10. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ПЕНА

Итак, мы хотели бы знать, какие топологии метрик, обеспечивающих стационарность фазы, дают главный вклад в функциональный интеграл. Для этого удобно рассмотреть интеграл по траекториям по всем компактным метрикам, при которых пространственно-временной объем имеет данное значение V. Это не означает, что мы в самом деле считаем пространство-время компактным. Мы лишь пользуемся общепринятой схемой нормировки типа периодических граничных условий в обычной квантовой теории поля: сначала мы работаем с конечным объемом, чтобы иметь конечное число состояний, а затем рассматриваем значения различных величин в пересчете на единичный объем в пределе, когда объем устремляется к бесконечности.

Чтобы рассматривать интеграл по траекториям по метрикам с данным четырехмерным объемом V, в действие вводится член

где А нужно понимать как множитель Лагранжа (коэффициент взяг для удобства). Этот член имеет такой же вид, как космологический член, но мотивировка его введения и его численное значение совершенно иные: из наблюдательных данных следует, что любое космологическое А должно иметь столь малое значение, что практически им можно пренебречь, тогда как значение множителя Лагранжа оказывается очень большим — порядка 1 в планковских единицах.

Пусть

где интеграл берется по всем метрикам на некотором компактном многообразии. можно интерпретировать как «статистическую сумму» для того, что я буду называть объемным каноническим ансамблем, т. е.

где сумма берется по всем состояниям гравитационного поля. Зная можно вычислить — число гравитационных полей с -объемами между V и

В выражении (113) контур интегрирования должен быть взят правее любых сингулярностей на мнимой оси.

Нам нужно сравнить вклады в от различных топологий. Подходящей мерой сложности топологии является число Эйлера 1. В случае односвязных многообразий и сигнатура по-видимому, характеризуют многообразие с точностью до гомотопий и, возможно, до гомеоморфизмов, хотя это не доказано. В случае многосвязных многообразий возможность классификации отсутствует, так как нет никакого алгоритма для ответа на вопрос, являются ли два многосвязных четырехмерных многообразия гомеоморфными или гомотопными. Такое положение представляется серьезным основанием для того, чтобы ограничиться рассмотрением только односвязных многообразий. Другим основанием может служить то, что мно-госвязное многообразие всегда можно развернуть. Это может привести к некомпактному многообразию, но следует ожидать, что его можно будет заключить в большой объем V так, чтобы действие на единицу объема изменилось лишь незначительно.

В приближении стационарной фазы можно ожидать, что главный вклад в интеграл по траекториям дадут метрики, близкие к решениям уравнений Эйнштейна с -членом. Из масштабного

поведения действия следует, что для таких решений

где с — постоянная (положительная или отрицательная), которая зависит от выбора решения и топологии, а действие включает теперь -член. Постоянная с имеет нижнюю границу которая соответствует ее значению для Верхний предел может быть установлен из формул (96) и (97) для и . Для решений уравнений Эйнштейна с -членом они имеют вид

Из (115) видно, что метрика может быть решением лишь при -Однако для односвязных многообразий это всегда верно, так как для них где второе число Бетти. Комбинируя (115) и (116), получаем неравенство

Из формулы (115) можно видеть, что для больших чисел Эйлера справедливо по крайней мере одно из следующих утверждений:

а) значение велико,

б) интеграл велик.

В первом случае постоянная с должна быть положительной (т. е. должна быть отрицательной), поскольку имеется ограничение на с снизу: Во втором случае должен быть велик тензор Вейля. Как и в обычной общей теории относительности, это приведет к такому же эффекту схождения геодезических, к какому приводит положительный тензор Риччи. Но между любыми двумя точками в пространстве должна быть геодезическая минимальной длины, которая не содержит сопряженных точек. Следовательно, для того, чтобы кривизна Вейля не приводила к слишком быстрому схождению геодезических, нужно ввести отрицательный тензор Риччи и Л-член порядка где — некоторый типичный масштаб длины порядка е. порядка длины, приходящейся на «единицу топологии». Тогда следует ожидать, что два члена в (115) будут сравнимы по величине, а с будет порядка где 3/4.

Это подтверждается рядом примеров, за которые я благодарен Н. Хитчину. Для произведений двумерных многообразий постоянной кривизны имеем Для алгебраических гиперповерхностей Хитчин получил все семейство решений, лежащих между этими пределами. Если, кроме того, решение допускает келерову

структуру, то имеет место равенство

Этим результатам можно дать такую интерпретацию: мы имеем набор «гравитационных инстантонов», число которых порядка а действие каждого порядка где — характерный размер порядка Мы должны также оценить зависимость однопетлевой кривой от и Зависимость от А получается из масштабного поведения и имеет вид

где

Постоянную у можно считать числом добавочных мод, обусловленных возмущениями фоновой метрики, превышающими уровень возмущений для плоского пространства. Из формулы (119) можно увидеть, что у того же порядка, что и Поэтому каждому «ин-стантону» можно приписать некоторое число добавочных мод.

Все вышеизложенное, по-видимому, дает основания для следующей оценки:

где связано с нормировочной постоянной Учитывая (120) в выражении (113), можно точно вычислить контурный интеграл и получить

где

Однако качественная зависимость от параметров видна более ясно при приближенном вычислении (113) методом стационарной фазы. Действительно, производить более точное вычисление выражения (113) неразумно, так как мы вычисляли лишь в приближении стационарной фазы. Точка стационарности фазы определяется равенством

Поскольку контур должен проходить справа от сингулярности при перед квадратным корнем следует взять знак плюс.

Значение , соответствующее стационарной Лазе, всегда положительно, несмотря на то, что вычисление производилось с использованием фоновых метрик, для которых были отрицательны при больших числах Эйлера. Это означает, что мы должны аналитически продолжить от отрицательных значений к положительным. Это аналитическое продолжение эквивалентно умножению

метрики на чисто мнимый конформный множитель, который так или иначе нужен для того, чтобы сделать интеграл по траекториям сходящимся по конформным множителям.

Из приближения стационарной фазы имеем

Главный вклад в дают топологии, для которых Если предположить, что где то получим, что это условие удовлетворяется при

Если этому равенству удовлетворяет Если то Из уравнения (122) тогда следует, что где коэффициент пропорциональности зависит от Другими словами, главный вклад в дают метрики, в которых один гравитационный инстантон приходится на объем

К каким наблюдаемым эффектам приводит эта пеноподобная структура, еще предстоит выяснить, но в их число, возможно, входят гравитационные распады барионов или мюонов, вызванные их падением на гравитационные инстантоны или виртуальные черные дыры и последующим появлением в виде других частиц. Следует также ожидать несохранения аксиально-векторного тока, вызванного топологиями с неисчезающей сигнатурой т.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)