2. ПЕРЕНОРМИРУЕМЫЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Насколько я знаю, имеется ровно три подхода, с помощью которых можно было бы надеяться построить перенормируемую теорию гравитации.

а. Расширенные теории гравитации

Могло случиться, что в результате объединения гравитации с соответствующими материальными полями и наложения соответствующих симметрий все ультрафиолетовые расходимости оказались бы сокращенными, за исключением конечного их числа, которые могли бы быть поглощены при перенормировке параметров теории. В этом случае расширенная теория материи и гравитации была бы перенормируемой в обычном смысле.

Как отмечалось в разд. 1, анализ размерностей наводит на мысль, что квантово-полевая теория гравитации будет всегда иметь ультрафиолетовые расходимости. Опыт вообще показывает, что если ультрафиолетовая расходимость ожидается из размерных соображений и не исключается какой-нибудь симметрией теории, то ультрафиолетовая расходимость действительно будет существовать. Вопрос, исключается ли ультрафиолетовая расходимость симметрией, эквивалентен вопросу о том, запрещает ли симметрия существование в лагранжиане члена, который требовался бы, чтобы дать контрчлен для этой расходимости. Следовательно, по-видимому, единственная надежда для расширенной теории гравитации и материи, перенормируемой в обычном смысле, заключается в том, что симметрии теории исключат из лагранжиана все (кроме, может быть, конечного числа) типы взаимодействий.

Это, конечно, возможно для обычных симметрий. Если симметрии допускают построение набора инвариантных взаимодействий то мы можем построить бесконечное число других дозволенных взаимодействий, образуя произведения и можно ожидать появления любой из бесконечного числа соответствующих ультрафиолетовых расходимостей.

Однако возможно, что симметрии теории не допускают построение любого инвариантного взаимодействия, а допускают только такие взаимодействия вариации которых под действием преобразований группы симметрии являются полными производными. Тогда вклады этих взаимодействий в действие инвариантны, поэтому они являются допустимыми взаимодействиями. Однако вариации в произведениях не являются, вообще говоря, полными производными, поэтому эти взаимодействия могут оказаться запрещенными симметриями теории, и соответствующие ультрафиолетовые расходимости не будут появляться.

Наиболее интересные примеры теории этого типа даются теориями суперсимметрии, в которых частицы с различными спинами соединяются в неприводимых представлениях. Лагранжиан не является фактически инвариантом относительно преобразований суперсимметрии, а служит отдельным членом супермультиплета, который преобразуется в полную производную. Суперсимметрия налагает такие жесткие условия на лагранжиан, что в некоторых теориях «супергравитации» [10] не имеется никаких допустимых взаимодействий такого вида, который был бы необходим для сокращения расходимостей в диаграммах с одной или двумя петлями; в

результате в этих теориях не встречается никаких ультрафиолетовых расходимостей в низших порядках теории возмущений. Однако пока нет оснований ожидать, что эта теория не будет содержать бесконечного числа допустимых взаимодействий, которые нужны в качестве контрчленов в высших порядках теории возмущений.

б. Пересуммирование

Сохранилась надежда, что неперенормируемая теория могла бы быть сделана эффективно перенормируемой перераспределением членов ряда теории возмущений. Некоторые бесконечные подгруппы графиков были бы просуммированы в первую очередь, и если бы эти суммы достаточно быстро стремились к нулю при больших моментах, они могли бы использоваться в качестве строительных блоков в новом наборе фейнмановских правил с лучшей сходимостью. Однако трудно показать, что такое изменение порядка суммирования ведет к более надежному ряду теории возмущений, или в действительности найти ему оправдание в каких-нибудь соображениях, отличных от соображений, связанных с исключением ультрафиолетовых расходимостей. На самом деле, во многих случаях мы можем непосредственно видеть, что члены конечного порядка содержатся в пересуммированном ряду возмущений, и это, по-видимому, относится к нефизическим особенностям.

Наиболее простой пример такого типа пересуммирования в квантовой теории гравитации дает теория, основанная на лагранжиане

Действуя обычным образом, нужно было бы рассматривать два последних члена в качестве возмущения и разлагать в ряды по степеням а также На этом пути, конечно, встретились бы ужасные ультрафиолетовые расходимости, но не было бы нефизических особенностей в любом конечном порядке теории возмущений. Однако

мы можем просуммировать вклады в и членов, которые квадратичны по гравитационному полю (где, как обычно, Это дает модифицированный гравитационный пропагатор, в котором обычный член заменяется на

где а — безразмерная функция (В качестве альтернативы мы могли бы просто рассматривать квадратичную часть членов и как часть лагранжиана нулевого порядка и получить (2) непосредственно как «голый» пропагатор для этой теории). Он достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности, так что лагранжиан (1) теперь проходит обычные степенные тесты на перенормируемость. Неудобно, конечно, что (2) имеет теперь полюс при с вычетом неподходящего знака, чтобы согласовываться с унитарностью.

Встретившаяся здесь проблема является частным случаем более общей трудности. При обычных предположениях аналитичности любое изменение порядка суммирования будет вообще заменять в гравитационном пропагаторе на интеграл [76, 77]

Унитарность требует (за исключением, возможно, вклада петлевых графиков, содержащих гравитоны или духи Фаддеева — Попова в лоренц-ковариантных калибровках). Пока интеграл (3) не может убывать быстрее, чем при

Мы можем увидеть это снова при изменении порядка суммирования, основанном на -приближении. Предположим, что гравитация связана с типами материальных полей с гравитационной константой порядка Для больших доминирующие диаграммы для полного пропагатора состоят из цепочки петель типа собственной энергии, каждая цепочка построена из одной петли линий материи и связана с голым гравитонным пропагатором. (Два множителя вводимые связыванием гравитона с каждой петлей материи, сокращаются с множителем от суммы всех типов полей в петле материи, поэтому эти диаграммы имеют нулевой

порядок по 1/N). Материально-петлевые графики логарифмически расходятся, поэтому, чтобы сократить эти расходимости, мы должны добавить в лагранжиан члены, пропорциональные и квадратичные части этих членов должны быть просуммированы вместе с петлевыми членами для материи во всех порядках. Когда это сделано, член в гравитонном пропагаторе оказывается замененным на [91]

где — безразмерная постоянная и — точка перенормировки, которая определяет значения и Пропагатор убывает достаточно быстро при так что не появляется никаких новых ультрафиолетовых расходимостей в графиках высшего порядка по Однако пропагатор (4) теперь имеет особенность при комплексных значениях Это, несомненно, нарушает наши обычные представления об аналитичности, хотя не ясно, до какой степени комплексные особенности такого сорта неизбежно ведут к конфликту с фундаментальными физическими принципами [92].

в. Составные гравитоны

Не существует никакой перенормируемой теории -резонансного поля, но это никого не беспокоит: -резонанс считается трехкварковым связанным состоянием, возникающим в перенормируемой теории сильного взаимодействия, известной как квантовая хромодинамика. Аналогичным образом гравитон может быть составной частицей нулевой массы и спина два, который возникает в некоторой перенормируемой квантовой теории поля.

Если гравитон есть просто связанное состояние, то почему он должен описываться теорией, которая является столь изысканно геометрической, как общая теория относительности? Возможный ответ может быть найден в рамках специальной теории относительности и квантовой механики в плоском пространстве. Очень трудно включить безмассовые частицы спина два в лоренц-инвариантную квантовую теорию дальнодействующих сил; необходимо связать такую частицу с сохраняющимся тензором энергии-импульса, который включает сами гравитоны. Фактически было показано [93], что безмассовые частицы спина два должны описываться эффективной полевой теорией, удовлетворяющей принципу эквивалентности. В той степени, в которой мы интересуемся только проявлениями

гравитации на больших расстояниях, единственная такая теория — это общая теория относительности.

Разъясняющий пример таких эффективных полевых теорий дается теорией мягких пионов, известной как киральная динамика. В пределе стремящихся к нулю масс и -кварков из квантовой хромодинамики следует, что сильные взаимодействия обладают глобальной симметрией, киральной Эта симметрия спонтанно нарушается, давая безмассовый бозон Голдстоуна — пион. Даже если пион состоит из пары кварк — антикварк, его взаимодействия описываются эффективной полевой теорией [99—103], в которой пион представлен полем , преобразующимся согласно нелинейной трехмерной реализации При одном удобном определении пионного поля лагранжиан киральной динамики принимает вид

где — «ковариантная производная»,

причем МэВ и — постоянные, значения которых должны быть взяты из эксперимента. Предположим, что мы используем эту теорию, чтобы вычислить какую-нибудь из инвариантных амплитуд для пион-пионного рассеяния при фиксированном угле и энергии Е. Для достаточно малых матричный элемент дается членом первого порядка в квадратичной части первого члена в (5), поэтому следующем порядке по мы должны учесть однопетлевые графики, построенные из первого члена в (5), и эффекты первого порядка от второго члена в (5). Однопетлевые графики, конечно, расходятся, но расходимость может быть включена в перенормировку давая в итоге матричный элемент.

Здесь и с — известные безразмерные величины, которые зависят от переменных угла и изоспина; — перенормированное значение — единица массы, используемая в определении Даже если эффективная теория является неперенормируемой и в принципе включает бесконечное число неизвестных параметров,

мы можем вычислить члены в пион-пионном рассеянии в терминах единственной константы

Почти таким же образом независимо от того, является ли гравитон связанной частицей, требования лоренц-инвариантности и квантовой механики заставляют эффективный гравитационный лагранжиан принять вид [93]

а лагранжиан материи должен зависеть от таким образом, чтобы быть общековариантным. Его можно использовать, чтобы построить ряд теории возмущений по степеням или (где Е и — энергия и длина, которые характерны для изучаемого процесса), поэтому в качестве невозмущенного лагранжиана следует принять квадратичную часть одного только первого члена Поскольку квадратичные части второго и третьего членов должны здесь рассматриваться как возмущения более высокого порядка, мы не встретимся с нефизическими особенностями, обсуждавшимися в разд. 2,6. В разд. 4 будет показано, что полный эйнштейновский член может быть использован в древесном приближении, чтобы вычислить ведущие члены во всех многогравитонных функциях Грина, и может даже быть использован в однопетлевом приближении для расчета квантовых поправок относительного порядка или

Главное возражение против того, чтобы рассматривать гравитон как составную частицу, состоит просто в том, что не ясно, почему связанное состояние спина два должно иметь точно нулевую массу. Вероятно, это можно было бы понять либо динамически, либо в терминах суперсимметрии (см. сноску 2 на с. 411), включающей гравитон в мультиплет с другими составными частицами, которые должны быть безмассовыми вследствие киральной или иной симметрии. Тем не менее это обсуждение показывает, что если мы хотим лишь изучить низкоэнергетические или дальнодействующие свойства пионов или гравитонов, то нет необходимости знать что-нибудь о механизме, которым связываются эти частицы, или даже о том, являются ли вообще пионы и гравитоны составными частицами. В разд. 4 будет дано несколько более систематическое рассмотрение низкочастотного предела квантовых теорий гравитации, не требующее обсуждения вопроса о том, составными или элементарными частицами являются гравитоны.