Главная > Общая теория относительности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. МНОГООБРАЗИЕ СВЯЗЕЙ

Пусть через обозначено множество решений гамильтоновой связи, и пусть

означает множество решений дивергенциальной связи. Таким образом, есть множество связей для системы Эйнштейна в пустом пространстве. Отметим два следующих важных факта относительно

1) Уравнения эволюции сохраняют эти связи при любом выборе функции течения времени и векторного поля сдвига.

2) является в общем случае гладким подмногообразием в

С пространственно-временной точки зрения сохранение связей эквивалентно свернутым тождествам Бианки, которые являются дифференциальными тождествами, порожденными ковариантностью четырехмерных уравнений поля. Это сохранение связей во времени необходимо для согласованности уравнений эволюции и связей.

Структура многообразия на интересная сама по себе, как мы увидим далее, является также ключом к пониманию устойчивости линеаризации полевых уравнений.

Для начала заметим, что гамильтониан и функции импульса ковариантны по отношению к бесконечномерной калибровочной группе диффеоморфизмов многообразия М. Иначе говоря, для любого

и, следовательно,

Здесь -обычное увлечение тензоров.

Если некоторая кривая на причем есть единица группы, то, вводя векторное поле X как

дифференцируя приведенные выше соотношения ковариантности по X и положив получим инфинитезимальную версию этих соотношений:

и, следовательно,

Подобные же равенства возникают из калибровочной инвариантности полей Янга — Миллса.

Скорость изменения и вдоль решения уравнения эволюции при функциях длительности и сдвига общего вида определяется следующей теоремой. Производная Ли в приведенных в ней уравнениях обусловлена уже обсуждавшейся инфинитезимальной ковариантностью.

Теорема 6

Пусть — некоторое решение эволюционных уравнений Эйнштейна

при произвольной длительности и произвольном сдвиге Тогда удовлетворяют следующей системе

Если для некоторого в области существования этого решения то при всех К, для которых решение существует.

Замечание. Из теорем единственности (см. разд. 3) вытекает, что решение уравнений эволюции должно полностью лежать в если оно пересекает

Доказательство. Используем инфинитезимальную

ковариантность следующим образом:

Первые два члена в выражении для требуют довольно трудоемких вычислений. Результат имеет вид

Отсюда мы приходим к следующему выражению:

Эволюционное уравнение для следует из инфинитезимальной ковариантности следующим образом.

Пусть — некоторое векторное поле на М (не зависящее от X). Тогда

(инфинитезимальная ковариантность Ф)

(интегрирование по частям)

Поскольку К — произвольное поле,

Теорему 6 можно переформулировать через скобки Пуассона, введенные в предыдущем разделе, следующим образом.

Теорема 7

Пусть даны

тогда

и в частности

Убедиться в том, что эти соотношения эквивалентны теореме 6, можно прямым вычислением. Мы будем называть их каноническими коммутационными соотношениями Дирака.

Для понимания расщепления, введенного Монкри [148], и конструкции, приводящей к пространству гравитационных степеней свободы (разд. 6), будет важна следующая инфинитезимальная версия теоремы 1.

Предложение 8

Пусть Тогда

Доказательство. Пусть такие, что . Пусть суть произвольные длительность и сдвиг, такие, что . Пусть — решение уравнения эволюции с длительностью и сдвигом и с начальными данными Поскольку по теореме 6 имеем для всех к, при которых существует решение. Отсюда

Поэтому

Изучим теперь структуру многообразия множества связей Наложим следующие условия на

С»: Если то — неплоская метрика.

Если для имеем то постоянен на М.

Рассмотрим связи по отдельности, начиная с гамильтоновой связи.

Предложение 9

Пусть удовлетворяет условию Тогда есть -подмногообразие многообразия в окрестности с касательным пространством

Доказательство основано на ряде свойств эллиптических операторов и пространств Соболева. Мы коротко напомним относящиеся сюда факты (см. доказательства в работах

Пусть — ограниченная открытая область пространства с гладкой границей. Для любой -функции из мы ределим как

полная производная порядка а и через обозначена обычная -норма на

По определению есть пополнение пространства -функций с на по этой норме. Будем употреблять более краткую запись для и аналогичную для других подобных выражений в случаях, когда возможность путаницы будет невелика.

Для компактного многообразия М без края и векторного расслоения Е над М будем обозначать через пространство всех сечений Е класса в некотором (и, значит, в каждом) покрытии М картами. Для функций с действительными значениями мы будем писать просто но в случаях других тензорных расслоений примем для специальные обозначения, такие, как для -пространства римановых метрик.

В случае пространства обозначаются В этом, и только в этом случае мы имеем дело с гильбертовым пространством.

Предположим теперь, что имеются два векторных расслоения Е и над одним и тем же многообразием М и линейный

дифференциальный оператор порядка

Линейный дифференциальный оператор порядка отображение, такое, что для данных карт на Е и (и, следовательно, для всех карт) этот оператор принимает форму где частная производная в карте многообразия есть линейная функция из модельного пространства для слоя в модельном пространстве для слоя над На D можно смотреть как на отображение между пространствами Соболева:

Для оператора есть -сопряженный оператор определяемый, как обычно, уравнением

где — некоторый предпочтительный элемент объема, скажем тот, который связан с метрикой: означает внутреннее произведение в слоях. Однако надобность в этой структуре отпадает, если используется естественное сопряжение.

Дифференциальный оператор является эллиптическим, если он обладает инъективным (главным) символом. Для каждого х в М и для каждого (слой в кокасательном расслоении) символ есть линейное отображение из слоя в слой По заданному выражению в картах символ получается подстановкой компонент вместо соответствующих частных производных в членах с производными наибольшего порядка. Таким образом, для каждой координаты на является однородным полиномом степени по компонентам Например, символом для обычного лапласиана является

Для эллиптических операторов имеет место следующая основная теорема расщепления.

Альтернатива Фредгольма: теорема 10

Если или - эллиптический оператор, то где сумма есть -ортогональная прямая сумма.

Доказательство предложения 9. Рассмотрим отображение Покажем, что при выполнении условия

есть сюръективное отображение с таким ядром расщепления, что

является погружением в окрестности Используя пространства Соболева и теорему о неявной функции и переходя затем к классу С” через требование регулярности, мы получим, что является гладким подмногообразием в окрестности

Из теоремы 10 следует сюрьективность при условии, что его -сопряжение

инъективно и обладает инъективным символом. Этот символ для имеет вид

для Для из после взятия следа следует, что а отсюда т. е. символ инъективен. Любое удовлетворяет условиям

Взятие следа условия (II) дает и потому из (II) вновь вытекает Таким образом, из условия (I) следует

След дает

Однако из равенств вытекает Отсюда

и, следовательно,

Если то из следует, что поскольку Таким образом, отображение инъективно, а потому сюръективно.

Если то из (III) следует, что так как , следовательно, Следовательно, если то а потому — плоская метрика, так как Но плоская метрика и исключаются условием . Следовательно, и вновь отображение сюръективно.

Предложение 11

Если удовлетворяет условию то есть гладкое подмногообразие многообразия в некоторой окрестности с касательным пространством

Доказательство. Оператор, сопряженный к производной , определяется соотношением

Символ инъективен (только из-за инъективности по второй компоненте). Ядром отображения является так что инъективность совпадает в точности с условием Искомый результат вытекает тогда из теоремы о неявной функции, как в теореме 9.

Чтобы показать, что пересечение есть подмногообразие многообразия нужны дополнительные ограничения, поскольку могут быть точки, в которых это пересечение не трансверсально. В такой точке необходимо предположить, что удовлетворяет условию

Теорема 12

Пусть удовлетворяет условиям тогда множество связей есть -подмногообразие многообразия в окрестности «точки» с касательным пространством

где

Доказательство. Нам нужно показать, что отображение сюръективно, когда и удовлетворяет указанным условиям. Сопряженным к нему отображением является

Для как и прежде, можно показать, что символ этого отображения, инъективен (см., однако, замечания о различных типах эллиптичности в работе [189]). Таким образом, остается показать инъективность Пусть Тогда из формулы для ] имеем

Взяв след от (I) и (II), получим

Далее,

так как

в координатах

Поскольку (III) сводится к равенству

Используя (II) и (IV), чтобы исключить в (V), получим

Теперь заметим, что коэффициент при а именно

положительно определен. Таким образом, если постоянен, то (VI) принимает вид

это означает, что если только Если же то В последнем случае из (I) следует, что и отсюда — плоская метрика, поскольку Однако случай где плоская метрика, исключается условием Поэтому Тогда в силу (I) и (II) имеем что, по условию означает Итак и, следовательно инъективно при выполнении условий Тогда утверждение доказываемой теоремы следует из теоремы о неявной функции.

Замечание. Слабым местом нашего анализа является необходимость наложить условие чтобы показать, что пересечение есть многообразие. Возникает сомнение, не достаточно ли одних только условий С и чтобы система (I) и (II)

была инъективна. Трудность, однако, в том, что в этой системе скажем (VI) и (II) для член взаимодействия вида , уже может оказаться препятствием для доказательства единственности для этой системы. Результаты Монкри, обсуждаемые в разд. 5, проливают свет на этот вопрос.

В работах [54, 141] обсуждается существование гиперповерхностей с постоянным . На этих преимущественных гиперповерхностях и будут проверяться условия С и

1
Оглавление
email@scask.ru