4.6. КОНФОРМНО-ПЛОСКОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

Браун и Кассиди [9] указали, что при изменение возникающее при конформной вариации метрики, полностью определяется аномалией следа. Это следует из легко проверяемого тождества

которое при применении к дает

где обозначает результат вариации метрики на величину

Функциональная производная в правой части (90) берется непосредственным вычислением. Если метрика уже конформно-плоская, можно проинтегрировать полученное вариационное уравнение полностью так же, как в плоском пространстве. В случае записав где — метрика Минковского, получаем

где перенормированный тензор натяжений в плоском пространстве-времени, а индексы в правой части поднимаются и опускаются с помощью метрики Минковского.

В случае вспоминая, что тензор Римана и тождества Бианки для конформно-плоского пространства-времени можно целиком выразить через тензор Риччи, прямым вычислением устанавливаем, что интегрирование (90) приводит к соотношению

( пространство-время конформно-плоское). При нечетном мы, естественно, получаем

нечетно, пространство-время конформно-плоское).

Заметим, что не обязательно должно быть равно нулю. Как мы уже видели ранее, это среднее, вообще говоря, зависит от топологии, а если опорное плоское многообразие неполное, то также и от краевых условий. В рассматриваемом случае топология и краевая структура плоского многообразия определяются его конформной связью с искривленным многообразием. Предполагается, что представление (35) для фейнмановского пропагатора при конформных преобразованиях остается неизменным, поэтому проинтегрированные выражения (91) — (93) наследуют определение вакуума от плоского многообразия. Отметим, что эти выражения чисто действительные, откуда следует, что не имеет мнимной части. Это означает, что рождение частиц отсутствует, а потому идентичны.

Поскольку каждое двумерное многообразие локально конформноплоское, выражение (91) имеет универсальный характер. Отображая конформно многообразия с искривленными краями на многообразия с плоскими краями, можно выразить тензор натяжений для сложных случаев (например, для двумерного клина Риндлера) через тензор натяжений для простых случаев (например, для полупространства). Эти результаты, как оказалось, согласуются с результатами, полученными иными методами, даже в тех случаях, когда тензор Римана равен нулю. Это означает, что конформная аномалия не является следствием кривизны, а представляет собой глубокое внутреннее свойство теории.

Многообразия Робертсона — Уокера составляют важный класс, к которому можно применить равенство (92). Простейшим в этом классе является пространство-время де Ситтера, тензор Римана которого имеет вид Подстановка его в (92) и наложение граничного условия немедленно дают

пространство-время де Ситтера), т. е. результат, который был получен с затратой большого труда рядом других методов. Связанное с этим результатом «вакуумное» состояние де ситтер-инвариантно.