на границе, причем

Таким образом, получаем

Последний член представляет собой так называемый вклад «духов».

Для применения метода дзета-функции необходимо представить как где каждый из операторов К и имеет только конечное число отрицательных собственных значений. Для этой цели положим

где оператор

действует на след Ф метрики (т. е. ), а оператор

действует на бесследовую часть метрики -Если то оператор будет иметь только положительные собственные значения. Таким образом, чтобы однопетлевой член был сходящимся, мы должны интегрировать по чисто мнимым Это соответствует интегрированию по конформным множителям вида При оператор будет иметь некоторое конечное число отрицательных собственных чисел. Поскольку постоянная функция будет собственной функцией с отрицательным собственным значением (в случае когда нет границы), по меньшей мере равно единице. Для того чтобы однопетлевой член стал сходиться, мы должны повернуть контур интегрирования коэффициента каждой собственной функции с отрицательным собственным значением так, чтобы этот контур лежал вдоль действительной оси. Это приведет к появлению множителя

Если фоновая метрика плоская, то оператор будет положительно-определенным. Следовательно, интегрирование бесследовых возмущений Ф будет происходить вдоль действительной оси. Это соответствует интегрированию по действительным классам конформной эквивалентности. Однако при неплоских фоновых метриках Ф может иметь некоторое конечное число отрицательных собственных значений из-за -члена и тензора Вейля. Мы снова

вынуждены повернуть контур интегрирования для этих мод (на этот раз от действительной оси к мнимой); в результате этого в появится множитель

Оператор «духов» равен

Если то С будет иметь некоторое конечное число отрицательных собственных значений. Поскольку в появляется детерминант С, а не квадратный корень из него, отрицательные собственные значения приведут к множителю

Имеем

Из асимптотического разложения ядра уравнения теплопроводности необходимо получить значения дзета-функций при Из результатов Гиббонса и Перри [21] имеем

Отсюда можно вывести поведение однопетлевого члена при масштабных преобразованиях фоновой метрики. Пусть тогда

где — правая часть равенства (79). В предположении, что величина будет очень мала при больших масштабах, т. е. при больших Тот факт, что означает, что эта величина мала также при очень малых масштабах. Таким образом, в квантовой гравитации может быть обрезание на малых расстояниях. Этот вопрос будет обсуждаться в разд. 10.