Главная > Общая теория относительности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

VII. ИНТЕГРАЛЫ ПО ТРАЕКТОРИЯМ В ПРИЛОЖЕНИИ К КВАНТОВОЙ ГРАВИТАЦИИ

С. Хокинг

1. ВВЕДЕНИЕ

Классическая общая теория относительности — вполне закон ченная теория. Она дает не только уравнения, которым подчиняется гравитационное поле, но и уравнения движения тел под действием этого поля. Однако есть два обстоятельства, которые не позволяют ей дать удовлетворительное во всех отношениях описание наблюдаемой вселенной. Во-первых, она трактует гравитационное поле как чисто классическое, в то время как все другие поля, по-видимому, квантованные. Во-вторых, из ряда теорем (см. [311) следует, что общая теория относительности неизбежно ведет к сингулярностям пространства-времени. Как предсказывает эта теория, сингулярности имеют место в начале нынешнего расширения вселенной («большой взрыв») и при коллапсе звезд с образованием черных дыр. Вблизи этих сингулярностей классическая общая теория относительности полностью теряет силу или становится неполной, поскольку она не может предсказать, что именно должно поступать из сингулярности (иными словами, она не обеспечивает для уравнений поля краевые условия в сингулярных точках). По обеим упомянутым причинам было бы желательно построить квантовую теорию гравитации. Какого-либо рецепта вывода такой теории из классической общей теории относительности нет. Приходится, прибегая к интуиции и общим соображениям, строить теорию, которая была бы полна, самосогласованна и находилась бы в согласии с классической теорией относительности для макроскопических тел и при малой кривизне пространства-времени. Нужно сразу сказать, что пока не существует теории, которая удовлетворяла бы указанным трем критериям, особенно первому и второму. Но получен ряд частных результатов, которые столь убедительны, что трудно себе представить, чтобы они не были частью окончательной полной картины. Эти результаты относятся к связи между черными дырами и термодинамикой. (Такая связь обсуждается, например, в обзорных статьях Картера [481 и Гиббонса [49].) В настоящей статье будет показано, как это соответствие между гравитацией и термодинамикой проявляется при квантовании самого гравитационного поля.

Имеются три основных подхода к квантованию гравитации.

I. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД

В этом подходе в классических уравнениях Эйнштейна метрика заменяется оператором в некотором гильбертовом пространстве со значениями в пространстве обобщенных функций. Однако эта процедура не представляется особенно подходящей в применении к теории, подобной теории гравитации, где полевые уравнения не полиномиальны. Довольно трудно придать смысл даже произведению полевых операторов в одной и той же точке пространства-времени, не говоря уж о неполнномиальной функции вроде обращения метрики или квадратного корня из ее определителя.

II. КАНОНИЧЕСКИЙ ПОДХОД

В этом подходе вводится семейство пространственноподобных поверхностей, которое используется для построения гамильтониана и канонических коммутационных соотношений в один и тот же момент времени. Ряд авторов отдает предпочтение этому подходу, поскольку он, по-видимому, применим к сильным гравитационным полям и, как представляется, обеспечивает унитарность. Но расщепление на три пространственных измерения и одно время, по-видимому, противоречит самому духу теории относительности. Более того, оно ограничивает топологию пространства-времени произведением действительной прямой на некоторое трехмерное многообразие, в то время как надо ожидать, что квантовая гравитация будет допускать все возможные топологии пространства-времени, включая и те, которые не являются прямыми произведениями. Как раз такие топологии, по-видимому, и приводят к наиболее интересным эффектам. Имеется также проблема смысла одновременных коммутационных соотношений. Последние корректно определены для материальных полей при фиксированной геометрии пространства-времени, но какой смысл говорить, что две точки пространственноподобно разделены, если геометрия квантована и подчиняется принципу неопределенности?

По этим причинам я предпочитаю третий подход.

III. ПОДХОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИНТЕГРИРОВАНИИ ПО ТРАЕКТОРИЯМ

Этот подход связан с рядом трудностей и нерешенных проблем, но он, по-видимому, подает наибольшие надежды. Отправной точкой для этого подхода служит идея Фейнмана, согласно которой амплитуду

перехода от состояния с метрикой и материальными полями на поверхности к состоянию с метрикой и материальными полями на поверхности можно представить как сумму по всем конфигурациям полей и Ф, которые принимают данные

значения на поверхностях Точнее

где — некоторая мера в пространстве всех конфигураций полей и — действие для этих полей и интеграл берется по всем полям, которые имеют заданные значения

Рис. I. Амплитуда перехода от метрики и материальных полей на поверхности к метрике и материальным полям на поверхности определяется интегралом по траектории по всем полям которые имеют данные значения на

Здесь неявно предполагается одно из двух: либо поверхности и область между ними компактны («замкнутая» вселенная), либо гравитационное и материальные поля спадают некоторым подходящим образом на пространственной бесконечности (асимптотически плоское пространство). Чтобы последнему случаю придать более точный смысл, нужно соединить поверхности времениподобной трубкой большого радиуса так, чтобы эта граница и область внутри ее были компактны, как в случае замкнутой вселенной. Как будет показано в следующем разделе, поверхность на бесконечности играет важную роль из-за присутствия поверхностного члена в гравитационном действии.

Не все компоненты метрик на границе имеют физический смысл, поскольку компонентам можно придать произвольные значения диффеоморфизмами или калибровочными преобразованиями, которые сдвигают точки внутри области М, но оставляют неизменной границу Таким образом, нужно только задать индуцированную трехмерную метрику на и лишь с точностью до диффеоморфизмов, отображающих границу на себя.

В последующих разделах будет показано, как подход, основанный на таком интеграле по траекториям, может быть применен к квантованию гравитации и как он ведет к понятиям температуры черной дыры и квантовомеханической внутренней энтропии.

1
Оглавление
email@scask.ru