VII. ИНТЕГРАЛЫ ПО ТРАЕКТОРИЯМ В ПРИЛОЖЕНИИ К КВАНТОВОЙ ГРАВИТАЦИИ

С. Хокинг

1. ВВЕДЕНИЕ

Классическая общая теория относительности — вполне закон ченная теория. Она дает не только уравнения, которым подчиняется гравитационное поле, но и уравнения движения тел под действием этого поля. Однако есть два обстоятельства, которые не позволяют ей дать удовлетворительное во всех отношениях описание наблюдаемой вселенной. Во-первых, она трактует гравитационное поле как чисто классическое, в то время как все другие поля, по-видимому, квантованные. Во-вторых, из ряда теорем (см. [311) следует, что общая теория относительности неизбежно ведет к сингулярностям пространства-времени. Как предсказывает эта теория, сингулярности имеют место в начале нынешнего расширения вселенной («большой взрыв») и при коллапсе звезд с образованием черных дыр. Вблизи этих сингулярностей классическая общая теория относительности полностью теряет силу или становится неполной, поскольку она не может предсказать, что именно должно поступать из сингулярности (иными словами, она не обеспечивает для уравнений поля краевые условия в сингулярных точках). По обеим упомянутым причинам было бы желательно построить квантовую теорию гравитации. Какого-либо рецепта вывода такой теории из классической общей теории относительности нет. Приходится, прибегая к интуиции и общим соображениям, строить теорию, которая была бы полна, самосогласованна и находилась бы в согласии с классической теорией относительности для макроскопических тел и при малой кривизне пространства-времени. Нужно сразу сказать, что пока не существует теории, которая удовлетворяла бы указанным трем критериям, особенно первому и второму. Но получен ряд частных результатов, которые столь убедительны, что трудно себе представить, чтобы они не были частью окончательной полной картины. Эти результаты относятся к связи между черными дырами и термодинамикой. (Такая связь обсуждается, например, в обзорных статьях Картера [481 и Гиббонса [49].) В настоящей статье будет показано, как это соответствие между гравитацией и термодинамикой проявляется при квантовании самого гравитационного поля.

Имеются три основных подхода к квантованию гравитации.

I. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД

В этом подходе в классических уравнениях Эйнштейна метрика заменяется оператором в некотором гильбертовом пространстве со значениями в пространстве обобщенных функций. Однако эта процедура не представляется особенно подходящей в применении к теории, подобной теории гравитации, где полевые уравнения не полиномиальны. Довольно трудно придать смысл даже произведению полевых операторов в одной и той же точке пространства-времени, не говоря уж о неполнномиальной функции вроде обращения метрики или квадратного корня из ее определителя.

II. КАНОНИЧЕСКИЙ ПОДХОД

В этом подходе вводится семейство пространственноподобных поверхностей, которое используется для построения гамильтониана и канонических коммутационных соотношений в один и тот же момент времени. Ряд авторов отдает предпочтение этому подходу, поскольку он, по-видимому, применим к сильным гравитационным полям и, как представляется, обеспечивает унитарность. Но расщепление на три пространственных измерения и одно время, по-видимому, противоречит самому духу теории относительности. Более того, оно ограничивает топологию пространства-времени произведением действительной прямой на некоторое трехмерное многообразие, в то время как надо ожидать, что квантовая гравитация будет допускать все возможные топологии пространства-времени, включая и те, которые не являются прямыми произведениями. Как раз такие топологии, по-видимому, и приводят к наиболее интересным эффектам. Имеется также проблема смысла одновременных коммутационных соотношений. Последние корректно определены для материальных полей при фиксированной геометрии пространства-времени, но какой смысл говорить, что две точки пространственноподобно разделены, если геометрия квантована и подчиняется принципу неопределенности?

По этим причинам я предпочитаю третий подход.

III. ПОДХОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИНТЕГРИРОВАНИИ ПО ТРАЕКТОРИЯМ

Этот подход связан с рядом трудностей и нерешенных проблем, но он, по-видимому, подает наибольшие надежды. Отправной точкой для этого подхода служит идея Фейнмана, согласно которой амплитуду

перехода от состояния с метрикой и материальными полями на поверхности к состоянию с метрикой и материальными полями на поверхности можно представить как сумму по всем конфигурациям полей и Ф, которые принимают данные

значения на поверхностях Точнее

где — некоторая мера в пространстве всех конфигураций полей и — действие для этих полей и интеграл берется по всем полям, которые имеют заданные значения

Рис. I. Амплитуда перехода от метрики и материальных полей на поверхности к метрике и материальным полям на поверхности определяется интегралом по траектории по всем полям которые имеют данные значения на

Здесь неявно предполагается одно из двух: либо поверхности и область между ними компактны («замкнутая» вселенная), либо гравитационное и материальные поля спадают некоторым подходящим образом на пространственной бесконечности (асимптотически плоское пространство). Чтобы последнему случаю придать более точный смысл, нужно соединить поверхности времениподобной трубкой большого радиуса так, чтобы эта граница и область внутри ее были компактны, как в случае замкнутой вселенной. Как будет показано в следующем разделе, поверхность на бесконечности играет важную роль из-за присутствия поверхностного члена в гравитационном действии.

Не все компоненты метрик на границе имеют физический смысл, поскольку компонентам можно придать произвольные значения диффеоморфизмами или калибровочными преобразованиями, которые сдвигают точки внутри области М, но оставляют неизменной границу Таким образом, нужно только задать индуцированную трехмерную метрику на и лишь с точностью до диффеоморфизмов, отображающих границу на себя.

В последующих разделах будет показано, как подход, основанный на таком интеграле по траекториям, может быть применен к квантованию гравитации и как он ведет к понятиям температуры черной дыры и квантовомеханической внутренней энтропии.