3. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ

Допустим в порядке дискуссии, что ни один из подходов, упомянутых в предыдущем разделе, не может быть успешно применен к гравитации. Предположим, что никакое объединение гравитации с материальными полями не приводит к теории, которая является перенормируемой в обычном смысле, и что никакие перегруппировки в суммах не приводят к перенормированной теории возмущений, совместимой с унитарностью, а также что гравитон не может быть интерпретирован как составная частица, возникающая в перенормируемой теории поля, лежащей в ее основе. Если вообще гравитация должна описываться квантово-полевой теорией в плоском пространстве, то мы можем столкнуться с перспективой иметь дело с теорией, которая не является перенормируемой в обычном смысле. В данном разделе будет описываться обобщенный вариант условия перенормируемости, который все же мог бы быть применимым к гравитации в этом случае.

В любой неперенормируемой теории ультрафиолетовые расходимости появляются во всех функциях Грина (и во всех порядках по их внешним импульсам), поэтому, чтобы обеспечить контрчлены для этих бесконечностей, мы должны включить в лагранжиан все возможные взаимодействия, допустимые симметриями теории. Следовательно, гравитационный лагранжиан должен был бы включать не только эйнштейновский член но также члены, пропорциональные и т.д., плюс члены, включающие произвольные степени материальных, а также гравитационных полей.

Можно было бы полагать, что включение членов, пропорциональных и приведет к нефизическим особенностям типа обсуждавшихся в разд. 2, б. Однако эти нефизические особенности не встречаются в теории возмущений, пока вклады этих взаимодействий, квадратичные по полям, суммируются во всех порядках, как в (2). Вообще говоря, это частичное суммирование не может быть оправдано — очевидные полюсы появляются для значений моментов порядка планковской массы но при таких моментах гравитация является столь сильной, что теория возмущений вообще перестает работать. Лагранжиан с членами не будет приводить к нефизическим особенностям при энергиях ГэВ, пока теория возмущений заслуживает доверия, но мы не можем использовать теорию возмущений, чтобы сказать, будут ли существовать нефизические особенности при энергиях порядка ГэВ в такой теории или даже в самой общей теории относительности. Вопрос о возможных нефизических особенностях при очень высоких энергиях является тем не

менее важным вопросом и фактически служит ключевым свойством, которое приводит нас к требованию асимптотической безопасности.

Чтобы исследовать такие особенности, мы используем метод ренорм-группы. Пусть означает полный набор всех перенормированных параметров связи теории, определенных в точке перенормировки при импульсах, характеризуемых энергетическим масштабом Если имеет размерность заменим ее на безразмерную связь

Любой тип парциальной или полной скорости реакции может быть записан в форме

где — обычная размерность (например, для полного поперечного сечения — некоторая энергия, характеризующая процесс; X символизирует все остальные безразмерные физические переменные, включая все отношения энергий. Основная идея метода ренорм-группы сводится к пониманию того, что физическая величина не может зависеть от произвольного выбора точки перенормировки в которой определяются связи, так что мы можем принять за в (10) любое другое значение, и в частности при котором (10) принимает вид

Таким образом, не считая тривиального масштабного фактора высокоэнергетическое поведение скоростей реакций зависит от поведения связей при

Здесь имеется техническая деталь, которая заслуживает некоторого пояснения. В набор параметров связи входят массы частиц с размерностью Соответствующие безразмерные параметры (9) имеют вид и разумно было бы ожидать, что они стремятся к нулю при Однако скорости реакций будут вообще содержать особенности при нулевой массе, соответствующие инфракрасным расходимостям, присутствующим в безмассовой квантовой теории поля. Поэтому невозможно оценить высокоэнергетическое поведение произвольных скоростей реакций, просто полагая массы равными нулю. Именно по этой причине метод ренорм-группы исторически был использован для вычисления высокоэнергетнческого поведения функций Грина вдали от массовой поверхности, где никакие инфракрасные расходимости не встречаются даже для нулевой массы. Однако массовые особенности могут

быть устранены из самих скоростей физических реакций путем выполнения соответствующего суммирования по определенным наборам начальных и конечных состояний [117—119]. В дальнейшем мы будем подразумевать, что это сделано.

Мы делаем здесь акцент на скорости реакций, а не на функции Грина вне массовой поверхности, и это имеет очень важное преимущество. Матричные элементы на массовой поверхности и скорости реакций не зависят от того, как определяются поля, поэтому они являются функциями только «существенных» параметров связи, т. е. тех комбинаций параметров связи в лагранжиане, которые не меняются, когда мы подвергаем поля точечному преобразованию (как, например, для скалярного поля Напротив, функции Грина вне массовой поверхности, конечно, отражают определение рассматриваемых полей и будут потому функциями всех параметров связи в лагранжиане, включая те «несущественные» параметры связи (типа перенормировочных констант поля которые не являются инвариантами при переопределении полей. Здесь всегда будет подразумеваться, что включают только существенные параметры связи теории.

(Имеется известный тест, который может быть использован для идентификации несущественных параметров связи в любой теории. Когда мы изменяем какой-нибудь неперенормированный параметр связи на бесконечно малую величину весь лагранжиан изменяется на

Предположим, что мы пытаемся осуществить это изменение простым переопределением полей

Изменение, вносимое при этом в имеет вид

Таким образом, изменение в лагранжиане может быть осуществлено переопределением полей, если и только если мы можем найти функции полей и их полные производные, такие, что

Другими словами, параметр связи является несущественным, если и только если обращается в нуль или является полной

производной, когда мы используем уравнение Эйлера — Лагранжа

Например, в перенормируемой теории скалярного поля с лагранжианом

перенормировочная константа поля является несущественной связью, поскольку мы можем написать

и первый член обращается в нуль, когда мы используем полевое уравнение

С другой стороны, ни масса ни связь к, ни любая комбинация и к не являются несущественными. В этом примере переопределение поля связанное с единственной несущественной связью является простым изменением масштаба с но это именно потому, что от теории требуется, чтобы она была перенормируемой; более сложные преобразования с являющейся нелинейной функцией и ее производных, порождали бы неперенормируемые члены в . В неперенормируемых теориях мы должны рассматривать все возможные переопределения полей, совместимые с их свойствами симметрии, и в результате имеется бесконечное число и несущественных и существенных связей.)

Как мы увидим, работая только с существенными связями, можно сформулировать условие асимптотической безопасности в сжатом виде. Кроме того, оно хорошо стыкуется с «методом фонового поля» [120—125], в котором перенормировка параметров связи устанавливается вычислением матричных элементов между вакуумами в классическом фоновом поле, которое удовлетворяет полевым уравнениям Эйлера — Лагранжа.

Вернемся теперь к проблеме определения поведения существенных связей Изменение в при заданном частичном изменении в является безразмерной величиной и может поэтому зависеть от всех а не отдельно от самого поскольку здесь не имеется других размерных параметров, с которыми можно было бы сравнивать Поэтому скорость изменения относительно изменения масштаба точки перенормировки может быть переписана в виде обобщенного уравнения Гелл-Манна—Лоу

Каждая отдельная теория характеризуется траекторией в пространстве константы связи, порождаемой решением (12) с заданными начальными условиями.

Функция может быть вычислена как степенной ряд по но это, вообще говоря, не поможет нам установить поведение при Однако мы можем идентифицировать один общий класс теорий, в которых нефизические особенности почти несомненно отсутствуют. Если связи достигают «фиксированной точки» при то (11) дает простое масштабно-инвариантное поведение для Чтобы достигало при функция должна обращаться в этой точке в нуль

а связи должны лежать на траектории которая на самом деле попадает в фиксированную точку. Поверхность, образованная такими траекториями, будет называться ультрафиолетовой критической поверхностью. Обобщенный вариант перенормируемости, который мы хотим предложить для квантовой теории гравитации, заключается в том, что константы связи должны лежать на ультрафиолетовой критической поверхности некоторой фиксированной точки. Такие теории будут называться асимптотически безопасными.

(Между прочим, требование, чтобы параметры связи достигали фиксированной точки при не может быть, вообще говоря, удовлетворено, если мы включим вместе с существенными также и несущественные параметры связи. Например, уравнения ренорм-группы не могут изменить своей формы, когда мы умножаем каждое поле на независимую постоянную; следовательно, если константы перенормировки поля удовлетворяют этим уравнениям, то это же выполняется для умноженных на произвольные постоянные, и поэтому уравнения для должны принимать вид

Вообще говоря, нет причины, по которой должно было бы обращаться в нуль или расходиться, поэтому решение для будет иметь форму

Это вводит поправки к скейлингу в функциях Грина вне массовой поверхности. Однако скорости реакций не зависят от поэтому они могут проявлять «наивный» скейлинг даже если для

Мы не знаем на самом деле, что теория, которая не является асимптотически безопасной, будет иметь нефизические особенности — предположение асимптотической безопасности является как раз одним из способов обрести разумную уверенность в том, что нефизические особенности не появятся. В качестве примера того, что может случиться, когда теория является не асимптотически безопасной, рассмотрим образец дифференциального уравнения.

где и — наборы произвольных постоянных. Траекториями, достигающими фиксированной точки являются, очевидно, траектории с начальными значениями вдоль линии

поэтому здесь критическая поверхность одномерна. Если находится на этой поверхности, причем при то при больших значениях для справедлива формула (15), в которой

Мы видим, что в этом случае плавно подходит к при и теория является асимптотически безопасной. С другой стороны, если не лежит на линии (15), то возникает расходимость при конечном значении Для решением уравнения (14) будет

и мы видим, что когда приближается к Если предположить, что бесконечность в параметрах связи будет давать нефизическую особенность в скоростях реакций, то мы должны здесь заключить, что теория, связи которой не лежат на ультрафиолетовой критической поверхности (15), будет обнаруживать нефизические особенности при энергии

Конечно, вопрос о том, предвещает ли бесконечность в константах связи особенность в скоростях реакций, зависит от того, как определяются константы связи. Мы всегда могли бы принять необычное определение (например, такое, чтобы скорости реакций были конечны даже при бесконечных параметрах связи. Можно избежать этой проблемы, если мы определим

константы связи как коэффициенты разложения в степенной ряд самих скоростей реакций около некоторой физической точки перенормировки. В наинизшем порядке теории возмущений эта процедура неотличима от обычной процедуры перенормировки, в которой определяются в терминах разложения в степенные ряды функций Грина около некоторой точки перенормировки вне массовой поверхности. По-видимому, имеет смысл исследовать, можно ли было бы получить последовательное определение перенормированных параметров связи в терминах скоростей реакций, а не функций Грина, но здесь мы не будем пытаться этого сделать.

Число свободных параметров в асимптотически безопасной теории равно просто размерности ультрафиолетовой критической поверхности. Если критическая поверхность бесконечномерна, то требование, чтобы физическая теория лежала на этой поверхности, оставляет нам бесконечное число неопределенных параметров, и мы мало чего достигаем. В другом пределе, если размерность критической поверхности нулевая, требование асимптотической безопасности не может быть удовлетворено вообще. Предположим, что размерность критической поверхности — некоторое конечное число С; в этом случае теория будет иметь С свободных параметров, из них являются безразмерными параметрами, которые определяют отдельную траекторию на С-мерной критической поверхности, а один параметр является размерным и указывает нам значение при котором достигается некоторая заданная точка на этой траектории. Лучшим вариантом, конечно, был бы случай при этом физика не имела бы никаких свободных параметров, кроме одной размерной постоянной, которая просто определяла бы наши единицы массы или длины. Пока величина С конечна, условие асимптотической безопасности будет для нас играть такую же роль, как условие перенормируемости в квантовой электродинамике: оно служит для того, чтобы фиксировать все, кроме, может быть, конечного числа параметров теории. Фактически, как мы увидим, условие асимптотической безопасности будет в некоторых случаях требовать, чтобы теория была перенормируемой в обычном смысле.

Размерность критической поверхности можно определить, исходя из поведения функций вблизи фиксированной точки. В окрестности можно записать в виде

где

Общим решением является

где — собственный вектор с собственным значением

— произвольные коэффициенты. Очевидно, условием того, чтобы достигало при является условие обращения в нуль для всех возможных собственных значений (Возможность нулевых собственных значений здесь является неудобством, к которому мы вернемся позднее.) Размерность ультрафиолетовой критической поверхности тогда будет равна числу остающихся параметров т. е. числу отрицательных собственных значений

В таком случае решающая проблема состоит в том, чтобы определить, сколько собственных значений В-матрицы являются отрицательными. Во всех случаях, которые мне известны, это число конечно. Это можно пояснить наводящими, хотя и весьма нестрогими соображениями. Вспомним, что

где размерность зависимости от массы перенормированной константы связи не подвергшейся изменению масштаба. Зависимость от возникает из зависимости петлевых графиков от импульсов в точке перенормировки, так что

и

Тогда добавление к взаимодействию производных и степеней полей будет всегда понижать размерность поэтому не более чем конечное число может быть положительным и все, кроме конечного числа, будут лежать ниже любого заданного отрицательного значения. В отсутствие «петлевых вкладов» собственные значения были бы как раз величинами из которых все, кроме конечного числа, положительны. «Петлевые вклады» могут, конечно, изменить знаки некоторых из собственных значений но если эти вклады являются связанными, то они не могут изменить знак бесконечного числа больших положительных собственных значений, и только конечное число может быть отрицательно. Таким образом, мы можем предположить, что ультрафиолетовая критическая поверхность будет вообще иметь конечную размерность.

Этот вывод в ряде случаев эмпирически подтверждается наблюдаемым существованием фазовых переходов второго рода. Фазовый переход второго рода будет, вообще говоря, происходить при значениях параметров теории, при которых стремятся к нулю массы или расходятся корреляционные длины, так что физические величины могут обнаруживать масштабно-инвариантное поведение при

больших расстояниях или малых импульсах. Повторяя соображения, приведенные в этом разделе, мы видим, что такой скейлинг должен быть связан с фиксированной точкой где стремится к нулю; фазовый переход происходит, когда параметры теории принимают значения на инфракрасной критической поверхности, состоящей из траекторий (12), которые попадают в фиксированную точку при Из (18) мы видим, что число параметров, которые следует установить, чтобы использовать теорию на инфракрасной критической поверхности, равно числу отрицательных собственных значений , следовательно, равно именно размерности ультрафиолетовой критической поверхности. Но во всех случаях мы знаем, что это число конечно: только конечное число параметров (температура, давление, магнитное поле) должны быть установлены, чтобы ввести фазовый переход второго рода. Таким образом, по крайней мере для фиксированных точек, связанных с фазовыми переходами второго рода, мы можем быть уверены, что ультрафиолетовая критическая поверхность имеет конечную размерность.

Мы уже отмечали, что для конечномерной критической поверхности условие асимптотической безопасности действует весьма аналогично условию перенормируемости, ограничивая свободные параметры в физических теориях. Фактически теперь мы можем видеть, что связь между асимптотической безопасностью и перенормируемостью является даже более тесной. Любая теория всегда будет иметь фиксированную точку в начале, (Если существенные связи стремятся к нулю при одном масштабе перенормировки они будут стремиться к нулю при всех поэтому всегда обращается в нуль при Предположим, что для некоторой теории она является единственной подходящей фиксированной точкой с ультрафиолетовой критической поверхностью ненулевой размерности, так что асимптотическая безопасность требует, чтобы связи лежали на этой поверхности. «Петлевой вклад» в (21) обращается в нуль при поэтому -матрица для этой фиксированной точки есть

Таким образом, чтобы траектория попадала в точку при необходимо, чтобы все при обращались в нуль. Но именно эти взаимодействия являются неперенормируемыми, поэтому такой тип теории должен быть перенормируемым в обычном смысле.

Строго говоря, перенормируемость может быть недостаточна. В-матрица для будет, вообще говоря, иметь несколько нулевых собственных значений, соответствующих «строго» перенормируемым взаимодействиям с и необходимо также, чтобы эти

взаимодействия имели вблизи чтобы стремились к нулю при Следовательно, ультрафиолетовая критическая поверхность фиксированной точки фактически состоит из всех теорий, которые перенормируемы и асимптотически свободны. Однако с практической точки зрения перенормируемая теория типа квантовой электродинамики может считаться асимптотически безопасной, даже если она не является асимптотически свободной, поскольку рост строго перенормируемой связи типа является только логарифмическим, и какие-либо нефизические особенности могли бы появляться только при экспоненциально высоких энергиях. Это было бы не так, если бы теория включала неперенормируемые взаимодействия типа взаимодействия Ферми.

В некоторых случаях асимптотическая безопасность может вести к перенормируемости, даже если фиксированная точка имеется не при Известная работа Гелл-Манна и говорит о существовании фиксированной точки в квантовой электродинамике, где Если существует такая фиксированная точка в квантовой электродинамике, то она является фиксированной точкой для самой общей полевой теории фотонов и электронов, но нет никаких оснований ожидать, что траектории с не обращающимися в нуль значениями для неперенормируемых связей должны попадать в эту фиксированную точку. Поэтому, исключая другие фиксированные точки, действие условия асимптотической безопасности будет требовать именно перенормируемости обычного типа.

Проблема, перед которой ставит нас рассмотрение квантовой гравитации, состоит в том, что может не быть никаких теорий, которые являются перенормируемыми, оставаясь только асимптотически свободными. Поэтому мы должны искать другие фиксированные точки вдали от Вообще говоря, не имеется особых причин, по которым фиксированная точка с имела бы малое поэтому теория возмущений не может быть нам слишком полезной для поиска таких фиксированных точек или исследования их свойств.

Почти такая же проблема возникла в теории критических явлений: несостоятельность обычной теории поля показала, что фазовые переходы не связаны с фиксированной точкой при нулевой связи, и возникла необходимость искать другие фиксированные точки. В этом случае проблема могла бы быть решена 1130, 131] продолжением по пространственной размерности системы, «е-расшире-нием». Поэтому представляется разумным попытаться рассмотреть продолжение по пространственно-временной размерности в исследуемой проблеме.

Предположим, что мы могли бы найти некоторую размерность пространства-времени при которой существует

перенормируемая и асимптотически свободная теория гравитации. Как мы видели, это означало бы, что фиксированная точка при имеет ультрафиолетовую критическую поверхность конечной размерности. Если мы затем увеличим размерность теория будет становиться неперенормируемой, но непрерывность заставляет нас ожидать, что фиксированная точка, которая имеется при для будет плавно смещаться и что по крайней мере для конечной области значений выше ультрафиолетовая критическая поверхность будет сохранять ту же размерность. Следовательно, для мы можем рассчитывать найти фиксированную точку с порядка и изучить свойства этой фиксированной точки с помощью разложения по степеням е.

Этот подход уже применялся [132—135] к нелинейной -модели (которая является перенормируемой и асимптотически свободной при хотя с несколько иной точки зрения. Его применение к гравитации будет описано в разд. 6 с использованием методов, обсуждаемых в разд. 5.

При проведении вычислений очень полезно знать, что хотя -функции и -матрица зависят от деталей нашей процедуры перенормировки и от того, как определяются параметры связи однако собственные значения -матрицы от этого не зависят. Имеется широкий выбор способов, которыми мы могли бы изменить определение

а. Мы могли бы просто выбрать другой набор точек перенормировки, и в этом случае переопределенные масштабно параметры связи (9) стали бы функциями масштаба импульсов в новых точках перенормировки.

в. Мы можем использовать размерную регуляризацию [137 — 139], и в этом случае «перенормированные» связи могут быть приняты за постоянные члены в разложении неперенормированных связей в ряд Лорана вблизи пространственно-временной размерности

где — «единица массы», вводимая для того, чтобы сделать безразмерными.

в. Мы можем ввести обычное ультрафиолетовое обрезание при импульсе и взять функции в качестве переопределенных

неперенормированных связей, причем выбрать зависимость обрезания таким образом, чтобы скорости реакций не зависели от обрезания.

В этих или других случаях новые связи должны быть представимы как функции старых связей и единственной другой безразмерной величины

Однако новые связи не зависят от того, как определены старые связи, поэтому они являются не зависящими от

Другими словами, мы можем определить новую ргфункцию

которая связана со старой -функцией законом преобразования контравариантного вектора

Мы видим, что существование фиксированной точки является инвариантным понятием: если то Сами Р-функ-ции не являются инвариантными, и так же не инвариантны их производные

Но в фиксированной точке первый член обращается в нуль, поэтому новая -матрица связана со старой следующим образом:

Это преобразование подобия, поэтому собственные значения В — те же самые, что и собственные значения В. (Эти собственные значения известны как критические экспоненты; они зависят только от типа степеней свободы системы, а не от каких-либо других физических переменных.) В частности, вопрос об асимптотической

безопасности является вопросом, который может быть адресован к любому из формализмов «а», «б», «в», охарактеризованных выше, о уверенностью, что ответ будет тем же самым.