3. СИНГУЛЯРНОСТИ — КЛЮЧ К ПРОБЛЕМЕ?

Каков итог нашего обсуждения в данный момент? Согласно разд. 2.3-2.5, и стрела энтропии, и стрела запаздывающего излучения, и, возможно, стрела психологического времени могут быть объяснены, если будет найдена причина для того, чтобы энтропия начального состояния вселенной (сингулярности «большого взрыва») была сравнительно мала, а энтропия конечного состояния — велика. Согласно разд. 2.6, какое-то допущение о малой энтропии при «большом взрыве» действительно необходимо-, иначе говоря, тот факт, что вселенная расширяется от некоторой сингулярности, сам по себе никак не достаточен. И наконец, согласно разд. 2.7, нам нужно наложить некоторые условия на начальные сингулярности, которые исключили бы сингулярности, находящиеся в центрах белых дыр. С другой стороны, рассуждения разд. 2.1 и 2.2 не сопровождались определенными выводами, и необходимо будет ненадолго вернуться к ним в конце.

Что же содержится в природе «большого взрыва» такого, из-за чего энтропия была бы «мала»? На первый взгляд должно показаться, что имеющиеся у нас знания о «большом взрыве» говорят о прямо противоположном. Материя (включая излучение) на ранних стадиях, по-видимому, полностью термализована (по крайней мере настолько, насколько это совместимо с расширением). Если бы это было не так, мы не получили бы правильного объяснения для обилия гелия и т. п. [77, 781. Часто отмечалось, что численное значение «энтропии на один барион» (т. е. отношения числа фотонов к числу барионов) во вселенной «велико», а именно порядка .

Без учета вклада в энтропию от черных дыр эта величина, начиная с очень ранних стадий, в грубом приближении остается постоянной и составляет основную часть энтропии вселенной; но, несмотря на это, все «интересные» процессы, продолжающиеся в мире и столь важные для нашей жизни на Земле, обусловлены лишь «малым» приростом энтропии таких звезд, как наше Солнце. Ответ на мнимый парадокс, состоящий в том что «большой взрыв» рассматривается нами как состояние с высокой энтропией, содержится в необычной природе гравитационной энтропии. Именно это я и собираюсь сейчас обсудить, а затем будет показано, какое отношение это имеет к структуре сингулярностей.

3.1. ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ

Многие авторы отмечали, что гравитация ведет себя в некоторой степени аномально в отношении энтропии [79]. Это справедливо как для ньютоновской теории, так и для общей теории относительности. (В действительности в ньютоновской теории положение даже хуже.) Так, во многих случаях, когда присутствует гравитация, система может вести себя, как если бы она имела отрицательную теплоемкость. Это явно имеет место в случае черной дыры, испускающей хокинговское излучение, поскольку чем больше она излучает, тем горячей она становится. Но даже в таких знакомых ситуациях, как движение спутника по орбите вокруг Земли, мы наблюдаем явления подобного рода. Так, диссипация (в виде трения в атмосфере) вызовет увеличение скорости спутника вместо ее уменьшения, т. е. приведет к росту кинетической энергии.

По существу, в этом проявляется универсально притягивающая природа гравитационного взаимодействия. По мере «релаксации» гравитирующей системы скорости возрастают, а источники скучиваются вместо равномерного распределения их по всему пространству с образованием более привычных высокоэнтропийных конфигураций. Другие виды сил в отношении притяжения имеют тенденцию к насыщению (как, например, в случае системы, связанной электромагнитно), но этого не происходит с тяготением. Только негравитационные силы могут воспрепятствовать дальнейшему коллапсу частей системы к их центрам по мере релаксации системы. Кинетическая энергия может лишь временно приостановить коллапс. В отсутствие существенных негравитационных сил, когда в игру вступают диссипативные явления, скучивание становится все более заметным, тогда как энтропия возрастает. Окончательно, при коллапсе с образованием черной дыры достигается максимальная энтропия, а это приводит нас снова к рассуждениям разд. 2.7.

Рассмотрим вселенную, которая расширяется от сингулярности «большого взрыва» и затем вновь коллапсирует (реколлапсирует) во всеохватывающую финальную сингулярность. Как утверждалось в

разд. 2.6, энтропия на поздних стадиях должна быть много больше энтропии ранних стадий. Каким образом этот рост энтропии проявляет себя? Какое различие между сингулярностями возникает из-за того, что энтропия финальной сингулярности велика, а энтропия «большого взрыва» относительно мала? Можно допустить, что первоначально материя имела большую энтропию, как это, видимо, и обстоит с реальной вселенной. Кинетической энергии «большого взрыва» (по крайней мере в среднем) вполне достаточно, чтобы преодолеть гравитационное притяжение, и вселенная расширяется. Но затем тяготение начинает неумолимо брать верх. Точный момент, когда это происходит в том или ином месте, зависит от степени уже имеющейся нерегулярности и, вероятно, от других разнообразных, но неизвестных факторов. Затем возникает скучи-вание, приводящее к появлению скоплений галактик, самих галактик, шарообразных скоплений, обычных звезд, планет, белых карликов, нейтронных звезд, черных дыр и т. д. Все знакомые нам сложные и интересные структуры обязаны своим существованием этому скучиванию, вследствие которого гравитационная потенциальная энергия начинает увеличиваться, а энтропия может начать расти выше кажущегося очень высоким значения, которое система имела первоначально. Следует ожидать, что это скучивание будет усиливаться; образуется все больше черных дыр, черные дыры поменьше будут поглощать вещество и сливаться друг с другом, образуя черные дыры большего размера. Этот процесс ускоряется в конечных стадиях реколлапса, когда средняя плотность опять становится очень большой и нужно ожидать, что конечное состояние будет крайне иррегулярным и зернистым.

Здесь мы встречаемся с определенной технической трудностью, состоящей в том, что понятие черной дыры обычно определяется только для асимптотически плоского (или открытого) пространства-времени. Эта трудность могла бы проявиться при рассмотрении конечных стадий коллапса, когда черные дыры начинают сливаться друг с другом и со всеохватывающей финальной сингулярностью реколлапса. Но в действительности нам нет необходимости знать локализацию горизонта черной дыры, а упомянутая трудность возникает лишь при точном определении этих горизонтов. Черная дыра, образовавшаяся в раннюю эпоху истории вселенной, имеет сингулярность, которую наблюдатели, встретившиеся с дырой, достигают при ранних значениях их собственного времени 1571; в сингулярности черных дыр, образовавшихся позднее, можно попасть в более поздние моменты. Исходя из строгой космической цензуры (см. разд. 3.2), нужно ожидать, что все эти сингулярности окончательно сольются с финальной сингулярностью реколлапса [571. Я не требую, чтобы эти сингулярности можно было каким-то четким образом отличить друг от друга или от финальной сингулярности реколлапса. Важно лишь то. что гравитационное скучивание, которое характерно для состояния высокой гравитационной

энтропии, должно проявиться в виде крайне зернистой структуры конечной сингулярности (или сингулярностей).

Для вселенной, которая с момента своего «большого взрыва» расширяется бесконечно, картина вовсе не так сильно отличается от только что приведенной. По-прежнему следует ожидать локального скучивания и возникновения некоторого числа черных дыр (при условии, что начальная плотность не слишком мала и не слишком однородна для того, чтобы вообще было возможно образование галактик). Для областей внутри этих черных дыр ситуация несущественно отличается от ситуации в коллапсирующей вселенной (как это уже отмечалось в разд. 2.6), так что внутри каждой дыры, надо полагать, обнаружится весьма сложная сингулярность, соответствующая очень большой гравитационной энтропии. В областях, которые не являются внутренними для черных дыр, также будут определенные локализованные объекты, такие, как бесформенные глыбы, планеты, черные карлики, нейтронные звезды, которые соответствуют определенному предельному возрастанию уровня энтропии за счет гравитационного скучивания; однако прирост гравитационной энтропии в этих случаях будет сравнительно скромным, хотя и достаточным, как мы видим, для всего того, что требуется для жизни на Земле.

Я уже подчеркивал качественную связь между гравитационным скучиванием и увеличением энтропии вследствие роста гравитационной потенциальной энергии. В терминах пространственно-временной кривизны отсутствие скучивания соответствует (весьма приблизительно) нулевому значению конформной кривизны Вейля (поскольку отсутствие скучивания означает пространственную изотропию и, следовательно, отсутствие главных изотропных направлений) [45]. Когда имеет место скучивание, каждый сгусток окружен областью с отличной от нуля кривизной Вейля. С ростом сгустка гравитационное притяжение приводит к появлению новых областей с сильно возросшими значениями кривизны Вейля. Наконец, когда происходит гравитационный коллапс и образуется черная дыра, кривизна Вейля внутренней области становится еще больше и обращается в бесконечность на сингулярности.

Величина кривизны Вейля расходится как обратный куб расстояния от центра, по крайней мере в картине, описывающей сферически симметричный коллапс. Однако достаточно оснований и для уверенности в том, что и при коллапсе общего вида кривизна Вейля у сингулярности должна стремиться к бесконечности и доминировать над кривизной Риччи (в большинстве областей вблизи сингулярности).

Прямым свидетельством этого могут служить результаты анализа, проведенного Белинским, Халатниковым и Лифшицем [80]. Кроме того, к такому же выводу можно прийти на основе следующих чисто качественных рассуждений. Известно, что в точных фридмановских моделях доминирует тензор Риччи, а тензор Вейля

повсюду равен нулю. В этом случае если мировую линию частицы вещества продолжать до сингулярности, то она изотропно сближается с соседними такими же мировыми линиями, так что происходит одновременное схождение в трех взаимно перпендикулярных и ортогональных к мировой линии направлениях. В случае же сферически-симметричного коллапса к черной дыре, если мы следим за симметричным падением некоторого количества вещества на центральную сингулярность, мы, наоборот, увидим, что схождение к данной мировой линии обычно происходит лишь в двух взаимно перпендикулярных направлениях, ортогональных к этой мировой линии (а в третьем имеет место расхождение). Именно так обстоит дело в космологической модели Кантовского — Сакса [81], содержащей так называемую «сигарообразную» сингулярность [71. Если обычная шварцшильдова координата, объем вблизи сингулярности спадает как , следовательно, плотность — как Таким образом, типичная компонента Ф тензора Риччи ведет себя как В тоже время типичная компонента тензора Вейля, вообще говоря, ведет себя как Отсюда видно, что в этих случаях тензор Вейля вблизи сингулярности доминирует. В сингулярностях типа «блина», где имеет место схождение только в одном направлении, ортогональном к мировой линии вещества, также следует ожидать, что тензор Вейля будет доминировать: в этом случае и

Таким образом, ситуация фридмановского типа с одновременным схождением всей материи и сразу со всех направлений представляется структурой весьма специального вида. Если схождение в одном направлении несколько меньше, чем в двух других, то, по-видимому, на очень близких расстояниях от сингулярности более вероятна сигарообразная конфигурация, в то время как блиноподобная появляется, видимо, когда схождение имеет место преимущественно только в одном направлении. Кроме того, при структуре общего вида, по всей вероятности, значительную роль играют осцилляции [80]. Осциллирующая кривизна Вейля с частотой и комплексной амплитудой дает дополнительный эффективный вклад «гравитационной энергии» в тензор Риччи порядка [61]. Если становится очень большой, так что до достижения сингулярности происходит большое число осцилляций, то где Ф — типичная компонента тензора Риччи. Таким образом, если по мере приближения к сингулярности «энергетическое содержание» У будет сравнимо (что, вообще говоря, представляется разумным), то будем иметь , следовательно, Правда, эти рассуждения весьма приблизительны, но похоже, что они согласуются с более детальным анализом [80], из которого следует, что при рассмотрении поведения общего вида в первом приближении вкладом от материи можно пренебречь и трактовать решение как вакуумное, т. е. что вейлевская часть кривизны доминирует над кривизной Риччи.

Из всего этого следует, что высокоэнтропийная сингулярность связана с очень большой кривизной Вейля в отличие от заполненной пылью вселенной Фридмана и любых других моделей класса Робертсона — Уокера. Однако к моменту написания этой статьи еще не получено какой-либо четкой (скажем, интегральной) формулы, которую можно было бы рассматривать как математическое выражение этой предполагаемой связи между кривизной Вейля и гравитационной энтропией. Некоторые пути к этой формуле (если она вообще существует) могут подсказать, во-первых, формула Бекенштейна — Хокинга для энтропии черной дыры и, во-вторых, выражения для оператора числа частиц для свободного безмассового линейного квантованного поля спина 2, поскольку оценка «числа гравитонов» в гравитационном поле могла бы быть принята за меру его энтропии. Таким образом, эта энтропия определяла бы число квантовых состояний, вносящих вклад в данную классическую геометрию.

В связи с вопросом об энтропии в гравитационном поле следует отметить еще один, последний пункт. Еще давно Толмен [84] указал, что в модельной вселенной, которая заполнена материей, находившейся на ранних стадиях в тепловом равновесии, может сложиться ситуация, когда эта материя в ходе расширения вселенной выйдет из равновесия (конкретным примером вещества, ведущего себя подобным образом, служит двухатомный газ, который способен к диссоциации на составляющие элементы и к рекомбинации). Тогда, если такая модель изображает расширяющуюся и реколлапсирующую вселенную, состояние материи в ходе реколлапса должно отличаться от соответствующего состояния в стадии расширения; соответствие мы устанавливаем по равенству значений радиуса вселенной (сопутствующего радиуса). В самом деле, материя в ходе реколлапса должна получить некоторую энергию от глобальной геометрии вселенной, причем возникшее в результате этого различие в геометрии проявляется в том, что при данном значение больше при реколлапсе, чем при расширении. Поэтому энтропия системы как целого возрастает со временем несмотря на то, что сама материя находилась в начальной стадии расширения в тепловом равновесии. Фактически здесь имеет место вклад в энтропию от который должен рассматриваться в данной модели как динамическая переменная. (Этот вклад возникает за счет объемной вязкости [85].)

На происходящее в этой модели можно смотреть по существу как на преобразование потенциальной энергии глобальной структуры вселенной (гравитационная потенциальная энергия) в

локальную энергию вещества, хотя имеются известные трудности в точном определении энергии в моделях такого рода. Однако здесь эти трудности не должны нас особенно затрагивать, поскольку в действительности существенна энтропия, а не энергия, энтропия же значительно больше связана с вероятностями и структуризацией, чем с каким-либо частным определением энергии. В примере, приведенном Толменом, нет состояния с максимальной энтропией ни в рамках одной конкретной модели, ни для всех моделей этого типа вместе взятых. Выбирая значение для максимального расширения достаточно большим (при фиксированном материальном содержимом), можно сделать полную энтропию сколь угодно большой. Толмен рассматривал возможность последовательных циклов «осциллирующей» вселенной с последовательно растущими максимальными значениями Нам, однако, теперь трудно придерживаться такого взгляда на вселенную ввиду теорем о сингулярностях [7, 8], утверждающих, что вселенная не может кончить свое эффективное «схлопывание» на некотором минимальном радиусе без нарушения известных нам законов физики.

С моей точки зрения, ситуация, обрисованная Толменом, может рассматриваться как один из аспектов вопроса о том, каким образом структура вселенной как целого вносит вклад в энтропию. Здесь мы, очевидно, касаемся несколько иного аспекта этого вопроса, чем при рассмотрении гравитационного скучивания, поскольку тензор Вейля в моделях Толмена всюду равен нулю. Ясно, что в этом тоже необходимо детально разобраться, если мы хотим полностью понять роль гравитационной энтропии. Тем не менее достаточно ясно, что прирост энтропии в ситуациях типа рассмотренных Толменом относительно незначителен [78] по сравнению с тем приростом, который может быть обнаружен и в самом деле обнаруживается при гравитационном скучивании (ср. с разд. 3.3).

Ключевым вопросом, который должен интересовать нас в наибольшей степени, является структура сингулярностей. Эти сингулярности по меньшей мере определяют граничные условия для разных циклов толменовской «осциллирующей» вселенной. Более того, как мы очень скоро увидим, наличие иррегулярностей не должно изменить всеохватывающего характера этих сингулярностей в случае расширяющейся и реколлапсирующей вселенной, если выполняется строгая космическая цензура.