5. ПОЛНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

Методы предыдущих разделов применимы к полям со спином в той же мере, в какой они применимы к скалярному полю. Требуется лишь ввести несколько новых технических средств, таких, как битензоры или биспиноры для описания переноса поляризации полей вдоль геодезических, а если имеются калибровочные группы, то ввести также члены, фиксирующие калибровку и «духовы»

поля. Но в основном однопетлевая теория для одинакова как для скалярного поля, так и для электромагнитного поля, поля спина V. поля Прока и гравитационного поля.

Как мы отмечали выше, однопетлевая теория является ВКБ-приближением к полной теории, к которой мы теперь обращаемся. Начиная с этого момента мы сможем делать мало строгих утверждений. Большую часть времени мы будем иметь дело с формальными уравнениями, из которых никто пока не может извлечь надежные конечные ответы. Однако исходным пунктом этих уравнений является функциональный интеграл Фейнмана, в отношении которого широко распространена уверенность, что его справедливость выходит за пределы теории возмущений. Поэтому ожидается, что сами эти уравнения сохранятся при дальнейшем развитии теории.

Для простоты мы рассмотрим чистую квантовую гравитацию, но введем компактную систему обозначений, которая в равной степени применима ко всем полевым теориям. Начнем с замены символа для квантового метрического тензора символом Подразумевается, что индекс заменяет смешанный набор нумерующих величин где х нумерует пространственно-временную точку. Причина включения в этот набор непрерывного «номера» х состоит в том, что большая часть формализма квантовой теории поля носит чисто комбинаторный характер, причем суммирование по немым тензорным индексам часто сопровождается интегрированием по пространству-времени. Для того чтобы избежать написания множества знаков интегрирования, мы объединяем индексы х и тензорные индексы в один индекс и уславливаемся, что по повторяющимся нижним строчным латинским индексам производится комбинированное суммирование-интегрирование. Расширяя множество значений, которое пробегает индекс можно включить в символ также компоненты других полей. Если некоторые из этих полей фермионные, то необходимы дополнительные обозначения, чтобы контролировать знаки и расстановку множителей, но пока мы не будем рассматривать подобное усложнение.