2.3. ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ

Тепловые состояния играют особенно важную роль в теории черных дыр. Легче всего это увидеть в случае геометрии Шварцшильда. Пусть — стандартная шварцшильдовская временная координата. Тогда — времениподобный вектор Киллинга повсюду вне горизонта, и вакуумное состояние определяется по отношению к нему. На больших расстояниях от черной дыры этот вакуум неотличим от обычного вакуума Минковского. В частности, в этой области (перенормированное) обращается в нуль. Вблизи горизонта, напротив, этот вакуум приобретает многие свойства риндлеровского вакуума: детектор частиц, покоящийся относительно остается в своем основном состоянии. Более того, в локально лоренцевой системе отсчета на горизонте приобретает бесконечное отрицательное значение, точно так же как на границе клина Риндлера в риндлеровском вакууме.

Имеется другой «вакуум», который совместим с геометрией Шварцшильда, — состояние, для которого (в локальной системе отсчета) остается на горизонте конечным. Это состояние фиксируется требованием, чтобы свободно падающий детектор не испытывал никаких стимулированных переходов вблизи горизонта. В этой области такое состояние, очевидно, похоже на вакуум Минковского. На бесконечности, напротив, оно имеет тепловой характер, что можно установить из следующих рассуждений.

Пусть М — масса черной дыры. Выберем единицы, в которых гравитационная постоянная равна единице. Пусть детектор находится в покое относительно и расположен при

— обычная шварцшильдовская радиальная координата. Для того чтобы это положение детектора не менялось, он должен испытывать абсолютное ускорение, равное Поскольку это состояние обладает локальными свойствами вакуума Минковского вблизи отсюда следует, что детектор должен реагировать, по крайней мере в области высоких частот, так, как если бы он был помещен в фотонный термостат с температурой Фотоны в этом термостате соответствуют базисным функциям, основанным на Они реальны, поскольку они несут энергию, увеличивающую на горизонте от до конечного значения. Более того, они могут уйти на бесконечность, где

вследствие фактора красного смещения них будет температура

Это знаменитая температура, введенная Хокингом [461. Он впервые встретился с ней при изучении черных дыр, образующихся при коллапсе. Метрика коллапса допускает корректную постановку задачи Коши для базисных функций поля излучения. Следовательно, если первоначально несингулярно, оно должно оставаться несингулярным до достижения геометрической сингулярности при В частности, оно должно быть гладким на горизонте. Предполагалось, что черная дыра, о которой говорилось до сих пор, — это «вечная» черная дыра, горизонт которой состоит как из будущей, так и из прошлой частей. Черная дыра, образующаяся при коллапсе, имеет только горизонт будущего. Условие, что должно быть гладким на горизонте, ведет (начиная с предколлапсного состояния, в котором на бесконечности нет частиц) к конечному состоянию, в котором фотоны на бесконечности тепловые с но только вылетающие. В случае вечной черной дыры состояние на бесконечности есть состояние термостата, находящегося в равновесии с черной дырой; при этом поглощается столько же фотонов, сколько излучается.

Введение Хокингом соответствующей температуры для черной дыры закрыло большой теоретический пробел в статистической механике черных дыр. Ранее он доказал важную теорему [45], согласно которой в классической общей теории относительности площадь горизонта будущего черной дыры никогда не может уменьшаться. Руководствуясь аналогией этого результата с вторым началом термодинамики, Бекенштейн [5] попытался установить, нельзя ли эту площадь рассматривать как меру энтропии. Подсчитывая информацию, которая теряется внешним миром, когда черная дыра захватывает материю или излучение, он нашел, что площадь действительно служит такой мерой и коэффициент пропорциональности между ней и термодинамической энтропией должен быть очень близок к единице в системе единиц, в которой

Однако догадка Бекенштейна имела один явный недостаток. Классически черная дыра может быть в тепловом равновесии со своим окружением только в том случае, если температура этого окружения равна абсолютному нулю, а это означает, что сама дыра должна быть при нулевой температуре. Если энтропию считать пропорциональной площади, то из термодинамической формулы следует, что для конечного изменения энергии Е (или массы М) черной дыры требуется бесконечное изменение площади. Это находится в прямом противоречии с элементарным соотношением между массой и площадью (для невращающейся черной дыры).

Если же черной дыре приписать температуру, определяемую формой (15), то упомянутое термодинамическое соотношение принимает простую форму и допускает отождествление

Открытие Хокинга не только устанавливает коэффициент пропорциональности между энтропией и площадью горизонта, но также показывает самым убедительным образом, что общая теория относительности должна сочетаться с квантовой теорией, если мы хотим обеспечить согласие со статистической механикой.

Следует особо подчеркнуть общность приведенных результатов: хотя температура (15) была первоначально выведена при исследовании линейных квантованных полей, распространяющихся в заданной геометрии черной дыры, она верна также и для взаимодействующих полей. Наиболее очевидно это следует из работ кембриджской школы (см. [48] и статью Хокинга VII в настоящем сборнике). В них показано, что одно из важных свойств хронологических функций Грина для любой теории поля (с взаимодействием или без него) на фоне черной дыры может быть выведено просто аналитическим продолжением метрики к комплексным значениям времени Оказывается, что эти функции должны быть периодическими (для фермионов антипериодическими) по с мнимым периодом если они «хорошо себя ведут» на горизонте и обладают нужными свойствами на бесконечности. А такая периодичность, как известно, является свойством тепловой функции Грина (см. [36]). Это можно усмотреть, например, в формуле (13), где период равен