5.3. ГЛОБАЛЬНО ВЫПОЛНЯЮЩИЕСЯ КАЛИБРОВОЧНЫЕ УСЛОВИЯ; КАНОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

Когда есть калибровочная группа, интегрирование в формуле (108) излишне. Поскольку пробегает групповую орбиту в пространстве полей, экспонента в подынтегральном выражении

остается постоянной. Эту избыточность полезно устранить путем наложения калибровочного условия. Для того чтобы найти калибровочное условие, которое было бы справедливо и в контексте, отличном от теории возмущений, необходимо проявлять осторожность.

Обозначим пространство всех полей по которым берется интеграл (108), через Ф, а калибровочную группу — через . В чистой теории гравитации Ф есть — пространство всех римановых метрик на пространственно-временном многообразии М, а С есть — группа диффеоморфизмов М. Физическое пространство полей есть фактор-пространство Ф, называемое также пространством орбит. В теории гравитации пространство орбит есть пространство геометрий на М.

Рассмотрим типичную (т. е. обшрго вида) орбиту. По модулю возможного дискретного центра она является копией группового многообразия М, поскольку дает реализацию и обладает той же размерностью. Не обязательно, чтобы все орбиты имели именно эту размерность. Часто существует класс вырожденных орбит, имеющих меньшую размерность. Такие орбиты являются граничными точками пространства и порождаются теми точками в Ф, которые остаются инвариантными под действием нетривиальных (непрерывных) подгрупп группы Чем больше размерность такой подгруппы инвариантности, тем меньше размерность орбиты. Фишер [40] показал, что орбиты данной размерности могут быть собраны в граничные подмногообразия, так что все пространство орбит становится слоистым многообразием. В теории гравитации вырожденными орбитами являются симметричные геометрии, т. е. те, которые обладают векторами Киллинга Для наглядности можно представлять себе Ф как — как группу вращений вокруг фиксированной оси. Орбитами тогда будут окружности, перепендикулярные оси и с центром на ней, а пространством орбит будет полуплоскость, граничные точки которой соответствуют точкам на оси, остающимся инвариантными под действием рассматриваемой группы вращений.

Глобально выполняющиеся калибровочные условия представляют собой набор связей, выделяющий в Ф подпространство коразмерности, равной размерности которое пересекает каждую орбиту точно в одной точке. В случае поля Янга — Миллса такого подпространства не существует, если калибровочная группа соответствует скрученному (twisted) расслоенному пространству. Относительно группы диффеоморфизмов известно значительно меньше. Хотя ее

структура зависит от природы пространственно-временного многообразия М, ее нельзя рассматривать как расслоенное пространство. Можно привести правдоподобные соображения в пользу предположения, что в случае диффеоморфизмов для широкого круга топологий М можно сформулировать глобально выполняющиеся калибровочные условия. Здесь мы просто допустим, что подпространство с нужными свойствами существует. Можно считать, что это подпространство представляет пространство орбит . Каждая орбита представляется точкой, в которой она пересекает данное подпространство. Для того чтобы выразить эту мысль в уравнениях, можно представить себе, что переменные заменены другими переменными где переменная нумерует орбиты и является калибровочно-инвариантной, а переменная нумерует соответственные точки на каждой орбите. Точку на каждой орбите, выделенную данным калибровочным условием, можно принять за начало «координат» на этой орбите. Тогда калибровочное условие имеет простой вид:

В действительности оказывается более удобным работать с континуумом калибровочных условий

где постоянные (т. е. не зависят от имеющие значения от до Чтобы включать всю эту область значений, должны представлять собой весьма специальную систему координат на орбитах. Эти координаты (в принципе) могут быть введены следующим образом. Вспоминая, что каждая орбита (общего вида) является копией положим, что начало на каждой орбите отождествлено с единичным элементом группы Затем выберем в качестве переменных канонические координаты группы, т. е. нормальные координаты, порожденные однопараметрическими абелевыми подгруппами Имея в виду, что действие калибровочной группы на каждой орбите (общего вида) имитирует ее действие в самой себе, мы приходим к функциональному дифференциальному уравнению

где находятся в том же отношении к групповому многообразию, в каком находятся к Ф. В частности, они удовлетворяют соотношению, аналогичному соотношению (97):

где греческие индексы после запятой обозначают функциональные производные по Легко убедиться, что соотношение (111) является условием интегрируемости для уравнения (110).

Уравнения (110) и (111) справедливы при любой координатизации группы. Канонические же координаты выделены тем видом, который принимают при их использовании величины Можно

показать [21], что

где — единичная матрица (дельта-функция) и

Ряд (112) сходится для всех значений Для некоторых значений (непрерывная) матрица может иметь нулевые корни, что вызовет неограниченный рост правой части равенства (110). При таких значениях система канонических координат становится сингулярной. Однако сингулярности не являются пороком этой системы. Канонические аналогичны угловым координатам. По мере пробегания ими допустимой области (от до каждая орбита может быть пройдена много (бесконечное число) раз. Но каждый набор значений на данной орбите по-прежнему задает единственную точку на ней.

Для полного определения функционалов недостаточно одних только уравнений (110). Нужны дополнительные условия, чтобы «выровнять» соответствующие точки на соседних орбитах. Один из возможных способов такого выравнивания состоит в следующем. Введем в пространстве полей Ф несингулярную метрику удовлетворяющую требованию (101). Потребуем, чтобы матрица была несингулярной на всех орбитах общего вида, чтобы никакой вектор не мог быть одновременно и касательным, и ортогональным к какой-либо из орбит. Тогда в пространстве орбит может быть индуцирована ассоциированная метрика путем задания расстояния между соседними орбитами в как нормального расстояния между ними в Ф. В чисто гравитационной теории если берется в виде (104), (105) и выбирается то представляет собой некоторое обобщение оператора Лапласа — Бельтрами для векторных полей. Для асимптотически плоского пространства-времени этот оператор несингулярен, так что требуемое условие может встретиться в практически важных случаях. Другое свойство этой частной метрики у и состоит в том, что с ее помощью любая пара точек в Ф может быть соединена единственной геодезической. Методы доказательства этого свойства можно найти в работе [22], и в дальнейшем мы будем предполагать наличие такого свойства.

Выберем некоторую орбиту общего вида и назовем ее базисной орбитой. Единицу группы на этой орбите назовем базисной точкой. Пусть V есть подпространство пространства Ф, порожденное множеством всех геодезических, выходящих из базисной точки в направлениях, ортогональных к базисной орбите. Можно показать [22], что геодезическая, пересекающая ортогонально одну орбиту,

ортогональна ко всем орбитам, которые она пересекает на своем протяжении, и, более того, она описывает геодезическую кривую в пространстве орбит Используя тот факт, что каждая пара точек в Ф может быть соединена единственной геодезической и геодезическая не может быть одновременно и касательной, и ортогональной к какой-либо орбите, можно показать, что V непременно пересекает все орбиты. Чтобы избежать пересечения данной орбиты подпространством V более одного раза, мы можем оборвать каждую из порождающих геодезических, как только она коснется граничной точки пространства Тогда V есть топологическая (но не обязательно метрическая) копия

Если построить другое подпространство V, подобное К, но выходящее из другой точки на базисной орбите, то оно тоже будет пересекать все орбиты. Поскольку групповые операции представляют собой изометрии все будут постоянны на V. Другими словами, если единичные точки «выровнены», то все остальные точки тоже автоматически будут выровнены.

Использование ортогональности для построения представляющего подпространства — не новая идея. Однако она обычно применяется в довольно несовершенной форме путем выбора функционалов в виде

где фоновое поле. Например, если имеет вид (104), (105), то при выборе в виде (114) условие имеет форму

Если еще положить то получим калибровочное условие, весьма популярное в теории гравитации. (Здесь поднятие и опускание индексов происходит с помощью фоновой метрики и через нее же определена ковариантная производная.)

Условие в виде (114) или в более общем случае условие в виде при некоторых называется линейным калибровочным условием. Линейные калибровочные условия весьма удобны в теории возмущений, где квантованное поле никогда не отличается слишком сильно от фонового поля. Ковариантные (по отношению к фоновому полю) калибровочные условия, подобные (115), обычно являются наилучшими, но для некоторых целей более полезны нековариантные калибровки (например, кулоновская

калибровка в теории Янга — Миллса). Но в непертурбативных подходах линейными калибровочными условиями нужно пользоваться с большой осторожностью (см. [431). Это можно видеть уже из условия типа (115), которое задает подпространство, приближенно ортогональное только тем орбитам, которые лежат достаточно близко к фоновой орбите, проходящей через При глобальном применении линейных калибровочных условий могут встретиться по крайней мере следующие пять трудностей. 1. Подпространство, определенное линейным условием, не имеет границы; следовательно, оно не может правильно представлять если есть вырожденные орбиты. 2. Подпространство, определенное линейным условием, может пересекать некоторые орбиты более одного раза. 3. Могут быть орбиты, которые оно вовсе не пересекает. 4. Даже если оно пересекает все орбиты при определенных значениях в равенстве (109), оно может не пересекать все орбиты при других значениях 5. Когда «скручено», вообще нет глобально выполняющихся калибровочных условий, ни линейных, ни каких-либо иных.

В некоторых случаях оказывается возможным сохранить преимущества линейных калибровочных условий. Это достигается в некоторых глобальных подходах к теории Янга — Миллса. Однако группа диффеоморфизмов теории гравитации намного более сложна, чем группа Янга — Миллса, и в настоящее время почти не изучены ни трудности, к которым она приводит глобально, ни предоставляемые ею возможности технических усовершенствований. Для того чтобы сохранить открытыми все пути, мы будем развивать сначала формальную теорию амплитуды используя надежные калибровочные условия, основанные на канонических координатах, а затем сделаем ряд замечаний относительно того, как могли бы обстоять дела, если бы использовались иные калибровочные условия.