6. ГРАВИТАЦИЯ В 2+е-ИЗМЕРЕНИЯХ

Вернемся наконец к гравитации. Мы хотим знать, можно ли требовать, чтобы квантовая теория гравитации была асимптотически безопасной, и сколько свободных параметров имелось бы в такой теории. Это зависит от того, существует ли фиксированная точка и от размерности ее критической поверхности.

Чтобы подойти к этому вопросу, мы используем метод продолжения по размерности, обсуждавшийся в предыдущем разделе. В двух измерениях существует единственная, строго перенормируемая теория чистой гравитации, основанная на эйнштейновском лагранжиане (Интеграл является безразмерным в двумерном пространстве, так что величина должна быть безразмерной, чтобы действие не было размерным.) Теория остается перенормируемой, если мы добавляем к гравитации материальные поля с минимальной связью, хотя в таком случае может оказаться необходимым добавить связи материальных полей друг с другом.

Конечно, общая теория относительности отнюдь не является теорией в двух измерениях. Лагранжиан есть полная производная для и вследствие этого левая часть полевых уравнений Эйнштейна обращается в нуль тождественно (см., например, [20]). Это создает проблему при использовании метода размерной регуляризации. Предположим, что когда мы вычисляем инвариантные амплитуды в -измерениях, мы находим, что какая-то инвариантная амплитуда имеет полюс при и что для того, чтобы аннулировать этот полюс, мы должны добавить к лагранжиану член, пропорциональный Можем ли мы игнорировать такие контрчлены на основании того, что обращается в нуль при Ответ оказывается отрицательным [155]: если мы не включили контрчлен, пропорциональный туда, где нужно аннулировать полюсы в инвариантных амплитудах при то функции Грина, которые мы вычисляем, могли бы оказаться конечными при но они не будут аналитическими функциями в при в -измерениях, как предполагалось в формулировании продолжения по размерности ренорм-группы. В таком случае мы

приходим к выводу, что гравитационная константа связи, которая появляется в эйнштейновском лагранжиане подлежит перенормировке в -измерениях даже для Позднее мы вернемся к вопросу о том, является ли существенной связью, которую нельзя изменить подходящим переопределением полей.

Неперенормированная гравитационная постоянная в -измерениях имеет размерность поэтому в обозначениях разд. 5 Структура особенности при создается здесь соотношением (36) в виде

Кроме того, (38) и (42) дают уравнение ренорм-группы для конечного значения

где

Для малых мы ожидаем, что

так что (70) дает

Ключевой вопрос состоит в том, является ли положительной величиной; и тогда существует фиксированная точка

и, как показано в разд. 5, она имеет ультрафиолетовую критическую поверхность конечной размерности.

Вычисление было выполнено в ряде конкретных случаев несколькими различными группами. Их результаты, полученные к можно обобщить в виде утверждения, что особенности во всех чисто гравитационных функциях Грина в -измерениях при погашаются в однопетлевом порядке, если мы предположим, что голая гравитационная постоянная имеет полюс

где

Четыре члена возникают здесь из однопетлевых диаграмм, внутренние линии которых являются соответственно либо гравитонными линиями, либо материальными линиями спина или 0;

число действительных векторных и скалярных полей, число майорановских фермионных полей. Поэтому на первый взгляд кажется, что , следовательно, общая теория относительности является асимптотически безопасной в -измерениях при условии, что имеется достаточно калибровочных полей, чтобы сбалансировать любые скалярные или фермионные поля.

Однако прежде чем сделать какое-либо заключение, мы должны обратить особое внимание на физическую интерпретацию соотношения (75). В чистой общей теории относительности след вакуумных полевых уравнений Эйнштейна дает для любой пространственно-временной размерности, поэтому, как объяснено в разд. 3, коэффициент этого лагранжиана не является существенной связью, и нет никакой причины, по которой надо было бы требовать достижения фиксированной точки при То же самое верно, если мы добавляем к теории любое число «фотонных» полей с чисто гравитационными взаимодействиями; в этом случае полевые уравнения Эйнштейна дают член пропорциональный но уравнения Максвелла позволяют нам переписать это в виде полной производной поэтому здесь оказывается полной производной и снова не является существенной связью. (Простейшая теория, которая перенормируема в двух измерениях и которая действительно имеет существенные связи, — это теория Эйнштейна — Янга — Миллса [160]. В этом случае скорости реакций зависят от единственной существенной связи где — калибровочная константа связи. Однако эта величина является безразмерной для всех и поэтому удовлетворяет тривиальному ренорм-групповому уравнению

Недавно новую интерпретацию этих вычислений предложили Гастманс, Каллош и Труффин [161] (см. также [127]) (ГКТ). Их исходный пункт состоит в пересмотре структуры лагранжиана общей теории относительности. Гиббонс и Хокинг [162, 163] подчеркивали, что, применяя функциональный формализм к общей теории относительности, мы используем в действительности не эйнштейновский лагранжиан а скорее

где Ф — полная производная, составленная так, чтобы 3 0 была функцией только от и ее первых производных:

Конечно, добавление полной производной не играет роли, если мы

ограничиваем наше внимание метриками, которые достаточно быстро убывают при но в функциональной формулировке квантовой гравитации мы должны суммировать по всем метрикам в евклидовом пространстве-времени, и наличие Ф делает важным вклад в действие для некоторых из этих метрик, таких, как евклидова метрика Шварцшильда.

Теперь, когда мы вычислили однопетлевые диаграммы в -измерениях, можно ожидать найти полюсы при которые требуют независимых контрчленов, пропорциональных как так и Ф. ГКТ доказывают, что поэтому лагранжиан должен записываться в таком случае в виде суммы двух независимых членов:

Используя след полевых уравнений Эйнштейна, мы можем выразить в терминах материальных полей, так что его коэффициент не является независимой существенной связью. Однако гравитационная связь появляется в коэффициенте отличного от него члена который не задается полевыми уравнениями в терминах материальных полей, поэтому есть независимая существенная связь. Другими словами, более ранние вычисления [156— 159] дали правильные контрчлены в однако физически интересной существенной связью является и ее контрчлены должны быть вычислены заново.

ГКТ вычислили полюсы в требуемые для компенсации полюсов в гравитационных функциях Грина в теории с и действительными скалярными и векторными полями и и майорановскими полями спинов . Их результаты можно суммировать как утверждение, что должна иметь полюс (74), где теперь определяется так:

причем первый член появляется из гравитонных петель. Недавно Кристенсен и Дафф [166] (КД) выполнили вычисление в том же направлении и нашли формулу для с другими фермионными вкладами:

В этом и другом случае существует асимптотически безопасная теория чистой гравитации в -измерениях с одномерной критической поверхностью. Асимптотическая безопасность сохраняется также, когда мы добавляем материальные поля, при условии что мы добавляем поля спина или (КД), чтобы сбалансировать вклады полей спинов нуль и или и при условии

также, что связи материальных полей между собой не создают проблем.

Можно заметить, что выражения (79) или (80) и (75) дают одинаковые результаты для вклада в скалярных частиц, так что в этом случае более ранние вычисления [156—159] фактически дали контрчлены, пропорциональные а не Согласно и и новая характерная черта, вводимая различием между заключается в том, что вклад в частиц произвольного спина просто пропорционален числу степеней свободы их полей, но (согласно КД) с дополнительным знаком «минус» для фермионов. (Множитель , в (79) здесь вносит путаницу.) Например, симметричное бесшпуровое тензорное поле имеет независимых компонент, из которых исключается условием калибровки, определяющим устраняются произволом в выполнении дополнительных калибровочных преобразований где следовательно, число степеней свободы гравитационного поля в измерениях есть

Оно равно — 1 для поэтому вклад гравитона в должен быть равным и противоположным по знаку вкладу одной бесспиновой частицы. С другой стороны, векторное поле имеет компонент, одна из которых устраняется условием калибровки, определяющим а другая — произволом в выполнении дополнительных калибровочных преобразований где следовательно, число степеней свободы фотонного поля в измерениях есть Оно обращается в нуль при поэтому фотоны не дают вклада в

Поскольку вычисление вклада скалярных полей в очевидно, не создает проблем, связанных с различием между , и поскольку этот вклад устанавливает масштаб для вкладов частиц не нулевого спина, интересно было бы провести несколько более подробное вычисление этой величины. Расчет, основанный на методах [76 , 77], представлен в приложении.

Интересно применить эти результаты к расширенным теориям супергравитации 1), в которых гравитон появляется в мультиплете с полями более низкого спина. В четырехмерной теории с генераторами суперсимметрии гравитон спиральности будет появляться в мультиплете с безмассовыми частицами спиральности где и имеется отдельный мультиплет, содержащий — -гравитон и безмассовых частиц спиральности Для существует единственный мультиплет, содержащий гравитоны спиральности ±2 и безмассовых частиц спиральности Мы предполагаем, что для произвольной

пространственно-временной размерности число полей данного спина равно числу полей этого спина в четырех измерениях и, следовательно, числу состояний в четырех измерениях со спиральностью но не обеих сразу), даже если суперсимметрия фактически присутствует только для четырех измерений. Числа полей спина в -расширенной супергравитации представлены в табл. 1 вместе со значениями полученными из (79) или (80). Согласно ГКТ-результатам, для чистой супергравитации а также для -расширенной супергравитации с Однако если результаты КД справедливы, то требуется двухпетлевой расчет для того, чтобы решить вопрос об асимптотической безопасности в чистой супергравитации, хотя мы всегда будем иметь для если добавить достаточно «векторных» супермультиплетов со спинами 1 и Согласно КД-результату, оказывается невозможным иметь в О (-расширенной супергравитации с независимо от того, добавляем ли мы дополнительные материальные супермультиплеты.

Таблица 1 (см. скан) Числа типов полей и значения в расширенных суперсимметричиых теориях с генераторами суперсимметрии

Практически важным здесь является вопрос о продолжении на четыре измерения. В этом вопросе формализм размерной регуляризации в -измерениях может несколько вводить в заблуждение. Верно, что асимптотически безопасная теория гравитации в этом формализме основывается на лагранжианах, которые должны быть перенормируемыми в двух измерениях, и эти лагранжианы не содержат каких-либо контрчленов, которые компенсировали бы полюсы в фейнмановских диаграммах при пространственно-временной размерности Однако наличие этих полюсов указывает, что разложение в ряд теории возмущений по степеням потеряет смысл задолго до того, как мы достигнем

Более благоприятная картина возможностей продолжения от к четырем измерениям может быть получена в обычной пере-нормировочной схеме, с которой мы начинали в разд. 3. В этом формализме интегралы регулируются некоторой процедурой ультрафиолетового обрезания Л, и зависимость от обрезания при устраняется сокращением с контрчленами, которые дают неперенормированные константы связи. Имеется бесконечное число контрчленов, возникающих при и такая теория гравитации не может называться перенормируемой в обычном смысле, однако не имеется также никаких новых особенностей, появляющихся при приближении к четырем. Один результат метода размерной регуляризации, который может быть прямо перенесен в обычную перенормировочную схему, заключается в том, что в -изме-рениях для достаточно малого существует фиксированная точка с ультрафиолетовой критической поверхностью конечной размерности.

БЛАГОДАРНОСТИ

Мне приятно поблагодарить С. Коулмена, С. Дезера и М. Дж. Даффа за их частую и полезную помощь в подготовке этой статьи. Я также признателен Л. Брауну, С. Кристенсену, Дж. К. Коллинзу, Б. Де Витту, Е. С. Фрадкину, Г. т’Хофту, Б. Ли, П. Мартину, Д. Нельсону, А. Саламу, X. Шнитцеру, Л. Смоллину, X. С. Цао, П. ван Ньювенхьюзену, К. Вильсону, Е. Виттену и Б. Зумино за информативные обсуждения различных конкретных проблем.