Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬДопустим в порядке дискуссии, что ни один из подходов, упомянутых в предыдущем разделе, не может быть успешно применен к гравитации. Предположим, что никакое объединение гравитации с материальными полями не приводит к теории, которая является перенормируемой в обычном смысле, и что никакие перегруппировки в суммах не приводят к перенормированной теории возмущений, совместимой с унитарностью, а также что гравитон не может быть интерпретирован как составная частица, возникающая в перенормируемой теории поля, лежащей в ее основе. Если вообще гравитация должна описываться квантово-полевой теорией в плоском пространстве, то мы можем столкнуться с перспективой иметь дело с теорией, которая не является перенормируемой в обычном смысле. В данном разделе будет описываться обобщенный вариант условия перенормируемости, который все же мог бы быть применимым к гравитации в этом случае. В любой неперенормируемой теории ультрафиолетовые расходимости появляются во всех функциях Грина (и во всех порядках по их внешним импульсам), поэтому, чтобы обеспечить контрчлены для этих бесконечностей, мы должны включить в лагранжиан все возможные взаимодействия, допустимые симметриями теории. Следовательно, гравитационный лагранжиан должен был бы включать не только эйнштейновский член Можно было бы полагать, что включение членов, пропорциональных менее важным вопросом и фактически служит ключевым свойством, которое приводит нас к требованию асимптотической безопасности. Чтобы исследовать такие особенности, мы используем метод ренорм-группы. Пусть
Любой тип парциальной или полной скорости реакции
где
Таким образом, не считая тривиального масштабного фактора Здесь имеется техническая деталь, которая заслуживает некоторого пояснения. В набор параметров связи быть устранены из самих скоростей физических реакций путем выполнения соответствующего суммирования по определенным наборам начальных и конечных состояний [117—119]. В дальнейшем мы будем подразумевать, что это сделано. Мы делаем здесь акцент на скорости реакций, а не на функции Грина вне массовой поверхности, и это имеет очень важное преимущество. Матричные элементы на массовой поверхности и скорости реакций не зависят от того, как определяются поля, поэтому они являются функциями только «существенных» параметров связи, т. е. тех комбинаций параметров связи в лагранжиане, которые не меняются, когда мы подвергаем поля точечному преобразованию (как, например, (Имеется известный тест, который может быть использован для идентификации несущественных параметров связи в любой теории. Когда мы изменяем какой-нибудь неперенормированный параметр связи
Предположим, что мы пытаемся осуществить это изменение простым переопределением полей
Изменение, вносимое при этом в
Таким образом, изменение
Другими словами, параметр связи является несущественным, если и только если производной, когда мы используем уравнение Эйлера — Лагранжа
Например, в перенормируемой теории скалярного поля с лагранжианом
перенормировочная константа поля является несущественной связью, поскольку мы можем написать
и первый член обращается в нуль, когда мы используем полевое уравнение
С другой стороны, ни масса Как мы увидим, работая только с существенными связями, можно сформулировать условие асимптотической безопасности в сжатом виде. Кроме того, оно хорошо стыкуется с «методом фонового поля» [120—125], в котором перенормировка параметров связи устанавливается вычислением матричных элементов между Вернемся теперь к проблеме определения поведения существенных связей
Каждая отдельная теория характеризуется траекторией в пространстве константы связи, порождаемой решением (12) с заданными начальными условиями. Функция
а связи должны лежать на траектории (Между прочим, требование, чтобы параметры связи достигали фиксированной точки при
Вообще говоря, нет причины, по которой
Это вводит поправки к скейлингу в функциях Грина вне массовой поверхности. Однако скорости реакций не зависят от Мы не знаем на самом деле, что теория, которая не является асимптотически безопасной, будет иметь нефизические особенности — предположение асимптотической безопасности является как раз одним из способов обрести разумную уверенность в том, что нефизические особенности не появятся. В качестве примера того, что может случиться, когда теория является не асимптотически безопасной, рассмотрим образец дифференциального уравнения.
где
поэтому здесь критическая поверхность одномерна. Если
Мы видим, что в этом случае
и мы видим, что Конечно, вопрос о том, предвещает ли бесконечность в константах связи особенность в скоростях реакций, зависит от того, как определяются константы связи. Мы всегда могли бы принять необычное определение (например, константы связи как коэффициенты разложения в степенной ряд самих скоростей реакций около некоторой физической точки перенормировки. В наинизшем порядке теории возмущений эта процедура неотличима от обычной процедуры перенормировки, в которой Число свободных параметров в асимптотически безопасной теории равно просто размерности ультрафиолетовой критической поверхности. Если критическая поверхность бесконечномерна, то требование, чтобы физическая теория лежала на этой поверхности, оставляет нам бесконечное число неопределенных параметров, и мы мало чего достигаем. В другом пределе, если размерность критической поверхности нулевая, требование асимптотической безопасности не может быть удовлетворено вообще. Предположим, что размерность критической поверхности — некоторое конечное число С; в этом случае теория будет иметь С свободных параметров, из них Размерность критической поверхности можно определить, исходя из поведения функций
где
Общим решением является
где
В таком случае решающая проблема состоит в том, чтобы определить, сколько собственных значений В-матрицы являются отрицательными. Во всех случаях, которые мне известны, это число конечно. Это можно пояснить наводящими, хотя и весьма нестрогими соображениями. Вспомним, что
где
и
Тогда добавление к взаимодействию производных и степеней полей будет всегда понижать размерность Этот вывод в ряде случаев эмпирически подтверждается наблюдаемым существованием фазовых переходов второго рода. Фазовый переход второго рода будет, вообще говоря, происходить при значениях параметров теории, при которых стремятся к нулю массы или расходятся корреляционные длины, так что физические величины могут обнаруживать масштабно-инвариантное поведение при больших расстояниях или малых импульсах. Повторяя соображения, приведенные в этом разделе, мы видим, что такой скейлинг должен быть связан с фиксированной точкой Мы уже отмечали, что для конечномерной критической поверхности условие асимптотической безопасности действует весьма аналогично условию перенормируемости, ограничивая свободные параметры в физических теориях. Фактически теперь мы можем видеть, что связь между асимптотической безопасностью и перенормируемостью является даже более тесной. Любая теория всегда будет иметь фиксированную точку в начале,
Таким образом, чтобы траектория Строго говоря, перенормируемость может быть недостаточна. В-матрица для взаимодействия имели В некоторых случаях асимптотическая безопасность может вести к перенормируемости, даже если фиксированная точка имеется не при Проблема, перед которой ставит нас рассмотрение квантовой гравитации, состоит в том, что может не быть никаких теорий, которые являются перенормируемыми, оставаясь только асимптотически свободными. Поэтому мы должны искать другие фиксированные точки вдали от Почти такая же проблема возникла в теории критических явлений: несостоятельность обычной теории поля показала, что фазовые переходы не связаны с фиксированной точкой при нулевой связи, и возникла необходимость искать другие фиксированные точки. В этом случае проблема могла бы быть решена 1130, 131] продолжением по пространственной размерности системы, «е-расшире-нием». Поэтому представляется разумным попытаться рассмотреть продолжение по пространственно-временной размерности в исследуемой проблеме. Предположим, что мы могли бы найти некоторую размерность пространства-времени перенормируемая и асимптотически свободная теория гравитации. Как мы видели, это означало бы, что фиксированная точка при Этот подход уже применялся [132—135] к нелинейной При проведении вычислений очень полезно знать, что хотя а. Мы могли бы просто выбрать другой набор точек перенормировки, и в этом случае переопределенные масштабно параметры связи (9) стали бы функциями в. Мы можем использовать размерную регуляризацию [137 — 139], и в этом случае «перенормированные» связи могут быть приняты за постоянные члены в разложении неперенормированных связей
где в. Мы можем ввести обычное ультрафиолетовое обрезание при импульсе неперенормированных связей, причем выбрать зависимость обрезания таким образом, чтобы скорости реакций не зависели от обрезания. В этих или других случаях новые связи
Однако новые связи не зависят от того, как определены старые связи, поэтому они являются не зависящими от
Другими словами, мы можем определить новую ргфункцию
которая связана со старой
Мы видим, что существование фиксированной точки является инвариантным понятием: если
Но в фиксированной точке первый член обращается в нуль, поэтому новая
Это преобразование подобия, поэтому собственные значения В — те же самые, что и собственные значения В. (Эти собственные значения известны как критические экспоненты; они зависят только от типа степеней свободы системы, а не от каких-либо других физических переменных.) В частности, вопрос об асимптотической безопасности является вопросом, который может быть адресован к любому из формализмов «а», «б», «в», охарактеризованных выше, о уверенностью, что ответ будет тем же самым.
|
1 |
Оглавление
|