2.2. ГРАНИЦЫ С КРИВИЗНОЙ; УСКОРЕНИЕ

При анализе эффекта Казимира были введены два неполных многообразия — полупространство и зазор. Границы (края) этих многообразий плоские. Что получится, если границы искривлены? Рассмотрим сначала случай, когда граница состоит из двух непараллельных плоских проводников, соединенных по линии пересечения. Можно считать, что кривизна сосредоточена на этой линии. Как всегда, для построения функции Грина в нашем распоряжении имеется метод изображений. Оказывается, что перенормированное зависит от угла пересечения и изменяется как четвертая степень обратного расстояния от линии пересечения [28]. В более общем случае имеет такое поведение вблизи линии пересечения каждого двухгранного угла любой многогранной граничной поверхности.

Поверхность искривленного проводника может рассматриваться как предел последовательности многогранных поверхностей, и может быть аппроксимировано путем перехода к такому пределу. Дойч сумел показать, что вблизи проводника пропорционально сумме двух обратных главных радиусов кривизны и изменяется по закону обратного куба расстояния от проводника. По мере приближения к проводнику плотность энергии в эфире стремится к на вогнутой стороне и к на выпуклой стороне.

Изменение по закону обратного куба расстояния фактически говорит о том, что приближение идеального проводника теряет силу. Из этого закона следует не только обращение в бесконечность на вогнутой стороне и на выпуклой стороне) энергии в эфире на единицу площади проводника, но также и бесконечные значения испытываемых проводником напряжений. Проводник не остается идеальным при произвольно высоких частотах фотонов. Немедленно вступает в игру эффективное энергетическое обрезание или глубина скин-слоя, зависящие от конкретного атомного строения проводника. Это согласуется с результатами Казимира, полученными при изучении сил Ван-дер-Ваальса. Те члены в энергии взаимодействия, которые зависят от кривизны молекулярной поверхности, зависят также от конкретного молекулярного строения, т. е. от таких фундаментальных постоянных, как ей т.

В приведенных примерах предполагается, что проводящие поверхности покоятся или движутся равномерно. Поэтому кривизна границы в соответствующих неполных многообразиях является чисто пространственной. Если проводнику сообщено ускорение, то граница многообразия обладает также кривизной во времени. Особенно простым примером может служить случай, когда бесконечному плоскому проводнику сообщается ускорение, перпендикулярное его поверхности. Если ускорение меняется со временем, то проводник, вообще говоря, излучает или поглощает фотоны, т. е. обменивается энергией с эфиром, но если ускорение постоянно, то на вогнутой стороне поверхности может установиться равновесие (ускорение происходит в направлении неполного многообразия). Причина здесь в том, что на вогнутой стороне может быть введено времениподобное векторное поле Киллинга, по отношению к которому проводник покоится. Во всех предыдущих примерах существует по крайней мере одно геодезическое времениподобное векторное поле Киллинга, и неявно подразумевается, что «вакуум» определен относительно этого поля через стандартное разложение на положительные и отрицательные частоты. Но геодезический характер этого поля не существен. Разбиение на положительно- и отрицательно-частотные части и соответствующее определение вакуума можно осуществить относительно любого

времениподобного векторного поля Киллинга независимо от того, геодезическое оно или нет.

В случае плоского проводника, которому сообщено постоянное ускорение, этот вакуум обладает некоторыми замечательными свойствами. Пусть — ускорение проводника и — пространственно-временная точка на расстоянии от нее. Кандела и Дойч [11] показали, что для значений малых по сравнению с перенормированный тензор натяжений в точке рассматриваемый в локальной системе покоя относительно векторного поля Киллинга, меняется как т. е. точно так же, как вблизи неускоренного искривленного проводника. Действительно, если 1 играет роль радиуса кривизны, то формулы для обоих этих случаев одинаковы: совпадает все — и числовые коэффициенты, и знаки. В частности, локальная плотность энергии отрицательна.

Вид, который принимает при еще более примечателен. Он совпадает, но с обратным знаком с тем, что было бы, если бы эфир представлял собой фотонный газ в тепловом равновесии. Локальная температура меняется стандартным релятивистским образом: как обратная длина локального вектора Киллинга. В рассматриваемом случае это означает, что температура пропорциональна локальному ускорению. В единицах, в которых коэффициент пропорциональности оказывается равным

Математический анализ этой системы упрощается, если ускорение устремить к бесконечности. При этом удобно ввести «координаты Риндлера» , связанные с координатами Минковского равенствами [63]

Здесь ускорение (вектора Киллинга ) происходит в направлении оси и имеет локальное значение а на гиперповерхности повсюду вне ее. Проводник перемещен к краю многообразия (где его присутствие фактически несущественно). Это многообразие известно как «клин» Риндлера и охватывает область

Локальная температура эквивалентного фотонного газа по всему клину Риндлера теперь дается формулой Это означает, что в локальной системе покоя относительно тензор натяжений меняется как четвертая степень обратного расстояния от острия клина. Это можно сравнить с поведением вблизи линии пересечения двух проводящих плоскостей. Но теперь мы сталкиваемся с понятием температуры смысл которого еще нужно уяснить. Кроме того, необходимо ответить также на следующий вопрос: как нужно понимать отрицательность плотности энергии?

Дело выглядит так, словно основное состояние клина Риндлера (так называемый вакуум Риндлера) каким-то образом находится ниже абсолютного нуля температуры! Для того чтобы привести энергию состояния к энергии вакуума Минковского, необходимо

добавить фотоны, и эти фотоны должны иметь тепловое распределение.

Как ни удивительна такая интерпретация, она все-таки верна. Этот и многие другие примеры, найденные за последние несколько лет, привели к важным изменениям в наших представлениях о «частицах» и о способах определения их и связанных с ними вакуумных состояний. Как это было ранее с теорией относительности и с квантовой теорией, мы оказались вынужденными обратиться к операционным определениям. В нашем случае мы должны задаться вопросом: каким был бы отклик детектора частиц в данной ситуации?

Чтобы увидеть, как ответ на этот вопрос разрешает загадку с отрицательной энергией, рассмотрим сначала детектор частиц в обычном пространстве-времени Минковского (без проводников). Пусть для простоты электромагнитное поле заменено безмассовым скалярным полем Ф, и пусть взаимодействие между детектором и полем простого монопольного типа и описывается лагранжианом вида

Здесь функции определяют мировую линию детектора (идеализируемого в виде точечного объекта), а оператор определяет его монопольный момент в момент собственного времени т. Допустим, что детектор обладает набором внутренних энергетических собственных состояний, описываемых векторами причем соответствует основному состоянию. Отклик детектора тогда будет связан с матричными элементами

Предположим, что детектор вначале находится в своем основном состоянии, а поле — в состоянии, описываемом символом Тогда амплитуда того, что эта сложная система перейдет из состояния в состояние ), определяется формулой

где Т — оператор хронологического упорядочения. Если и (перенормированный) монопольный момент настолько мал, что радиационными поправками к лагранжиану взаимодействия можно пренебречь, то эта амплитуда адекватно определяется первым

порядком теории возмущений:

Полная вероятность того, что детектор перейдет в возбужденное состояние с энергией Е, тогда равна

Мы видим, что отклик детектора зависит от матричного элемента монопольного момента и от фурье-образа (вдоль мировой линии) функции Вайтмана для поля.

Если поле находится в стандартном вакуумном состоянии пространства Минковского, а детектор движется вдоль геодезической мировой линии, то в функции Вайтмана имеются только положительные частоты, фурье-образ ее в формуле (12) равен нулю и детектор остается в своем основном состоянии Если детектор испытывает ускорение, то вообще говоря, уже не равно нулю; статистически предсказуемым образом происходят переходы в возбужденные состояния.

Обычно эти переходы не рассматриваются как сигналы о поглощении детектором фотонов, поскольку нет никаких фотонов (пространства Минковского), которые могли бы быть поглощены. Наоборот, считается, что детектор излучает фотоны. Если бы детектор был инертным, не обладал внутренними степенями свободы, то схема излучения фотона была бы такая же, как для заданного ускоренного источника. При наличии внутренних степеней свободы эта схема меняется: иногда излученный фотон мягче, чем он был бы при отсутствии у детектора внутренних степеней свободы. Детектор забирает часть его энергии и переходит в возбужденное состояние.

Когда детектор испытывает постоянное ускорение, возможна альтернативная точка зрения. Если ускорение равно а, то можно считать, что детектор движется вдоль линии в системе координат Риндлера (7). Граница клина Риндлерз является горизонтом для детектора. Для детектора этот клин является вселенной. В клине поле может быть в риндлеровском вакуумном состоянии. Тогда функция Вайтмана (12) содержит лишь положительные частоты по отношению к риндлеровскому времени т. Какие-либо «риндлеровские фотоны» отсутствуют, и детектор остается в основном состоянии.

Очевидно, что риндлеровские фотоны и фотоны пространства Минковского — не одно и то же. Равноускоренный детектор регистрирует риндлеровские фотоны, неускоренный — фотоны пространства Минковского. Оба вида фотонов вносят вклад в но они относятся к разным основным состояниям. Вакуум пространства Минковского заполнен риндлеровскими фотонами, хотя он лишен фотонов пространства Минковского. Энергия, которую несут эти риндлеровские фотоны, поднимает с отрицательного значения в риндлеровском вакууме к нулевому значению в вакууме Минковского.

Тепловой (отрицательный) характер в риндлеровском вакууме можно понять, исходя из того факта, что функция распределения риндлеровских фотонов в вакууме Минковского тепловая. Это можно продемонстрировать несколькими способами. Один способ — вычислить функцию Вайтмана (12) для случая равноускоренного движения в вакууме Минковского. Результат оказывается равным

По своей форме это функция Вайтмана для чистого состояния, однако можно показать, что она идентична функции Вайтмана для смешанного состояния где — матрица плотности, описывающая термостат из риндлеровских фотонов при температуре относительно мировых линий

где Н — риндлеровский гамильтониан относительно мировых линий

Другой способ продемонстрировать тепловой характер распределения риндлеровских фотонов, способ, который объясняет, каким образом чистое состояние может выглядеть как смешанное, состоит в том, чтобы ввести полный набор функций — риндлеровских мод не только в исходном клине Риндлера, но также и во всех остальных трех квадрантах Этот набор может быть использован для того, чтобы определить обобщенный риндлеровский вакуум и соответствующие риндлеровские фотоны во всех четырех квадрантах. Затем можно вычислить боголюбовские коэффициенты, связывающие риндлеровские базисные функции и базисные функции в пространстве Минковского, что позволяет непосредственно вычислить функцию распределения риндлеровских фотонов в вакууме Минковского во всех четырех квадрантах. Для боголюбовского разложения характерно, что каждый вакуум представим как некоторое распределение статистически независимых пар фотонов по отношению к другому вакууму.

Оказывается, что в данном случае, кроме того, что они имеют тепловое распределение, составляющие каждой риндлеровской пары соответствуют базисным функциям, имеющим непересекающиеся носители в пространстве-времени. Две составляющие одной пары никогда не находятся в одном и том же квадранте. Поэтому все риндлеровские фотоны в исходном клине Риндлера статистически независимы (некогерентны), а это означает, что вакуум Минковского локально идентичен риндлеровскому тепловому состоянию.