3. РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Все фундаментальные поля, включая гравитацию, дают вклад в тепловое излучение, исходящее от черной дыры. Поэтому о самой черной дыре правильно говорить как о квантовом объекте. Квантованная черная дыра является, очевидно, динамическим объектом, который может обмениваться энергией и энтропией со своим окружением. Этот обмен всегда происходит с соблюдением законов статистической механики при условии, что они понимаются как законы для всей системы в целом, включающей черную дыру и ее окружение. Однако тот факт, что черная дыра может терять энтропию, означает, что в квантовой теории ее площадь может уменьшаться.

Из известных выражений для площади и температуры легко вывести, что черная дыра, образовавшаяся при коллапсе, имеет светимость порядка Если допустимо предположить, что светимость остается пропорциональной при вековых изменениях по М, то М постоянно убывает до тех пор, пока, в конце концов, черная дыра не исчезнет со взрывом или не будет стабилизирована каким-либо еще не известным нам квантовым эффектом. Время жизни для этого процесса порядка

Светимость дает информацию относительно тензора натяжений только на бесконечности. Для того чтобы изучить детальное поведение геометрии во времени вблизи (и даже внутри) горизонта, мы должны определить и в этой области. Для этого необходимо преодолеть ряд практических трудностей. 1) Точный вид базисных функций для геометрии Шварцшильда не известен; еще меньше мы знаем о них в случае геометрии Керра. 2) Для перенормировки здесь недостаточно вычесть расходимости для пространства Минковского: появляются и иные расходимости, связанные с кривизной. 3) Какая бы схема перенормировки ни применялась, она должна быть ковариантной и применимой в общем случае; нельзя подгонять ее специально к геометрии черной дыры.

В последующих разделах будет вкратце изложен один из стандартных методов перенормировки Но сначала необходимо установить более точно ту роль, которую, как это представляется, играет Пусть — коллективное обозначение всех форм вещества и (или) полей излучения, присутствие которых предполагается. В квантовой теории есть квантовый оператор. Метрический тензор также является оператором. Допустим, что его можно разбить на (пока произвольный) классический фон и операторный остаток причем и тот и другой рассматриваются как формальные тензоры. Общепринятое выражение для действия совокупности вещества, полей излучения и гравитации содержит и только в виде комбинации Введем альтернативный функционал

где (при обобщении на -мерный случай) обозначает Если отстуствуют какие-либо внешние источники и, следовательно, есть решение классических уравнений вещества и излучения и если выбор таков, что удовлетворяются классические уравнения в пустом пространстве

то операторные полевые уравнения могут быть записаны в виде

где

— ковариантный самосопряженный дифференциальный оператор второго порядка, который зависит только от фоновой метрики. (Явный его вид нам не понадобится.) Вся нелинейность уравнений гравитационного поля сконцентрирована в правой части уравнения (19), которая выражает принцип обратной связи: полевой оператор через служит отчасти источником самого себя. Формально можно рассматривать на равном основании. Они взаимодействуют друг с другом и с самими собой при своем распространении в фоновой геометрии, описываемой метрикой В физических условиях, в которых допустимо считать «малыми», так и могут быть представлены как функциональные степенные ряды по начинающиеся с квадратичных членов. Эти степенные ряды образуют основу для теории возмущений.

При выполнении уравнений (18) и удовлетворяет условию

где ковариантная производная берется относительно фоновой метрики. обладает всеми свойствами тензора натяжений и может рассматриваться в качестве такового. Его (перенормированное) среднее значение и есть та величина, которая требуется в проблеме обратного воздействия. Она появляется в соотношении, которое получается из (19) взятием среднего значения:

Об этом уравнении следует сделать несколько замечаний. Во-первых, в последующем будет удобно всегда заменять обычные

средние значения «швингеровскими» средними

где — оператор хронологического упорядочения. Если А — локальный оператор, так что символ Т может быть опущен, и нет рождения частиц фоновым полем, так что вакуумные векторы состояния тождественны, то швингеровское среднее совпадает с обычным вакуумным средним. В более общем случае эти два средних различаются, но обычно на конечную величину, даже если оператор А не перенормирован. Следовательно, при исследовании вопросов перенормировки мы можем ограничиться рассмотрением только швингеровского среднего. Мы пойа отложим вопрос о том, как определить швингеровское среднее, когда состояния не могут быть введены общепринятым способом из-за отсутствия времениподобных векторов Киллинга или когда они неоднозначны по другим причинам.

Во-вторых, следует заметить, что хотя операторы можно считать преобразующимися как обычные тензоры при координатных преобразованиях фоновой метрики, они не инвариантны относительно калибровочных преобразований квантовой теории гравитации. При калибровочных преобразованиях фоновая метрика остается фиксированной, и когда квантовый метрический тензор подвергается калибровочному преобразованию [см. равенство (95)], вся «тяжесть» этого изменения «ложится» на Поэтому средние значения (23) неоднозначны. Позднее мы введем особый способ устранения этой неоднозначности [см. (127), (132), (133)], который состоит во взятии гауссова среднего по калибровкам специального вида. Если такая процедура усреднения проведена, в (23) см. формулу (158)] должны появиться дополнительные члены, но для приближений, рассматриваемых в разделах, следующих непосредственно за этим разделом; уравнение (23) справедливо в приведенном здесь виде.

Стоит заметить, что эта процедура усреднения во многих отношениях аналогична методу пространственно-временного усреднения, введенному Айзексоном [52] в классической теории для получения корректно определенного тензора натяжений. Бор и Розен-фельд [7] в свое время подчеркивали, что физический смысл имеют только пространственно-временные усреднения полевых величин. Усредненный тензор натяжений может «наблюдаться» только путем измерений в его окрестности пространственно-временных средних «локальной компоненты» тензора Римана, по существу через измерение левой части (23). (Тензор натяжений не измеряется детектором частиц!) Если для гравитационного поля провести анализ [19], подобный анализу Бора — Розенфельда, то окажется, что средние значения локального тензора Римана в квантовой области могут быть измерены (в принципе) с достаточной точностью, пока область

усреднения больше планковской длины. Поэтому уравнение (23) имеет настоящий операционный смысл.

Математически точное утверждение относительно этого смысла можно получить, вводя следующие определения:

Ниже будет показано, что существует функционал от такой, что (исправленным) уравнениям (23) и швингеровскому среднему от уравнения (18) может быть придана соответственно следующая форма:

Здесь — так называемое эффективное действие. Оно описывает динамическое поведение когерентных гравитационных, электромагнитных и прочих полей большой амплитуды. При таком описании роль основной «классической» метрики играет а не

Поскольку поведение определяется функционалом Г, а не то в него включено и самодействие. Использование вместо позволяет описать в квазиклассических выражениях распадающуюся черную дыру (по крайней мере до тех пор, пока мнимая часть остается малой). Поскольку значение определяется уравнением (23), роль теперь очевидна.

Когда рождение частиц становится очень интенсивным, как, например, в конечной стадии распада черной дыры, мнимая часть уже не мала, и квазиклассическая картина пререстает быть верной. Вопрос о корректной интерпретации комплексной остается открытым. Пока не ясно, можно ли решить этот вопрос в рамках общей философии аналитического продолжения или же комплексные должны играть какую-то роль в теории инстантонов и в топологических проблемах. Следует отметить, однако, что Г в любом случае имеет смысл в терминах амплитуд перехода. Например, полная -матрица данной теории определяется «древесными амплитудами» функционала Г, а они могут быть введены относительно любого асимптотически плоского фона [21].