Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2. МНОГООБРАЗИЕ СВЯЗЕЙПусть через
означает множество решений дивергенциальной связи. Таким образом, 1) Уравнения эволюции сохраняют эти связи при любом выборе функции течения времени и векторного поля сдвига. 2) С пространственно-временной точки зрения сохранение связей эквивалентно свернутым тождествам Бианки, которые являются дифференциальными тождествами, порожденными ковариантностью четырехмерных уравнений поля. Это сохранение связей во времени необходимо для согласованности уравнений эволюции и связей. Структура многообразия на Для начала заметим, что гамильтониан и функции импульса ковариантны по отношению к
и, следовательно, Здесь Если
дифференцируя приведенные выше соотношения ковариантности по X и положив
и, следовательно,
Подобные же равенства возникают из калибровочной инвариантности полей Янга — Миллса. Скорость изменения Теорема 6 Пусть
при произвольной длительности
Если для некоторого Замечание. Из теорем единственности (см. разд. 3) вытекает, что решение уравнений эволюции должно полностью лежать в Доказательство. Используем инфинитезимальную ковариантность
Первые два члена в выражении для
Отсюда мы приходим к следующему выражению:
Эволюционное уравнение для Пусть
(инфинитезимальная ковариантность Ф)
Поскольку К — произвольное поле,
Теорему 6 можно переформулировать через скобки Пуассона, введенные в предыдущем разделе, следующим образом. Теорема 7 Пусть даны
тогда
и в частности
Убедиться в том, что эти соотношения эквивалентны теореме 6, можно прямым вычислением. Мы будем называть их каноническими коммутационными соотношениями Дирака. Для понимания расщепления, введенного Монкри [148], и конструкции, приводящей к пространству гравитационных степеней свободы (разд. 6), будет важна следующая инфинитезимальная версия теоремы 1. Предложение 8 Пусть
Доказательство. Пусть
Поэтому Изучим теперь структуру многообразия множества связей С»: Если
Рассмотрим связи по отдельности, начиная с гамильтоновой связи. Предложение 9 Пусть
Доказательство основано на ряде свойств эллиптических операторов и пространств Соболева. Мы коротко напомним относящиеся сюда факты (см. доказательства в работах Пусть
По определению Для компактного многообразия М без края и векторного расслоения Е над М будем обозначать через В случае Предположим теперь, что имеются два векторных расслоения Е и дифференциальный оператор
Линейный дифференциальный оператор порядка
Для оператора
где Дифференциальный оператор Для эллиптических операторов имеет место следующая основная теорема расщепления. Альтернатива Фредгольма: теорема 10 Если Доказательство предложения 9. Рассмотрим отображение
есть сюръективное отображение с таким ядром расщепления, что является погружением в окрестности Из теоремы 10 следует сюрьективность
инъективно и обладает инъективным символом. Этот символ для
для
Взятие следа условия (II) дает
След
Однако из равенств
и, следовательно, Если Если Предложение 11 Если
Доказательство. Оператор, сопряженный к производной
Символ инъективен (только из-за инъективности по второй компоненте). Ядром отображения Чтобы показать, что пересечение есть подмногообразие многообразия Теорема 12 Пусть
где Доказательство. Нам нужно показать, что отображение
Для
Взяв след от (I) и (II), получим
Далее,
так как
в координатах
Поскольку
Используя (II) и (IV), чтобы исключить
Теперь заметим, что коэффициент при
положительно определен. Таким образом, если
это означает, что Замечание. Слабым местом нашего анализа является необходимость наложить условие была инъективна. Трудность, однако, в том, что в этой системе скажем (VI) и (II) для В работах [54, 141] обсуждается существование гиперповерхностей с постоянным
|
1 |
Оглавление
|