5. ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО РАЗМЕРНОСТИ

В разд. 3 было подчеркнуто, что существование фиксированной точки и размерность ее ультрафиолетовой критической поверхности не зависят от того, определяем ли мы параметры связи обычной перенормировкой, размерной регуляризацией или «плавающим» ультрафиолетовым обрезанием. Однако опыт показывает, что метод размерной регуляризации [137—139] с большим запасом является самым удобным для актуальных вычислений. Несколько неожиданным оказывается, что размерная регуляризация дает также очень удобный базис для изучения фиксированных точек при произвольной, нецелой размерности; в разд. 3 мы отмечали, что такое

продолжение по размерности дает метод, при котором можно использовать теорию возмущений для изучения фиксированных точек.

Размерная регуляризация позволяет нам вычислить все фейнмановские интегралы в конечном виде для нерациональной пространственно-временной размерности но эти интегралы будут иметь полюсы при приближении к различным рациональным значениям. Возьмем некоторый определенный набор рациональных значений пространственно-временной размерности и предположим, что неперенормированные константы связи имеют полюсы, которые будут аннулировать полюсы при в фейнма-новских интегралах, давая скорости реакций, которые конечны при (В оригинальной формулировке [150] этого подхода набор состоял из единственной физической размерности про-странства-времени обобщение на несколько представлено здесь потому, что оно не требует в сущности никакой дополнительной работы и могло бы оказаться полезным.) Чтобы выразить в терминах перенормированных параметров связи, которые являются безразмерными для всех мы должны ввести единицу массы и записать разложение в ряд Лорана для масштабно-переопределенной связи вместо обычной неперенор-мированной связи (Как обычно, — размерность в степени массы при размерности пространства-времени Кроме полюсов при это разложение будет иметь остаточный член, который аналитичен по и который мы просто определяем как безразмерную связь Коэффициенты полюсов порядка в при будут зависеть от и только через их зависимость от перенормированной связи поскольку не имеется никакого размерного параметра, с которым можно было бы сравнить и поскольку любая отдельная зависимость от меняла бы только аналитические члены и полюсы более низкого порядка по Поэтому разложение в ряд Лорана может быть записано в виде

(Теперь мы опускаем тильду, использованную в разд. 3, чтобы отличить от обычной масштабно-переопределенной перенормируемой связи

Чтобы вычислить функции Гелл-Манна — , сначала дифференцируем по и находим

где

и

Кроме того, мы запишем как функцию от всех а также от но не от поскольку здесь нет никакой размерной величины, с которой можно было бы сравнить

Тогда размерность величины всегда является линейной функцией пространственно-временной размерности которую мы будем записывать как 1150]

Левая часть (37) может быть теперь переписана в виде

где суммирование по производится, как прежде, от 1 до Поскольку здесь наивысшей степенью в аналитической части является первая степень, то же самое должно выполняться и в правой части (37). Однако все полюсы по предполагаются исключенными, когда мы выражаем в терминах поэтому должна быть аналитична по Чтобы аналитическая часть выражения в правой части (37) не содержала членов выше первого порядка по необходимо, чтобы была линейна по

Приравнивание членов первого и нулевого порядка по в (41) и правой части (37) дает

и потому

Тот факт, что -функции линейны является и замечательным и удобным; -зависимость полностью обусловлена членом и петлевые вклады в (20) являются -независимыми.

(Следует упомянуть, между прочим, что сравнение полюсных членов в (37) ведет к дополнительным соотношениям [150], которые определяют для в членах Используя (42), можно привести правую часть (37) к виду

Сравнивая полюсные члены с соответствующими членами в (41), получаем рекурсивные соотношения

Дальнейшая полезная информация относительно функций вычетов может быть получена из размерных соображений. Одна из особенностей размерной регуляризации состоит в том, что полюсы в функциях Грина возникают только из логарифмических ультрафиолетовых расходимостей, а не из квадратичных или более высоких расходимостей. Однако логарифмическая расходимость может появиться в данной величине, только если размерность этой величины точно равна размерности констант связи, которым эта величина пропорциональна. Отсюда следует, что может содержать член порядка только если размерность равна полной размерности при пространственно-временной размерности

Из (42) видно, что то же самое верно для -членов в Например, в евклидовой скалярной полевой теории с симметрией относительно преобразования обычный лагранжиан есть

(Мы используем нашу свободу выполнять точечные преобразования с в виде линейной комбинации чтобы исключить такие члены, как и чтобы привести коэффициент при к единице.) В четырех измерениях имеют размерности

Следовательно, если мы определим перенормированные связи так, чтобы исключить только полюсы при то -функции будут иметь структуру

где — функции только от переменных

Этот формализм делает возможным очень компактный и удобный анализ свойств определенных фиксированных точек. Предположим, что определяются так, чтобы исключить только полюсы при единственной пространственно-временной размерности Величина для любой неперенормируемой или сверхперенормируемой связи

должна быть всегда пропорциональна первой или более высоким степеням неперенормируемой или сверхперенормируемой связей соответственно. Следовательно, набор связей с обращающимися в нуль значениями для всех взаимодействий, которые являются неперенормируемыми или сверхперенормируемыми при будет представлять фиксированную точку лишь при условии, что величины рсоответствующие перенормируемым связям, будут стремиться к нулю. Кроме того, единственными членами в которые не стремятся к нулю в этой фиксированной точке, являются члены с поэтому матрица диагональна по размерности связей, и собственные значения этой матрицы могут быть получены диагонализацией субматриц, соединяющих связи одинаковой размерности. Например, в теории, описываемой лагранжианом (45), все -функции (46) будут стремиться к нулю в точке

лишь при условии, что удовлетворяет соотношению

Кроме того, В-матрица для этой фиксированной точки диагональна и имеет отличные от нуля элементы:

Все эти диагональные элементы являются в таком случае собственными значениями В-матрицы. Вообще говоря, фиксированная точка этого типа может быть найдена с использованием строго перенормируемой теории (хотя действительная теория может и не быть перенормируемой вообще) и собственные значения В-матрицы, «критические экспоненты», могут быть получены рассмотрением всех сверхперенормируемых и неперенормируемых взаимодействий в качестве возмущений первого порядка.

Может быть, следовало бы подчеркнуть, что даже если определение (36) перенормированных связей дает тривиальную зависимость -функций от пространственно-временной размерности критические экспоненты имеют в точности такую же сложную -зависимость, которую они имели бы при любом другом определении перенормированных связей. Чтобы проиллюстрировать этот факт, вернемся к лагранжиану (45) с По мотивам, обсуждавшимся выше, мы можем найти фиксированную точку, используя урезанную строго перенормируемую теорию:

Коллинз [152] вычислил полюсы в которые требуются для сокращения полюсов в функциях Грина при снизу; в

двухпетлевом порядке он нашел

Функция вычета для таким образом, имеет вид

Размерность величины есть поэтому и (42) дает здесь -функцию в виде

или с использованием (53)

Фиксированная точка, где обращается в нуль, может быть получена в виде ряда по степеням

(Эта точка известна как фиксированная точка Вильсона — Фишера [130, 131]. Она имеет физический знак только для Итак, мы легко вычисляем критическую экспоненту

Отметим, что она положительна по крайней мере для конечной области ниже Все другие критические экспоненты также положительны в окрестности за исключением одной, соответствующей сверхперенормируемой связи — Коллинз [152] также вычислил полюсы в необходимые для того, чтобы аннулировать особенности при вводимые этой связью; в двухпетлевом порядке его результат есть

Следовательно, функция вычета для имеет вид

Размерность величины равна поэтому

и (42) дает -функцию для в виде

или с использованием (59)

Соответствующая критическая экспонента обычно обозначается

или, используя (56),

В согласии с известными результатами [153, 154]. Тот факт, что только одно собственное значение матрицы отрицательно для означает, что фиксированная точка Вильсона — Фишера имеет одномерную ультрафиолетовую критическую поверхность и что есть лишь один параметр, который необходимо установить, чтобы произвести фазовый переход второго рода.

Мы видели в разд. 3, что существование теории, которая является перенормируемой и асимптотически безопасной при пространственно-временной размерности указывает на существование фиксированной точки вблизи с конечномерной критической поверхностью по крайней мере для конечной области пространственно-временных размерностей выше Это можно очень удобно показать, используя метод продолжения по размерности, описанный в этом разделе. Предположим для простоты, что теория, которая является (строго) перенормируемой при имеет единственный параметр связи с размерностью где Определим безразмерный перенормированный параметр связи таким образом, чтобы исключить все полюсы в скоростях реакций при Исходя из соображений, обсуждавшихся выше в этом разделе, мы можем найти фиксированную точку полной теории для любого полагая равными нулю все связи, которые были бы неперенормируемыми или сверхперенормируемыми для и находя фиксированную точку урезанной теории. Когда это сделано, уравнение ренорм-группы, которому удовлетворяет будет иметь вид

Второй член справа возникает из петлевых диаграмм, поэтому его степенной ряд будет, вообще говоря, начинаться с членов второго

порядка:

Чтобы теория была асимптотически свободной при необходимо, чтобы величина была положительной. Тогда при положительном и достаточно малом будет существовать фиксированная точка

Все критические экспоненты положительны, за исключением одной, связанной с X,

и тех, которые связаны с любыми массами или такими связями, которые были бы сверхперенормируемыми при Поэтому ультрафиолетовая критическая поверхность является конечномерной, состоящей как раз из тех теорий, которые были бы перенормируемыми при

Это не следует интерпретировать как утверждение о том, что эти асимптотически безопасные теории являются перенормируемыми, как обычно для Метод размерной регуляризации здесь несколько вводит в заблуждение — он устраняет ультрафиолетовые расходимости во всех теориях при нерациональных значениях пространственно-временной размерности ценой введения полюсов при рациональных значениях При любой другой схеме регуляризации имеется множество ультрафиолетовых расходимостей при и они должны быть устранены включением в лагранжиан всех возможных взаимодействий, допускаемых симметриями теории. Появление фиксированной точки (66) с конечномерной критической поверхностью в формализме размерной регуляризации гарантирует, что существует фиксированная точка с ультрафиолетовой критической поверхностью такой же размерности в более традиционных схемах перенормировки, но фиксированная точка там будет иметь, вообще говоря, не обращающиеся в нуль значения для всех связей, перенормируемых и неперенормируемых, и асимптотически безопасные теории не будут даже казаться перенормируемыми в обычном смысле.

Почему же в таком случае мы должны отказаться от формализма размерной регуляризации, в котором асимптотически безопасные теории оказываются столь простыми? Причина заключается как раз в том, что в конечном счете мы должны заниматься физической пространственно-временной размерностью которая больше, чем и при продолжении от до мы должны избегать полюсов при промежуточных рациональных значениях и при самом которые будут присутствовать при размерной

регуляризации. Обычная схема перенормировки предлагает возможный способ осуществления этого продолжения ценой отказа от видимой перенормируемости. Однако первый шаг к тому, чтобы убедиться, что существует фиксированная точка с конечномерной критической поверхностью для именно выше является тем шагом, который может быть легче всего выполнен методом размерной регуляризации.