4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ...

Когда близки, удобно ввести представление функции К, которое подсказывается ее формой в плоском пространстве-времени:

Здесь — размерность пространства-времени, — половина квадрата геодезического расстояния между

определитель

а удовлетворяет граничному условию

Подставляя (46) и (39), вспоминая, что и используя следующие уравнения, которым удовлетворяют и (см. [21]):

находим

Когда пространство-время неполно, уравнения (50) вместе с граничным условием (48) недостаточно для определения . Однако их достаточно для определения асимптотического разложения , справедливого при малых и х, близких к х:

Коэффициенты определяются дифференциальными рекуррентными соотношениями

которые следуют из (48) и (50). Повторно дифференцируя уравнение (49) и используя тот факт, что

находим, что из этих рекуррентных соотношений следуют пределы совпадения

Из уравнений (45), (46) и (51) получаем

где формальные интегралы:

Из этого выражения видно, что интеграл в (44) в нижнем пределе расходится как

Если пространство-время имеет несингулярный неизотропный край, представление (55) не совсем верно: иногда содержит члены вида где при х, лежащем близко к к краю, функция пропорциональна квадрату расстояния от края. Эти члены обладают существенными особенностями при но не появляются в асимптотическом разложении (51). Однако, будучи подставлены в интеграл (45), они дают два типа дополнительных членов к сумме в (55): члены, содержащие полуцелые степени is, и члены, содержащие целые степени, подобные тем, которые уже имеются в сумме. Члены первого типа возникают из-за эффекта «перенаселения» вблизи края, который снижает эффективную размерность пространства-времени на единицу. Члены второго типа включают внешнюю кривизну (вторую фундаментальную форму) края, и их легче всего получить «удвоением» многообразия, т. е. пополняя его присоединением к нему вдоль края его метрической копии (см. [61]). За исключением эффекта краевого перенаселения, удвоенное многообразие обладает всеми основными свойствами исходного многообразия, но поскольку оно полное, выражение (55) может быть применено к нему в том виде, в котором оно приведено. Компоненты связности (в некоторой естественной системе координат) имеют разрывы по «стыку» вдоль исходного края, а тензор Римана ведет себя здесь как дельта-функция. Именно эта дельтафункция порождает поправки к (55) от внешней кривизны.

Мы видим, что искривленные края приводят к определенным нереалистическим и нефизическим эффектам уже в плоском пространстве-времени, например к бесконечным значениям плотности энергии у края. В общем случае они переплетаются со стандартными расходимостями и усложняют проблему перенормировки совершенно безнадежным образом. В дальнейшем мы исключим из рассмотрения многообразия с краем, если только этот край не возникает естественным образом при аналитическом продолжении или конформном преобразовании из многообразий без края. Тогда выражение (55) не нуждается в каких-либо изменениях.

Другое полезное представление функции можно получить, вводя полный набор собственных функций оператора

Без потери общности можно считать, что действительный ортонормированны:

Если пространство-время полное (и глобально-гиперболическое), то функция должна быть ограниченной; если же оно не полное, то функции должны удовлетворять определенным краевым условиям. Здесь а обозначает полный набор нумерующих величин, а символы и 2 следует понимать в том смысле, что в случае, когда величины а непрерывны, они включают дельта-функции и интегралы соответственно. С помощью функций можно написать

Фейнмановский пропагатор может быть построен подобным же образом: