4.5. КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И АНОМАЛИЯ СЛЕДА

Функционально дифференцируя дифференциальное уравнение (39) и пользуясь представлением (59), можно показать, что

где получается из обычного выражения для тензора натяжений подстановкой вместо скалярного поля Ф. Используя (57), легко убедиться, что ковариантная дивергенция величины в фигурных скобках в (83) обращается в нуль и, следовательно, что, конечно, согласуется с (80). Столь же непосредственно можно получить (см. [8])

Если выражение (84) подставить в (79), (81) или (82), то мы получим, что при след перенормированного тензора натяжений в отличие от классического тензора натяжений при четных не обращается в нуль. Это явление известно как аномалия следа.

Аномалия следа в данной точке зависит от локальной геометрии в ней. В каждом случае ее можно вычислить с помощью выражения (84), а еще проще следующим образом. Заметим, что второе из уравнений (69) дает

откуда после дифференцирования по получаем

Заметим далее, что когда и определены через дзета-функцию, они отличаются друг от друга на величину, пропорциональную которая, как мы видели, конформно-инвариантна. Поэтому из (72) и (86) следует

В однопетлевом приближении скобки левой части выражения (87) можно убрать. Это следует (как можно увидеть, построив произвольное пространство Фока) из того факта, что матричные элементы следа между любыми двумя ортогональными состояниями обращаются в нуль. Поэтому след перенормированного оператора тензора натяжений будет с-числом (единичным оператором, умноженным на число).

В следующем разделе мы увидим, что в ряде важных случаев аномалии следа весьма просто полностью определяют тензор натяжений. К сожалению, в остальных случаях определение требует сложных вычислений, и оно может быть успешным лишь при условии, что имеется достаточно сведений относительно собственных функций оператора входящего в полевое уравнение. Более того, с этими собственными функциями еще требуется провести довольно сложные вычисления. Наивные суммы по модам, которые часто пишут для следует рассматривать с крайней осторожностью, так как они расходятся и должны быть видоизменены вычитаниями, относительно которых не всегда ясно, обеспечивают ли они выполнение условия (22). Эта трудность особенно велика при . В этом случае полезно иметь альтернативные суммы, которые уже правильно перенормированы. Примером такой суммы является следующее выражение, полученное подстановкой (83) в (81), представлением в виде суммы по и последующим интегрированием по частям:

пространство-время конформно-плоское или риччи-плоское). Это выражение, в котором явно выступает

аномалия следа, было проверено прямым вычислением в простых случаях, и есть основания считать, что оно будет полезно во многих более сложных ситуациях. При этом необходима осторожность: порядок суммирования и интегрирования нельзя менять.