1. КАНОНИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ

Напомним сначала четырехмерный лагранжев формализм в классической теории полей, взаимодействующих с гравитацией. Вслед за этим будет изложен динамический, или -подход.

Используются следующие обозначения: гладкое четырехмерное многообразие; под термином «многообразие» подразумевается связное, ориентируемое, паракомпактное, хаусдорфово многообразие; его касательное расслоение. Положим также, что

множество всех гладких лоренцевых метрик с сигнатурой ;

множество всех гладких симметричных тензорных полей ранга на

Пусть теперь Е есть векторное расслоение над с проекцией а его - сечения обозначаются Мы часто будем иметь дело с расслоением тензоров с контравариантными и ковариантными индексами. Однако важно понимать, что это не означает принципиального ограничения лишь теорией тензорных полей: тогда из рассмотрения исключались бы такие важные полевые теории, как теория Янга — Миллса; см., например, [3, 105]. Строго говоря, поля Янга — Миллса требуют использования аффинного расслоения (расслоения связностей на главном расслоении над но для этого не нужно сколь-нибудь существенно переделывать рассматриваемый нами формализм.

Если введены какие-либо координаты, мы будем записывать компоненты как где А — собирательный индекс для всего набора индексов.

Обозначим через (сохраняющие ориентацию) диффеоморфизмы многообразия Для «естественных расслоений» любое расширяется функторно до диффеоморфизма расслоения , накрывающего т. е. диаграмма

коммутативна, и . При этом есть обычное преобразование тензоров, если Тогда увлечение назад определено на сечениях Е и действует следующим образом:

а его обращение, увлечение вперед, определяется равенством Для расслоений, связанных с полями Янга—Миллса, вдополнениек понятиям увлечения впереди назад, которые порождаются имеется еще бесконечномерная калибровочная группа.

Заметим, что Е может быть суммой Уитни для типов полей, так что наш формализм пригоден и для взаимодействующих полей.

Пусть — расслоение плотностей (т. е. -форм) над — дуальное расслоение над слоем которого в точке х является где — векторное пространство, дуальное к Таким образом, есть расслоение векторных плотностей над V,. Например, если то будет расслоением тензорных плотностей типа

Мы имеем естественное -спаривание между задаваемое как

где и подразумевается интегрируемость по Мы будем говорить о как о сечении, естественным образом -дуальном к

Пусть — два расслоения над есть линейный оператор. Оператор, естественным образом сопряженный к А, определяется как для Здесь, конечно, молчаливо предполагается, что А существует.

Если А—дифференциальный оператор, то А вычисляется, как обычно, интегрированием по частям, что дает сопряженный дифференциальный оператор. Вообще говоря, А можно понимать в смысле неограниченного оператора [109].

Для расслоения над с дуальным расслоением будем считать, что в свою очередь является дуальным к , так что Таким образом, если , то . При этом условии, если то

Рассмотрим теперь лагранжеву плотность в теории полей, взаимодействующих с гравитацией.

где есть расслоение скалярных плотностей над Запишем причем , где — скалярная кривизна метрики

и элемент объема, определяемый позднее мы будем обозначать такое как

Если потребовать, чтобы интеграл действия

был стационарным для любой ограниченной открытой области с гладкой границей и для любой вариации метрики и вариации полей обращающихся в нуль на этой границе, то получим

для всех и исчезающих на где через обозначена производная Фреше, а частные производные соответственно по и Отметим, что вариации и берутся соответственно из пространства симметричных дважды ковариантных тензорных полей на и из

В терминах естественным образом сопряженных операторов это условие превращается в уравнения Эйлера — Лагранжа:

и

где 1 есть постоянная функция 1 в пространстве функций с действительными значениями, которое является дуальным к пространству плотностей . Эти уравнения эквивалентны обычному способу записи уравнений Эйлера — Лагранжа (если предположить, что зависит от -струи

Тогда, согласно [1321, имеем

где оператор Лапласа—Бельтрами на скалярах; след; двойная дивергенция тензор Риччи для

Таким образом,

где тензор Эйнштейна для Поскольку интеграл от обращается в нуль для вариаций исчезающих на отсюда следует, что

где означает, что индексы подняты с помощью

Положим (см. [104], § 3.3)

где означает пространство дважды контрава-риантных симметричных тензорных плотностей в

Пусть — дуальный тензор в индуцированный метрикой Таким образом, является обычным симметричным тензором энергии-импульса, ассоциированным

Полевые уравнения тогда примут вид

Если мы хотим иметь достаточно хорошую теорию полей, необходимо наложить жесткие ограничения на возможный выбор Например, если наша теория тензорная и зависит от производных скажем от ковариантных производных Уф полей Ф, то Т, вообще говоря, зависит от вторых производных и вторых производных Подобным же образом уравнения для полей будут зависеть как от вторых производных метрики, так и от вторых производных полей. В такой ситуации может и не быть хорошо определенной системы гиперболических уравнений [121—123]. Поэтому обычно предполагается минимальное взаимодействие (полей с гравитацией), т. е. зависит лишь от значений в точке. Для скалярного поля, электромагнитного поля и поля Янга — Миллса (для последнего есть кривизна поля связности Л) трудностей не возникает ввиду минимальности взаимодействий этих систем. Для минимальных тензорных теорий поля можно классифицировать содержащиеся в них естественные дифференциальные операторы согласно [151, 156, 172].

Перейдем теперь к динамической формулировке Дирака — Для изложения этого предмета воспользуемся современной симплектической геометрией и неявным вариантом дираковской теории связей; см. [1]. Поскольку гравитация играет у нас выделенную роль, вначале рассмотрим ее. Затем мы сделаем несколько

замечаний относительно случая полей, взаимодействующих с гравитацией.

Как и раньше, пусть четырехмерное многообразие с лоренцевой метрикой ориентируемое и ориентируемое по времени. Мы пишем чтобы не смешивать ее с римановой метрикой которая вводится ниже. Пусть М — компактное ориентируемое трехмерное многообразие и пусть есть вложение М, такое, что вложенное многообразие пространственноподобно, т. е. сужение есть риманова метрика на М. Пусть означает множество всех таких пространственноподобных вложений. Как и в работе [76], оно является гладким многообразием. Пусть означает вторую фундаментальную форму вложения, определенную в точке для обычной формулой

где — направленная в будущее времен иподобная нормаль к 2 в точке Таким образом, (где точка с запятой означает ковариантное дифференцирование относительно метрики ковариантное дифференцирование относительно обозначается вертикальной чертой).

Пусть дважды контрвариантная тензорная плотность, тензорная часть которой определяется как где означает контрвариантную форму ковариантного тензора с индексами, поднятыми с помощью аналогично означает ковариантную форму контравариантного тензора. В гамильтоновой формулировке Арновитта—Дезера — Мизнера (АДМ) k играет роль переменной скорости, — ее канонического импульса. Отметим, что у нас При обсуждении пространства гравитационных степеней свободы в разд. 6 полезно будет знать, что если глобально гиперболично и есть поверхность Коши, диффеоморфная М, то любое пространственноподобное вложение М в также является поверхностью Коши [24, 104].

Предположим теперь, что дана кривая в т. е. кривая пространственноподобных вложений М в Производная по параметру К (-производная) этой кривой задает однопараметрическое семейство векторных полей на вложенных гиперповерхностях следующим уравнением:

(рис. 1). Нормальные и касательные проекции задают кривую функций и векторных полей

на М уравнением

где —направленная в будущее единичная времениподобная нормаль к . Пусть тогда отображение

есть диффеоморфизм многообразия на трубчатую окрестность многообразия если интервал выбран достаточно малым. В этом случае мы назовем и кривую и вложенные гиперповерхности разбиением многообразия

По терминологии Арновитта — Дезера — Мизнера [7] и Уилера [174] функции и векторные поля суть функции длительности и векторные поля сдвига.

Рис. 1. Пространственноподобные вложения М в V, и разложение генератора на нормальную и касательную составляющие.

Используя как координатную систему для трубчатой окрестности на гиперповерхности координаты на М и как координаты на получим суженную метрику в виде

где

Пусть — кривая вторых фундаментальных форм вложенных гиперповерхностей и пусть — связанные с ними канонические импульсы. Основные геометродинамические уравнения, введенные в работах [7, 32, 72, 63, 130], содержатся в следующей теореме.

Теорема 1

Пусть на выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна Тогда для каждого однопараметрического семейства пространственноподобных вложений многообразия индуцированные метрики и импульсы удовлетворяют следующим уравнениям:

Обратно, если есть разбиение такое, что удовлетворяются записанные выше уравнения эволюции и связи, то удовлетворяет (вакуумным) уравнениям Эйнштейна.

В формулировке этой теоремы используются следующие обозначения: есть производная Ли тензорной плотности заметим, что Тензор Риччи для метрики обозначен как а для метрики — как скалярная кривизна для метрики Тензор Эйнштейна для метрики записывается в виде

Набросок доказательства теоремы 1 будет дан после теоремы 3. Двенадцать уравнений эволюции первого порядка для соответствуют шести уравнениям второго порядка тогда как остальные четыре уравнения Эйнштейна выступают в качестве уравнений связи. Точнее говоря, в координатах, задаваемых разбиением имеет компоненты Если определить «поперечно-поперечную» и «поперечнопараллельную» проекции тензора Эйнштейна выражениями

то

Уравнения эволюции этой теоремы корректны, как показано в Разд. 4.

В формулировке теоремы 1 длительность и сдвиг рассматриваются как независимо задаваемые величины. В формулировке «тонкого сэндвича» и рассматриваются как данные Коши, выражается как функция и затем из уравнений связи

находятся и X [144]. При линеаризации легко убедиться, что это не эллиптическая система, и поэтому, даже если ее и можно решить, здесь возникает ряд технических проблем, в частности неизбежная потеря регулярности. По этой причине большинство авторов отказалось от формулировки «тонкого сэндвича». Относительно других трудностей этой формулировки см. [55].

Важно обратить внимание на то, что многие члены в уравнениях эволюции АДМ комбинируются в виде производных Ли, и мы учли это в самой записи теоремы 1. Полезно также записать квадратичную алгебраическую часть в виде

Это выражение представляет собой «пучок» метрики Де Витта, т. е. совокупность членов уравнения эволюции, квадратичных по (см. ниже, а также работу [83]). Таким образом, в уравнении эволюции для отдельные члены можно интерпретировать следующим образом:

Дальнейшие сведения по геометрической интерпретации этого уравнения читатель найдет в работах [65, 83, 121—123].

Для интерпретации этих уравнений в терминах симплектической структуры кокасательного расслоения мы должны ввести следующие пространства. Обозначим через пространство римановых -метрик на М и через —группу диффеоморфизмов многообразия М. Через при обозначим римановы метрики класса Соболева диффеоморфизмы и другие отображения, а также тензоры класса будут обозначаться аналогично. Однако для простоты обозначений мы ограничимся в этом разделе классом

Пусть — касательное расслоение пространства , где, как и раньше, пространство -ковариантных симметричных тензорных полей класса

пространство -контравариантных тензорных плотностей класса на М. Введем Будем рассматривать как расслоение к Для имеется, как объяснялось выше, естественное Z-спаривание

При таком определении является подрасслоением «истинного» кокасательного расслоения. Поскольку есть открытое множество в касательным пространством к в точке является

Мы покажем теперь, что обладает естественной симплектической структурой, в которой уравнения эволюции теоремы 1 являются гамильтоновыми. Для включения в эту схему функции длительности и векторного поля сдвига необходимо ввести понятие обобщенной гамильтоновой системы.

Определим на глобально постоянную симплектическую структуру

следующим образом: для

Пусть определяется следующим образом: так что

Тогда

Вскоре мы вернемся к матрице

Пусть означает гладкие функции на М с действительными значениями; -гладкие скалярные плотности на М; — гладкие векторные поля на М; — гладкие плотности линейных форм на М. Рассмотрим функции

На этом этапе необходимо вычислить производные и сопряженные им естественным образом величины. Результаты вычислений представляются в виде следующего предложения.

Предложение 2

Если положить то производные функций

и естественным образом сопряженные им величины

даются следующими выражениями:

Доказательство состоит в довольно длинном, но прямом вычислении.

Как показано в работе [7], уравнения эволюции теоремы 1 являются гамильтоновыми уравнениями с гамильтонианом т. е.

Используя симплектическую структуру на задаваемую

матрицей

и соответствие

гамильтоновы уравнения теоремы 1 можно представить в весьма компактной форме.

Теорема 3

Система уравнений Эйнштейна, задаваемая уравнениями эволюции и уравнениями связи в теореме 1, может быть представлена в виде

где суть функция длительности и векторное поле сдвига, ассоциированные с данным разбиением, а

определяется в предложении 2.

Набросок доказательства теорем 1 и 3

Лагранжева плотность, порождающая уравнение Эйнштейна для пустого пространства имеет вид

где Из вычислительной части доказательства, которую мы здесь опускаем, видно, что можно записать в следующей -мерной форме (см. уравнения в [7] и уравнения 21-90 в [144)):

Здесь есть разбиение многообразия так что можно отождествить с Заметим, что наше определение

содержит множитель который дополняет до элемента объема на М. Подобным же образом элемент объема включает чем и объясняется наличие общего множителя

Построим на М векторную плотность и заметим, что Действие для гравитации можно записать в виде

Поскольку интегрирование по обращает член с в нуль, а член с полной производной по времени

можно опустить как постоянную, которая не войдет в вариацию имеем

Вариация действия в направлении исчезающая на и индуцирует вариацию пары , которая также исчезает на каждом концевом многообразии и Таким образом, из условия экстремума действия при произвольной вариации , исчезающей на концевых многообразиях получим

где член, содержащий полную производную по времени

обращается в нуль при интегрировании по переменной к ввиду исчезновения на концевых многообразиях. Из произвольности вариации следует, что

а потому

Теперь мы обсудим некоторые дополнительные детали гамильтоновой структуры сопряженного уравнения в теореме 3.

Пусть есть функция на с действительными значениями, задаваемая плотностью т. е.

Тогда гамильтоново векторное поле функции

определяется равенством

где — симплектическая структура на

Предложение 4

Гамильтоново векторное поле дается выражением

Доказательство

и, таким образом,

В частности, если то

Отсюда видно, что эйнштейновские уравнения эволюции являются гамильтоновыми уравнениями на симплектическом многообразии с плотностью гамильтониана

Допустим теперь, что являются функциями на с действительными значениями, задаваемыми плотностями и соответственно. Тогда их скобка Пуассона

определяется как

где — гамильтоново векторное поле для

Предложение 5

Для скобки Пуассона определенной выше, справедливо выражение

Доказательство

Этот результат в «физических обозначениях» можно записать в виде

Теперь рассмотрим случай, когда

Тогда из приведенного выше доказательства вытекает, что

Это означает следующее. Пусть — решение эволюционных уравнений Эйнштейна с длительностью и сдвигом Пусть Тогда

Таким образом, скобка Пуассона с гамильтонианом порождает, как и ожидалось, производные по X, где есть поток с начальными данными и с длительностью и сдвигом

Запись уравнений Эйнштейна, приведенную в теореме 3, можно на самом деле обобщить так, чтобы она могла включать теории полей, взаимодействующих с гравитацией. Эта обобщенная форма лежит в основе ковариантной формулировки гамильтоновых систем [90, 92, 53, 121—123]. Например, каноническую формулировку ковариантного скалярного волнового уравнения в пространстве-времени можно получить через общие длительность и сдвиг следующим образом.

Рассмотрим гамильтониан для скалярного поля

(в этом примере фоновая метрика рассматривается как заданная, но без уточнения ее конкретного вида). Мы можем построить дважды ковариантную симметричную тензорную плотность варьируя по

и плотность линейной формы , пользуясь соотношением

откуда Это равенство представляет как сохраняющуюся величину для координатной группы инвариантности на Если мы положим , то гамильтоновы уравнения для Ф в общем разбиении пространства с длительностью и сдвигом X примут вид

т. е. точно такой же, как для общей теории относительности. Вычисления показывают, что эта система эквивалентна приведенному выше скалярному волновому уравнению. Здесь есть производная Ф по скалярному полю и его каноническому импульсу

Если мы вводим взаимодействие скалярного поля с гравитацией, рассматривая скалярное поле как источник, то уравнение для гравитационного импульса в теоремах 1 и 3 изменяется на дополнительный член а уравнение для остается неизменным. Уравнения связи принимают вид

И вообще, если рассматриваются полный гамильтониан и тензор полного потока и если взаимодействие негравитационных полей с гравитационным полем является связью без производных (т. е. взаимодействие минимально), то уравнения с этим взаимодействием имеют вид

Здесь под имеются в виду все негравитационные динамические поля, под их сопряженные импульсы, под — дополнительные связи, возникающие вследствие вырождения а суть соответствующие нединамические (вырожденное) поля. Эти результаты обеспечивают единую ковариантную гамильтонову формулировку общей теории относительности в сочетании с другими лагранжевыми полевыми теориями и фактически позволяют формально перейти от случая пустого пространства к случаю связи без производных. Приведенное доказательство того, что описание полей, взаимодействующих с гравитацией, может быть дано в -сопряженном формализме», основано на результатах Кухаржа. В серии работ [119—125], составивших веху в этой области (первые шаги в которой были сделаны Дираком, см. [79] и ссылки, приведенные там), Кухарж дал разработанную в деталях каноническую формулировку ковариантных полевых теорий. Реализацию этой

формулировки для полей Янга — Миллса можно найти в работах Армса [2, 3].

Формализм, изложенный здесь, можно распространить на случай некомпактного многообразия М. В этом случае возникает много технических проблем, но принципиальное различие только одно: скорость спадания асимптотически плоской метрики недостаточна для того, чтобы было возможно интегрирование по частям. Это привело Редже и Тейтельбойма [161] к выводу, что настоящий гамильтониан, действительно порождающий эволюционные уравнения, содержит дополнительный член с поверхностным интегралом, соответствующий массе. Таким образом, в асимптотически-плоском случае после наложения связи эту массу можно истолковать как «истинный» генератор уравнений эволюции. Эти идеи обсуждаются в работе [64].