2. КВАНТОВЫЙ ЭФИР

К наиболее впечатляющим примерам такого взаимообогащения следует отнести тот толчок, который был дан идеями общей теории относительности развитию понятия «вакуум», и ту поддержку, которую получила от квантовой теории поля идея, что на вакуум можно смотреть как на эфир, обладающий структурой. С первых дней возникновения квантовой электродинамики было известно, что напряженности полей в вакуумном состоянии испытывают случайные флуктуации, совершенно аналогичные нулевым колебаниям гармонического осциллятора, а когда учитывается взаимодействие с электронным полем, эти флуктуации сопровождаются рождением и аннигиляцией пар. Таким образом, вакуум оказывается состоянием постоянного беспорядочного движения.

С точки зрения Эйнштейна, было бы естественно считать, что флуктуации поля происходят в эфире и сообщают ему новые свойства в дополнение к геометрическим свойствам. Математическое описание вакуума, в котором эффективно воплощена эта идея, было дано уже довольно давно Швингером [64]. В присутствии внешнего источника квантованное поле, находившееся первоначально в вакуумном состоянии, не обязательно будет оставаться в этом состоянии. Швингер показал, что все физические свойства поля могут быть установлены, если знать, как с изменением источника варьирует амплитуда вероятности того, что поле останется в вакуумном состоянии. Функциональные производные вакуум-вакуумных амплитуд по источнику являются функциями отклика, которые описывают, как эфир реагирует на внешнее воздействие. Таким образом, в самом эфире содержится полный «проект» динамики поля.

Эфир можно зондировать не только источниками, но и иными средствами. Можно варьировать граничные условия и внешние поля. Например, вакуум-вакуумный матричный элемент тензора натяжений для любой комбинации полей, включающей гравитационное поле, дается функциональной производной

Здесь — начальный и конечный векторы вакуумного состояния соответственно, внешнее метрическое поле, часто называемое фоновым полем, которое служит произвольно выбранным началом отсчета квантовых флуктуаций гравитационного поля и может быть использовано для фиксации топологии пространственно-временного многообразия. В выражении (1) предполагается, что вакуумные состояния однозначно (хотя и не обязательно единственным образом) определены относительно данного фона и топологические переходы (если они вообще реально происходят) можно описать, лишь допуская переход по в комплексную

плоскость. Предполагается также, что любые расходимости, какие могут возникнуть, уже устранены перенормировками.

Аналогичное выражение в квантовой электродинамике имеет

где — вектор тока, — вектор-потенциал внешнего или фонового электромагнитного поля. Выражение (2), вообще говоря, отлично от нуля всюду, где отлично от нуля фоновое поле; это явление известно как поляризация вакуума. Подобным же образом выражение (1) отлично от нуля, вообще говоря, всюду, где фоновая геометрия искривлена. Однако кривизна — не единственный источник гравитационной «поляризации вакуума». Вносит вклад также топология. Это означает, что свойства эфира зависят от многообразия в целом!

Этот факт столь поразителен, что заслуживает более подробного рассмотрения. Такое явление впервые было открыто в эффекте Казимира. При вычислении сил Ван-дер-Ваальса между очень близкими молекулами Казимир [13] обнаружил, что энергию взаимодействия можно представить как сумму членов, зависящих кроме межмолекулярных расстояний и внутримолекулярных параметров также и от кривизны молекулярной поверхности. Но один член не зависит ни от кривизны, ни от особенностей молекул. Наличие этого члена говорит о том, что между двумя плоскопараллельными проводящими пластинами в вакууме должна существовать сила притяжения. Этот эффект вскоре был подтвержден в лабораториях фирмы «Филипс». Поскольку сила притяжения крайне мала, необходимо было принять исключительные меры предосторожности, чтобы поверхности были абсолютно чисты, нейтральны и микроскопически плоски; только при этих условиях их можно довести почти до соприкосновения без возникновения каких-либо посторонних эффектов.

За эффект Казимира ответственно электромагнитное поле, а многообразием при этом является плоскопараллельный зазор между проводящими пластинами. По математической терминологии, это — неполное многообразие. Однако ничто не препятствует построению физики в неполном многообразии, если наложены подходящие граничные (краевые) условия, в данном случае условие идеальной проводимости на границах. Свойства эфира между проводниками целиком определяются полевыми функциями Грина (функциями отклика), соответствующими зазору.

Рассмотрим сначала бесконечный вакуум в пространстве Минковского, т. е. стандартный вакуум физики элементарных частиц. Оператор описывающий энергию, импульс и натяжения в

электромагнитном поле, формально является билинейным произведением операторнозначных обобщенных функций (полевых операторов) и поэтому не имеет смысла. Ему придается смысл с помощью вычитательной процедуры, по которой ожидаемое значение полагается равным нулю в вакууме в пространстве Минковского. Это вычитание соответствует пренебрежению нулевой энергией полевых осцилляторов, но оно ни в коем случае не является произвольным. должно обращаться в нуль в пустом пространстве-времени Минковского, если квантовая теория поля должна быть полностью согласована с общей теорией относительности. Вакуум пространства Минковского служит тем стандартом, с которым должны сопоставляться любые другие возможные вакуумы.

Допустим теперь, что в вакуум Минковского внесен одиночный бесконечный плоский проводник. Можно представить себе, что проводник внесен адиабатически из бесконечности, так что поле не испытывает никакого возбуждения и остается в своем основном состоянии. Интересующее нас многообразие становится при этом бесконечным полупространством. Введем координаты Минковского , ориентированные так, что ось перпендикулярна плоскости проводника. Из соображений симметрии ясно, что должно быть диагональным и независящим от Более того, поскольку идеальный проводник остается идеальным проводником в люээм состоянии движения параллельно своей поверхности, вакуучныз натяжения вблизи него должны иметь один и тот же вид независимо от того, насколько быстро наблюдатель скользит вдоль этой поверхности. Иными словами, эфир всегда сохраняет свои релятивистские свойства, и, следовательно, должно быть инвариантным относительно преобразований Лоренца, соответствующих бустам, параллельным плоскости Это означает, что первые три столбца и строки должны быть пропорциональны метрическому тензору -мерного пространства Минковского, а именно . Если к этому выводу добавить еще то наблюдение, что в случае электромагнитного поля то мы придем к заключению, что имеет вид

Но это еще не все. Можно установить также и вид функции . Для этого нужно прибегнуть к закону сохранения . В частности,

откуда следует, что есть постоянная, не зависящая от Далее, имеет размерность энергии. Единственные фундаментальные постоянные, которые входят в теорию, — это А и с. Чтобы получилась постоянная, имеющая размерность энергии, необходима единица длины, массы или времени. В данной задаче нет никаких

величин с такими размерностями. Поэтому можно прийти к единственному заключению, что , следовательно, в бесконечном полупространстве

Этот вывод подтверждается прямым вычислением. Функцию Грина для бесконечного полупространства легко построить из функции Грина для пространства Минковского методом изображений. Тогда получается соответствующим дифференцированием полученной функции Грина и последующим сведением вместе пространственно-временных точек, от которых она зависит. Результат, конечно, расходится и должен быть перенормирован путем вычитания соответствующего результата для пространства Минковского. Это эквивалентно вычитанию функции Грина для пространства Минковского из функции Грина для полупространства. Хотя результирующая перенормированная функция Грина сама не обращается в нуль, она дает

Все приведенные соображения относительно вида столь же верны и для многообразия-зазора, за тем исключением, что теперь имеется естественная единица длины — расстояние а, разделяющее параллельные проводящие плоскости. Поэтому в области между проводниками следует ожидать, что

Вид функции может быть определен из рассмотрения работы необходимой для адиабатического разведения проводников. Из анализа случая полупространства мы знаем, что на проводники не действуют извне никакие силы. Но есть внутренняя сила, стремящаяся свести их вместе, и ее величина на единицу площади равна Если проводники раздвигаются на расстояние то для этого на единицу площади нужно совершить работу Она должна проявиться как прирост энергии на единицу площади, равный Положив и интегрируя, немедленно получаем

где А — некоторая универсальная константа.

Вид выражения (6) можно также вывести из анализа размернотей. Единственная комбинация из А, с и а, дающая плотность энергии, есть . В дальнейшем мы положим Тогда постоянная А будет безразмерным числом.

Чтобы оценить значение А, необходимо прямое вычисление. Вновь методом изображений можно построить функцию Грина и, вычитая из нее функцию Грина для пространства Минковского, получить перенормированную функцию Грина. Перенормированное уже не обращается в нуль. При этом подтверждаются выражения (5) и (6), и для А получается значение . В пределах

ожидаемых ошибок это значение находится в согласии с опытом.

Можно видеть, что плотность энергии эфира между проводниками отрицательна. Эта энергия ничтожно мала, на много порядков меньше энергии, необходимой для создания гравитационного поля, которое можно было бы измерить. Но легко придумать мысленные эксперименты, в которых нарушается закон сохранения энергии, если эта энергия не будет включена в источник гравитационного поля. Плотность энергии в квантовом эфире часто оказывается отрицательной. Поэтому квантовая теория нарушает посылки знаменитых теорем Пенроуза — Хокинга относительно неизбежности сингулярностей в пространстве-времени, которые в конечном счете предсказывают крах классической общей теории относительности.