5. ПРИБЛИЖЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ

Ожидается, что главный вклад в интеграл по траекториям вносят метрики и поля, которые близки к метрике и полям определяющим экстремум действия, т. е. к решениям классических уравнений. Пренебрегая на время вопросом сходимости, можно разложить действие в ряд Тейлора в окрестности фоновых полей

где

— член, квадратичный по возмущениям и Если игнорируются члены высших порядков, интеграл по траекториям имеет вид

Это приближение называют по-разному: приближением стационарной фазы, ВКБ-приближением или однопетлевым

приближением. Первый член в правой части (37) можно рассматривать как вклад фонового поля в Мы обсудим его в разд. 7 и 8. Второй член называется однопетлевым членом и представляет собой вклад квантовых флуктуаций относительно фоновых полей. Остающаяся часть настоящего раздела посвящена изложению способа вычисления этого вклада. Для простоты будет рассмотрен только случай, когда все фоновые материальные поля равны нулю. Тогда квадратичный член можно представить как и

Сначала рассмотрим однопетлевой член для материальных полей, т. е. второй член в правой части равенства (38) можно записать в виде

где А — дифференциальный оператор, зависящий от фоновой метрики . В случае бозонных полей, который будет рассмотрен первым, А есть дифференциальный оператор второго порядка. Пусть — собственные значения и собственные функции оператора А, причем в случае, когда есть граничная поверхность, на Собственные функции можно нормировать:

Произвольное поле Ф, которое обращается в нуль на можно выразить в виде линейной комбинации этих собственных функций:

Подобным же образом меру в пространстве всех полей можно записать в виде

где — нормировочный множитель размерности массы или обратной длины. Тогда однопетлевой член для материи можно представить как

В случае комплексного поля Ф типа заряженного скалярного поля

нужно рассматривать Ф и аналитическое продолжение комплексно-сопряженного к Ф поля как независимые поля. Тогда квадратичный член имеет вид

Если есть фоновое электромагнитное поле, то оператор А не будет самосопряженным. Можно записать Ф через собственные функции сопряженного оператора

Тогда мера будет иметь вид

Поскольку мы интегрируем по независимо, получаем

Чтобы интегралы по траекториям применить к фермионам, спинор и его независимый сопряженный спинор нужно считать антикоммутирующими грассмановыми числами [1]. Для грассмановой переменной х имеют место следующие (формальные) правила интегрирования:

Этого достаточно, чтобы определить все интегралы, поскольку и более высокие степени х равны нулю по свойству антикоммутации. Отметим, что из (48) следует если где а — действительная постоянная.

Эти правила можно применить к вычислению интеграла по траектории по ферми-полям и Оператором А в этом случае будет обычный оператор Дирака первого порядка. Если разложить в степенной ряд, то из-за свойства антикоммутации останется лишь член, линейный по А. Интегрирование по дает

Таким образом, однопетлевые члены для ферми-полей пропорциональны детерминанту их оператора, тогда как для бозонов они обратно пропорциональны детерминантам.

Можно получить следующее асимптотическое разложение для числа собственных значений оператора А со значениями

меньше X:

где — коэффициенты Адамара — Минакшисундарама — Де Витта (АМДВ), о которых упоминает Гиббонс [49]. Их можно представить в виде

где — скалярные полиномы по метрике, кривизне и ее ковариантным производным [25]. В случае скалярного волнового оператора они равны

Когда имеется граничная поверхность отсюда возникают дополнительные вклады в (50), включающие члены порядка По-видимому, это должно быть дополнительным основанием для попыток отбросить граничные поверхности и работать просто с замкнутыми многообразиями.

Из разложения (50) видно, что детерминант А, т. е. произведение его собственных значений, сильно расходится. Чтобы получить конечный ответ, мы должны регуляризовать этот детерминант, поделив его на произведение собственных значений, соответствующих первым двум членам в правой части (50) (и членам порядка если они есть). Для этого существуют разные способы: размерная регуляризация [44], расщепление точек [8], регуляризация Паули — Вилларса [47] и регуляризация через дзета-функцию [9, 29, 30]. Последний метод представляется наиболее подходящим для регуляризации детерминантов операторов на фоне искривленного пространства. Мы обсудим его в следующем разделе.

Как для фермионных, так и бозонных операторов член равен где V — объем многообразия в фоновой метрике, — число спиновых состояний поля. Поэтому, если число бозонных и фермионных спиновых состояний одинаково, ведущие расходимости в порожденные членами взаимно сократятся в фермионных и бозонных детерминантах без регуляризации. Если к тому же члены сокращаются или равны нулю (что имеет место для безмассовых конформно-инвариантных полей), то остающиеся главные расходимости взаимно сокращаются между бозонами и фермионами. Такая ситуация имеет место в теориях с

суперсимметрией типа супергравитации [5, 14] или расширенной супергравитации [12). Это может служить достаточным основанием для того, чтобы серьезно относиться к этим теориям, в частности к связи материальных полей с гравитацией.

Независимо от того, взаимно сокращаются или устраняются регуляризацией сингулярности, возникающие от остающийся коэффициент , будет, вообще говоря, отличен от нуля, даже в супергравитации, если топология пространства-времени нетривиальна [39]. Это значит, что выражение для будет содержать конечное число (не обязательно целое) нескомпенсированных собственных значений. Поскольку эти собственные значения имеют размерность квадрата обратной длины, чтобы получить безразмерный результат для каждое из них нужно поделить на где — нормирующая постоянная, или регуляризующая масса. Таким образом, зависит от Для перенормируемых теорий, таких, как квантовая электродинамика или теория Янга — Миллса в плоском пространстве, коэффициент пропорционален действию данного поля. Это означает, что зависимость от можно включить в эффективную константу взаимодействия зависящую от масштаба, в котором она измеряется. Если при т. е. для очень коротких расстояний или высоких энергий, то говорят, что теория — асимптотически-свободная.

Но в искривленном пространстве содержит члены, квадратичные по тензору кривизны фонового пространства. Поэтому без предположения о том, что гравитационное действие содержит члены, квадратичные по кривизне (что, по-видимому, ведет к множеству проблем, включая отрицательность энергии, уравнения четвертого порядка и отсутствие ньютоновского предела [42, 43]), нельзя устранить зависимость от Поэтому говорят, что гравитация неперенормируема: при регуляризации теории появляются новые параметры.

Если бы мы попытались регуляризовать члены более высокого порядка в ряде Тейлора относительно фоновой метрики, то пришлось бы ввести бесконечную последовательность параметров регуляризации, значения которых не фиксировались бы теорией. Однако в разд. 9 утверждается, что эти члены высшего порядка не имеют физического смысла и следует рассматривать лишь однопетлевые квадратичные члены. В отличие от теорий Янга — Миллса или в теории гравитации есть естественный масштаб длины — планковская масса. Поэтому представляется разумным взять нормирующий множитель для однопетлевого члена кратным планков-ской массе.