2. ДЕЙСТВИЕ

В общей теории относительности действие обычно берется в виде

где — скалярная кривизна, — космологическая постоянная, — детерминант метрики и — лагранжиан материальных полей. Используемые единицы таковы, что — ньютоновская постоянная; иногда я буду пользоваться единицами, в которых и При вариациях метрики, которые обращаются в нуль вместе со своими нормальными производными на границе компактной области М, это действие стационарно, если и только если метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна

где — тензор энергии-импульса материальных полей. Однако действие не будет экстремальным, если допускаются вариации метрики, которые сами обращаются в нуль на границе, но их нормальные производные не обращаются в нуль. Причина состоит в том, что скалярная кривизна содержит члены, которые линейны по вторым производным метрики. Интегрированием по частям вариация этих членов может быть превращена в интеграл по границе, который содержит нормальные производные вариации метрики на границе. Для того чтобы устранить этот поверхностный интеграл и получить, таким образом, действие, стационарное для решений уравнений Эйнштейна при всех вариациях метрики, исчезающих на границе, нужно добавить к действию член вида [18]

где К — след второй фундаментальной формы границы, — индуцированная метрика на границе; знаки плюс или минус выбираются в зависимости от того, пространственноподобна или времениподобна граница, член, который зависит только от метрики на границе но не от значений метрики во внутренних точках. Необходимость добавления к действию поверхностного члена (3) в подходе с интегрированием по траекториям можно увидеть, рассмотрев ситуацию, изображенную на рис. 3, где рассматривается переход от метрики на поверхности к метрике на поверхности и затем к метрике на более поздней поверхности Потребуем, чтобы амплитуда перехода от начального состояния к конечному получалась суммированием всех состояний на промежуточной поверхности т. е.

Это справедливо, если и только если

где — метрика между и метрика между и — метрика в областях между и полученных соединением двух прежних областей.

Рис. 2. На граничной поверхности нужно задать только индуцированную метрику А. В асимптотически плоской случае начальную а конечную поверхности следует соединить времени подобной трубкой большого радиуса, чтобы область, над которой производится интегрирование по траекториям, была компактной.

Рис. 3. Амплитуда перехода от метрики на поверхности к метрике на поверхности должна быть суммой амплитуд перехода во все метрики на промежуточной поверхности Это условие будет выполняться, только когда действие содержит поверхностный член.

Поскольку нормальная производная на вообще говоря, не равна нормальной производной на , метрика будет иметь в тензоре Риччи дельта-функцию с множителем где и — вторые фундаментальные формы поверхности при метриках соответственно; они определены по отношению к нормали,

направленной в будущее. Это означает, что соотношение (5) справедливо, если и только если действие является суммой (1) и (3), т. е.

Появление члена С в выражении для действия довольно неприятно. Его можно было бы просто включить в перенормировку меры . Но в случае асимптотически-плоской метрики естественно взять его в таком виде, чтобы вклад от времениподобной трубки при больших радиусах был равен нулю, когда совпадает с метрикой плоского пространства: Тогда

где — вторая фундаментальная форма границы, вложенной в плоское пространство. Это не вполне удовлетворительный рецепт, так как, вообще говоря, метрика границы не может быть вложена в плоское пространство. Однако в асимптотически-плоской ситуации можно предположить, что граница становится асимпто-тически-вложимой при увеличении радиуса. Я подозреваю, что в конечном счете следует отбросить все граничные поверхности и иметь дело только с замкнутыми пространственно-временными многообразиями. Однако при нынешнем уровне развития теории очень удобно использовать некомпактные асимптотически-плоские метрики и вычислять действие, используя границу при большом радиусе.

Метрика, асимптотически-плоская в трех пространственных измерениях, но не во времени, может быть записана в виде

Если эта метрика удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна вблизи бесконечности, то но в интеграле по траекториям рассматриваются все асимптотически-плоские метрики независимо от того, удовлетворяют они уравнениям Эйнштейна или нет. В такой метрике удобно выбрать границу в виде прямого произведения оси на сферу радиуса Площадь такой границы равна

Интеграл следа второй фундаментальной формы равен

где обозначает производную в направлении сдвига каждой точки вдоль единичной нормали. Таким образом,

Для плоской метрики имеем . Отсюда

В частности, для решения уравнения Эйнштейна с массой М (при измерении с бесконечности) и поверхностный член имеет вид