5.5. ГАУССОВЫ СРЕДНИЕ

Теорию возмущений можно развить на основе (125) и (128), но обычно более удобно работать с формализмом, из которого дельтафункционалы уже исключены. Отметим, что, хотя в выражение (125) входят параметры в действительности амплитуда не зависит от них. Поэтому ничто не изменится, если проинтегрировать по этим параметрам с некоторым весовым множителем. Гауссов весовой множитель оказывается для этого самым удобным.

Пусть — произвольная несингулярная непрерывная матрица; обычно выбирается локальной (т. е. пропорциональной дельта-функционалу) и ковариантно зависящей от фонового поля может быть, например, базисной точкой порожденного геодезическими подпространства V, которая служит нулевой точкой для функционалов когда те выбираются каноническими). Не выписывая явно индексы, можно формально написать

где С — (расходящаяся) постоянная. Если в подынтегральное выражение (125) подставлен гауссов весовой множитель и проведено интегрирование по , то в силу (129) имеем

Этот результат был впервые получен автором через линейные Р [23]. Отметим, что при использовании канонических Р каждая

рбита при интегрировании может быть пройдена много (бесконечное число) раз.

Выражения (127) и (128) также можно заменить их гауссовыми средними. Вводя

можно написать

Уравнение (133) и его обобщения часто используются в следующем разделе. Определения (127), (132) дают точное представление о том, какого рода усредненный квантовый оператор ассоциируется в этом формализме с каждым классическим функционалом Заметим, что

После таких вольных манипуляций с формальными выражениями нам следует теперь убедиться, что в наши результаты не привнесено никаких несоответствий, для чего нужно непосредственно проверить, например, что правая часть (130) в самом деле не зависит от того, как выбраны функционалы и матрицы Очевидно, правая часть (130) будет затронута, если мы наивно перейдем к для которых подпространства не пересекают всех орбит или же пересекают их неоднократно. Однако при инфинитезимальных изменениях и должна иметь место инвариантность.

Способ проверки состоит в следующем. Заменим каждое в интеграле на где

Поскольку — переменные интегрирования, их замена остается без последствий. Однако нетрудно показать (подробности см. в работе [23] или [25]), что 1) экспонента получает точно такое изменение, какое она получила бы, если бы были изменены на инфинитезимальные величины соответственно; 2) то же самое верно для произведения если считается допустимым положить

С такой оговоркой инвариантность интеграла (130) доказана.

Уравнения (137) не были нужны для вывода формулы (130). Почему же они понадобились теперь? Ответ заключается в том, что они навязаны нам процедурой отфакторизации калибровочной группы. Перестановка нами порядка интегрирований при получении выражения (124) и использование равенства (126) равнозначны тому, что мы формально обращаемся с калибровочной группой так, как если бы она была компактной. При этом для согласованности ассоциированная алгебра Ли также должна рассматриваться как компактная. Генераторы действительных представлений компактных алгебр Ли все должны иметь нулевой след. Отсюда равенства (137).

В теориях Янга — Миллса условия (137) выполняются автоматически, поскольку порождающая группа всегда компактна. В теории гравитации ситуация более сложная. Как так и если пытаться их вычислить, представляют собой бессмысленные выражения, включающие производные дельта-функционалов с совпадающими аргументами. Однако оба они являются не зависящими от метрики векторными плотностями веса 1. Любая разумная регуляризация должна приписать им значение нуль, так как иначе пространство-время будет иметь выделенное направление еще до того, как оно будет наделено метрикой. Можно заметить, что условия (137) и (103) согласуются с условием Однако вывод о том, что возникает из одного только факта, что под действием группы диффеоморфизмов поля преобразуются линейно, и никак не связан с конкретным выбором метрики у и в виде (104), (105). Это означает, что вклады в функциональный интеграл, возникающие от степеней которые сохраняются в определителе (106), (107) при размерностях, отличных от 4, или при выборе полевых переменных, отличных от должны быть подавлены в любой жизнеспособной схеме регуляризации.