2.1. ДРУГИЕ ТОПОЛОГИИ

Для того чтобы было отлично от нуля в плоском пространстве, вовсе не обязательно, чтобы, как в случае эффекта Казимира, многообразие было неполным. В полных многообразиях также может наблюдаться подобное явление; например, в многообразиях где «слои» 2 — плоские, пространственноподобные гиперповерхности Коши, имеющие одну из следующих топологий: где есть -мерный тор, -двумерная бутылка Клейна и т. д. Случай имеет наиболее близкое сходство с эффектом Казимира. Единственное отличие состоит в том, что вместо наложения граничных условий о том, что поверхности, ограничивающие зазор, образованы проводником, теперь накладываются периодические граничные условия. снова принимает вид (5), (6), где теперь а — период координаты Снова нетрудно подсчитать функцию Грина, и в этом случае мы получаем Случаи более сложны. Хотя не зависит от координат, его вид теперь уже не дается выражениями (5) и (6), а зависит от отношений периодичностей по разным координатам. В случае перестает быть независимым от координат и становится периодическим (и гладким).

Одним из преимуществ изучения квантовой теории поля на полных многообразиях является то, что можно рассматривать любое поле. Не нужно заботиться о том, каковы граничные условия, аналогичные граничным условиям на проводнике для электромагнитного поля. Можно ввести скалярное, спинорное и даже гравитационное поле. Спинорные поля представляют особый интерес из-за того, что на некоторых многообразиях, например на

можно ввести спинорные поля, которые гомотопически не эквивалентны. Это означает, что можно ввести более одного «вакуумного» состояния.

Ситуации такого рода изучались в связи с «кинками», солитонами и инстантонами (по этому вопросу см. обзор [56]). Общая теория относительности с тем богатством топологий, которые она допускает, увеличивает разнообразие и сложность этих ситуаций. Более того, в качестве модели других (обычно более простых) полевых теорий она привлекла внимание к факту, который до этого часто не замечали, а именно к тому, что конфигурационное пространство любого набора взаимодействующих полей само является римановым многообразием или в более общем случае (когда участвуют фермионные поля) градуированным римановым многообразием, обладающим метрикой, которая определяется (по крайне мере частично) лагранжианом полей. Топология этого многообразия вовсе не обязательно будет тривиальной.

Это конфигурационное пространство, не жертвуя его римановым характером, можно также рассматривать как (градуированное) расслоенное пространство над пространством-временем. Топология этого расслоенного пространства не обязательно тривиальна. Примером может служить гомотопическая неэквивалентность классов спинорных полей на Более простой пример на был предложен Ишэмом [53]. Рассмотрим нейтральное скалярное поле. Классически оно является отображением из данного пространства-времени на действительную прямую Поэтому его конфигурационное пространство есть расслоенное пространство, где слоями являются копии Предположим, что расслоение «скручено» так, что поле, вместо того чтобы быть периодическим над становится антипериодическим. Эта антипериодичность должна отразиться в функции Грина, а следовательно, и вакуумный тензор натяжений тоже должен измениться. Прямым вычислением для безмассового поля можно получить, что по-прежнему сохраняет вид (5) и (6), но теперь . В этом случае плотность энергии положительна. Когда расслоение не «скручено», плотность энергии отрицательна, как это было в случае электромагнитного поля.

Во всех приведенных выше примерах фоновое многообразие — плоское. Энергия и натяжение в эфире целиком обусловлены топологией. Не всякая топология допускает плоскую метрику, примерами могут служить . В этих случаях также отлично от нуля. Однако «поляризация вакуума» теперь

вызвана не одной только топологией; кривизна также играет определенную роль. Кривизна к тому же усложняет алгоритм перенормирования и приводит к явлению аномалий следа (trace anomalies): формальное равенство справедливое для конформно-инвариантных классических теорий поля, для квантованных полей при наличии кривизны перестает выполняться. Краткое обсуждение этих проблем дано в одном из последующих разделов. Здесь мы лишь отметим, что аномалии следа во многих отношениях подобны аномалиям аксиально-векторного тока теорий слабых взаимодействий, в которых также перестает выполняться некоторое формальное равенство (условие на дивергенцию).

Аномалии аксиально-векторного тока играют определенную роль в теории -распада и при анализе ограничений, которые должны быть наложены на единые теории поля типа теории Вейнберга — Салама. Они были известны в течение многих лет, и первоначально никто не думал, что они имеют какое-либо отношение к общей теории относительности. Однако Кимура [58] обнаружил, что в действительности они тесно связаны с топологией пространства-времени. Этот факт и его связь с числом Понтрягина и индексом Атья — Зингера [2, 3] получили дальнейшее подтверждение в работах Дельбурго и Салама [17], Эгучи и Фройнда 130] и Джэкива и Ребби [57]. Его возможная связь с квантовомеханическим туннелированием была отмечена Хокингом [47, 48] на основе работ т’Хофта [67, 68], где рассматривается фоновое поле Янга — Миллса. Пока еще рано настаивать на большом значении этих достижений, но ясно, что они вместе со всеми другими упомянутыми выше примерами гарантируют, что топология непременно будет играть важную роль в квантовой теории поля будущего.