2. МНОГООБРАЗИЕ СВЯЗЕЙ

Пусть через обозначено множество решений гамильтоновой связи, и пусть

означает множество решений дивергенциальной связи. Таким образом, есть множество связей для системы Эйнштейна в пустом пространстве. Отметим два следующих важных факта относительно

1) Уравнения эволюции сохраняют эти связи при любом выборе функции течения времени и векторного поля сдвига.

2) является в общем случае гладким подмногообразием в

С пространственно-временной точки зрения сохранение связей эквивалентно свернутым тождествам Бианки, которые являются дифференциальными тождествами, порожденными ковариантностью четырехмерных уравнений поля. Это сохранение связей во времени необходимо для согласованности уравнений эволюции и связей.

Структура многообразия на интересная сама по себе, как мы увидим далее, является также ключом к пониманию устойчивости линеаризации полевых уравнений.

Для начала заметим, что гамильтониан и функции импульса ковариантны по отношению к бесконечномерной калибровочной группе диффеоморфизмов многообразия М. Иначе говоря, для любого

и, следовательно,

Здесь -обычное увлечение тензоров.

Если некоторая кривая на причем есть единица группы, то, вводя векторное поле X как

дифференцируя приведенные выше соотношения ковариантности по X и положив получим инфинитезимальную версию этих соотношений:

и, следовательно,

Подобные же равенства возникают из калибровочной инвариантности полей Янга — Миллса.

Скорость изменения и вдоль решения уравнения эволюции при функциях длительности и сдвига общего вида определяется следующей теоремой. Производная Ли в приведенных в ней уравнениях обусловлена уже обсуждавшейся инфинитезимальной ковариантностью.

Теорема 6

Пусть — некоторое решение эволюционных уравнений Эйнштейна

при произвольной длительности и произвольном сдвиге Тогда удовлетворяют следующей системе

Если для некоторого в области существования этого решения то при всех К, для которых решение существует.

Замечание. Из теорем единственности (см. разд. 3) вытекает, что решение уравнений эволюции должно полностью лежать в если оно пересекает

Доказательство. Используем инфинитезимальную

ковариантность следующим образом:

Первые два члена в выражении для требуют довольно трудоемких вычислений. Результат имеет вид

Отсюда мы приходим к следующему выражению:

Эволюционное уравнение для следует из инфинитезимальной ковариантности следующим образом.

Пусть — некоторое векторное поле на М (не зависящее от X). Тогда

(инфинитезимальная ковариантность Ф)

(интегрирование по частям)

Поскольку К — произвольное поле,

Теорему 6 можно переформулировать через скобки Пуассона, введенные в предыдущем разделе, следующим образом.

Теорема 7

Пусть даны

тогда

и в частности

Убедиться в том, что эти соотношения эквивалентны теореме 6, можно прямым вычислением. Мы будем называть их каноническими коммутационными соотношениями Дирака.

Для понимания расщепления, введенного Монкри [148], и конструкции, приводящей к пространству гравитационных степеней свободы (разд. 6), будет важна следующая инфинитезимальная версия теоремы 1.

Предложение 8

Пусть Тогда

Доказательство. Пусть такие, что . Пусть суть произвольные длительность и сдвиг, такие, что . Пусть — решение уравнения эволюции с длительностью и сдвигом и с начальными данными Поскольку по теореме 6 имеем для всех к, при которых существует решение. Отсюда

Поэтому

Изучим теперь структуру многообразия множества связей Наложим следующие условия на

С»: Если то — неплоская метрика.

Если для имеем то постоянен на М.

Рассмотрим связи по отдельности, начиная с гамильтоновой связи.

Предложение 9

Пусть удовлетворяет условию Тогда есть -подмногообразие многообразия в окрестности с касательным пространством

Доказательство основано на ряде свойств эллиптических операторов и пространств Соболева. Мы коротко напомним относящиеся сюда факты (см. доказательства в работах

Пусть — ограниченная открытая область пространства с гладкой границей. Для любой -функции из мы ределим как

полная производная порядка а и через обозначена обычная -норма на

По определению есть пополнение пространства -функций с на по этой норме. Будем употреблять более краткую запись для и аналогичную для других подобных выражений в случаях, когда возможность путаницы будет невелика.

Для компактного многообразия М без края и векторного расслоения Е над М будем обозначать через пространство всех сечений Е класса в некотором (и, значит, в каждом) покрытии М картами. Для функций с действительными значениями мы будем писать просто но в случаях других тензорных расслоений примем для специальные обозначения, такие, как для -пространства римановых метрик.

В случае пространства обозначаются В этом, и только в этом случае мы имеем дело с гильбертовым пространством.

Предположим теперь, что имеются два векторных расслоения Е и над одним и тем же многообразием М и линейный

дифференциальный оператор порядка

Линейный дифференциальный оператор порядка отображение, такое, что для данных карт на Е и (и, следовательно, для всех карт) этот оператор принимает форму где частная производная в карте многообразия есть линейная функция из модельного пространства для слоя в модельном пространстве для слоя над На D можно смотреть как на отображение между пространствами Соболева:

Для оператора есть -сопряженный оператор определяемый, как обычно, уравнением

где — некоторый предпочтительный элемент объема, скажем тот, который связан с метрикой: означает внутреннее произведение в слоях. Однако надобность в этой структуре отпадает, если используется естественное сопряжение.

Дифференциальный оператор является эллиптическим, если он обладает инъективным (главным) символом. Для каждого х в М и для каждого (слой в кокасательном расслоении) символ есть линейное отображение из слоя в слой По заданному выражению в картах символ получается подстановкой компонент вместо соответствующих частных производных в членах с производными наибольшего порядка. Таким образом, для каждой координаты на является однородным полиномом степени по компонентам Например, символом для обычного лапласиана является

Для эллиптических операторов имеет место следующая основная теорема расщепления.

Альтернатива Фредгольма: теорема 10

Если или - эллиптический оператор, то где сумма есть -ортогональная прямая сумма.

Доказательство предложения 9. Рассмотрим отображение Покажем, что при выполнении условия

есть сюръективное отображение с таким ядром расщепления, что

является погружением в окрестности Используя пространства Соболева и теорему о неявной функции и переходя затем к классу С” через требование регулярности, мы получим, что является гладким подмногообразием в окрестности

Из теоремы 10 следует сюрьективность при условии, что его -сопряжение

инъективно и обладает инъективным символом. Этот символ для имеет вид

для Для из после взятия следа следует, что а отсюда т. е. символ инъективен. Любое удовлетворяет условиям

Взятие следа условия (II) дает и потому из (II) вновь вытекает Таким образом, из условия (I) следует

След дает

Однако из равенств вытекает Отсюда

и, следовательно,

Если то из следует, что поскольку Таким образом, отображение инъективно, а потому сюръективно.

Если то из (III) следует, что так как , следовательно, Следовательно, если то а потому — плоская метрика, так как Но плоская метрика и исключаются условием . Следовательно, и вновь отображение сюръективно.

Предложение 11

Если удовлетворяет условию то есть гладкое подмногообразие многообразия в некоторой окрестности с касательным пространством

Доказательство. Оператор, сопряженный к производной , определяется соотношением

Символ инъективен (только из-за инъективности по второй компоненте). Ядром отображения является так что инъективность совпадает в точности с условием Искомый результат вытекает тогда из теоремы о неявной функции, как в теореме 9.

Чтобы показать, что пересечение есть подмногообразие многообразия нужны дополнительные ограничения, поскольку могут быть точки, в которых это пересечение не трансверсально. В такой точке необходимо предположить, что удовлетворяет условию

Теорема 12

Пусть удовлетворяет условиям тогда множество связей есть -подмногообразие многообразия в окрестности «точки» с касательным пространством

где

Доказательство. Нам нужно показать, что отображение сюръективно, когда и удовлетворяет указанным условиям. Сопряженным к нему отображением является

Для как и прежде, можно показать, что символ этого отображения, инъективен (см., однако, замечания о различных типах эллиптичности в работе [189]). Таким образом, остается показать инъективность Пусть Тогда из формулы для ] имеем

Взяв след от (I) и (II), получим

Далее,

так как

в координатах

Поскольку (III) сводится к равенству

Используя (II) и (IV), чтобы исключить в (V), получим

Теперь заметим, что коэффициент при а именно

положительно определен. Таким образом, если постоянен, то (VI) принимает вид

это означает, что если только Если же то В последнем случае из (I) следует, что и отсюда — плоская метрика, поскольку Однако случай где плоская метрика, исключается условием Поэтому Тогда в силу (I) и (II) имеем что, по условию означает Итак и, следовательно инъективно при выполнении условий Тогда утверждение доказываемой теоремы следует из теоремы о неявной функции.

Замечание. Слабым местом нашего анализа является необходимость наложить условие чтобы показать, что пересечение есть многообразие. Возникает сомнение, не достаточно ли одних только условий С и чтобы система (I) и (II)

была инъективна. Трудность, однако, в том, что в этой системе скажем (VI) и (II) для член взаимодействия вида , уже может оказаться препятствием для доказательства единственности для этой системы. Результаты Монкри, обсуждаемые в разд. 5, проливают свет на этот вопрос.

В работах [54, 141] обсуждается существование гиперповерхностей с постоянным . На этих преимущественных гиперповерхностях и будут проверяться условия С и