5. ЛИНЕАРИЗАЦИОННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВАКУУМНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА

Устойчивость линеаризации связана с вопросом о справедливости первого порядка теории возмущений. Суть вопроса состоит в следующем. Допустим, у нас имеются дифференцируемая функция Р и точки такие, что Стандартная процедура нахождения других решений уравнения вблизи состоит в решении линеаризованного дифференциального уравнения и в утверждении, что при малых является приближенным решением уравнения Это утверждение может быть уточнено следующим образом: при малых существует кривая точных решений такая, что Если это утверждение справедливо, мы говорим, что линеаризационно устойчива в точке Легко указать случай, когда это утверждение неверно. Например, при двух измерениях уравнение не имеет иных решений, кроме , хотя линеаризованное уравнение имеет много решений. Таким образом, обладает или не обладает уравнение линеаризационной устойчивостью вблизи некоторого данного решения, вовсе не праздный вопрос. Интуитивно, линеаризационная устойчивость означает, что теория возмущений первого порядка справедлива вблизи и не возникает ложных направлений возмущения.

Для общей теории относительности вопрос о линеаризационной устойчивости весьма важен. В литературе часто предполагается, что решения линеаризованных уравнений дают приближения к решениям точных уравнений. Однако Брилл и Дезер [23] показали, что для

плоского трехмерного тора с нулевой внешней кривизной имеются решения линеаризованных уравнений связи, которые не аппроксимируются кривой точных решений. Они привели доводы, основанные на втором порядке теории возмущений, в пользу того, что при условии уравнения связи не имеют иных близлежащих решений, за исключением модификаций, которые по существу тривиальны, хотя у линеаризованных уравнений имеется много нетривиальных решений (полное доказательство см. в работе 1881). Это утверждение аналогично следующей геометрической теореме изоляции 1891 и доказывается с использованием тех же технических приемов

Теорема 30

Если М компактно и — плоская метрика на М, то имеется окрестность метрики в пространстве метрик такая, что любая метрика в окрестности является плоской.

Доказательство восходит к версии леммы Морса, приспособленной для бесконечномерных пространств; при этом требуется уделить особое внимание координатной инвариантности кривизны.

Результаты по линеаризационной устойчивости получены независимо Шоке-Брюа и Дезером [49] для плоского пространства и Фишером и Марсденом [85, 87, 88] для общего случая пустого пространства-времени с компактной гиперповерхностью. Методы, используемые в этих двух случаях, довольно различны. В работе [154] метод Шоке-Брюа и Дезера обобщен на случай пространства-времени с компактной гиперповерхностью; см. [53]. В работе [61] получены результаты для пространства-времени Робертсона—Уокера, а в работе [2, 3] — для калибровочных полей, взаимодействующих с гравитацией. Результат для плоского пространства состоит в следующем утверждении.

Теорема 31

В окрестности пространства Минковского уравнения Эйнштейна для пустого пространства линеаризационно устойчивы.

Эта теорема связана с необходимостью использования асимптотически плоских пространств и подходящих функциональных пространств с определенными асимптотическими условиями. Здесь мы рассмотрим только компактный случай; некомпактный случай обсуждается в работах [92—94].

Начнем с определения линеаризационной устойчивости уравнений Эйнштейна в пустом пространстве.

Пусть Инфинитеэимальная деформация метрики есть решение линеаризованных уравнений

Уравнения Эйнштейна линеариэационно устойчивы в окрестности (или метрика линеариэационно устойчива), если для каждой инфинитезимальной деформации метрики существует -кривая точных решений уравнений поля в пустом пространстве (на том же самом 14),

таких, что

Чтобы быть совершенно строгим, это определение нуждается в небольшом уточнении. А именно, для любого компактного множества требуется лишь, чтобы было определено при где в может зависеть от Это обусловлено тем, что, вообще говоря, будет развитием кривой данных Коши и поэтому при будет равномерно близкой к на компактных множествах, но не на всем

Поскольку мы здесь фиксируем топологию гиперповерхности М, все развития Коши ведут топологически к одному и тому же пространству-времени , следовательно, фиксация V, не является серьезным ограничением. Совсем иное дело, конечно, топологические возмущения.

Поскольку используется линеаризованная эйнштейновская динамическая система, линеаризационная устойчивость уравнений Эйнштейна эквивалентна, как мы увидим далее, линеаризационной устойчивости уравнений связи. В действительности, линеаризационная устойчивость корректной гиперболической системы дифференциальных уравнений в частных производных эквивалентна линеаризационной устойчивости любых юшихся нелинейных связей.

Через линеаризованное отображение можно дать определение необходимого и достаточного условия линеаризационной устойчивости в окрестности уравнения связи

следующим образом: если удовлетворяет линеаризованным уравнениям

то существует дифференцируемая кривая точных решений уравнений связи

такая, что и

Имеет место следующий основной результат.

Теорема 32

Пусть определяется как в разд. 2 и, следовательно, Пусть также -Следующие условия являются эквивалентными:

(I) Уравнения связи

линеаризационно устойчивы в окрестности

(II) Отображение сюръективно.

(III) Отображение инъективно.

Замечание. В разд. 2 мы привели несколько достаточных условий, при которых выполняется это условия С»,

Доказательство теоремы 32. В разд. 2 была показана эллиптичность Поэтому эквивалентность условий (II) и (III) является непосредственным следствием альтернативы Фредгольма.

Из условия (II) следует (I). Ядро отображения расщепляется по альтернативе Фредгольма. Поэтому из теоремы о неявной функции следует, что вблизи является гладким многообразием. Теперь мы должны использовать пространства Соболева и перейти к накладывая требования регулярности, как это делается в работе [89]. Поскольку любой вектор, касательных к гладкому многообразию, касателен и к кривой на этом многообразии, отсюда вытекает (I).

Из условия (I) следует (III). Это утверждение не столь элементарно, и его доказательство мы кратко приведем. Предположим, что имеет место (I) и что но Мы придем к противоречию, показав, что имеется необходимое условие второго порядка на деформацию первого порядка, которое должно быть удовлетворено для того, чтобы деформация была касательной к кривой точных решений уравнений связи. Итак, пусть — решение линеаризованных уравнений связи и — кривая точных решений уравнения

проходящая через и касательная к Дифференцируя дважды уравнение (11) и полагая получаем

где

Свернув (12) с и интегрируя по М, для первого слагаемого в (12) получим

поскольку

Таким образом, первый член в (12) выпадает и остается необходимое условие

которое должно выполняться для всех Чтобы показать нетривиальность этого условия (см. [95]), можно провести рассуждение, аналогичное тому, которое имеется в работе [19].

Процедура нахождения условия второго порядка, при котором линеаризационная устойчивость отсутствует, вполне обычна. Прочие приложения см. в работах [88, 89].

Из линеаризационной устойчивости уравнений связи можно вывести линеаризационную устойчивость пространства-времени, и наоборот, следующим образом.

Теорема 33

Пусть — вакуумное пространство-время, которое является максимальным развитием данных Коши на компактной гиперповерхности

Тогда уравнения Эйнштейна на

линеаризационно устойчивы в окрестности если и только если уравнения связи

линеаризационно устойчивы в окрестности

В частности, если удовлетворяют условиям то уравнения Эйнштейна линеаризационно устойчивы.

Доказательство. Предположим сначала, что уравнения связи линеаризационно устойчивы. Пусть есть решение линеаризованного уравнения в «точке» и пусть — индуцированная деформация на При этом удовлетворяют линеаризованным уравнениям связи. По предположению существует кривая касательная к

Согласно теории существования для задачи Коши, имеется

кривая максимальных решений уравнений на сданными Коши По теоремам 19 и 24, при данном выборе длительности и сдвига будет гладкой функцией в смысле теоремы 19 или в обычном смысле принадлежности к классу Как и раньше, для любого компактного множества найдется такое, что находится в -окрестности любой стандартной топологии) на

Пользуясь результатами по единственности для линеаризованной и полной систем Эйнштейна, можно преобразовать кривую диффеоморфизмами так, что будет касаться ее при Подробности см. в [92].

Монкри [145] доказал, что для отображение инъективно, если и только если пространство-время порожденное не имеет никаких (нетривиальных) векторных полей Киллинга (т. е. из следует, вместе с теоремами 32 и 33 результат Монкри дает тогда необходимое и достаточное условие линеаризационной устойчивости пространства-времени с компактными пространственноподобными гиперповерхностями Коши.

Результат Монкри все же не обеспечивает необходимых и достаточных условий инъективности через (условия и Си достаточны, но не необходимы), но зато обходится без условия которое, таким образом, становится менее важным.

Теорема 34 [145]

Пусть — решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве Пусть — компактная гиперповерхность Коши с индуцированной метрикой и каноническим импульсом Тогда (конечномерное векторное пространство) изоморфно пространству векторных полей Киллинга пространства-времени В действительности

если и только если в существует векторное поле Киллинга нормальными и касательными к составляющими которого являются

Доказательства, альтернативные доказательству Монкри, см. в работах [56—58, 92].

В качестве важного следствия этого результата мы замечаем, что условие не зависит от гиперповерхности 20 (поскольку оно эквивалентно отсутствию векторных полей Киллинга, что не зависит от гиперповерхности). Это условие, очевидно, не меняется также при переходе к изометрическому пространству-времени.

В результате приходим к следующей основной теореме о линеаризационной устойчивости.

Теорема 35

Пусть — решение вакуумных уравнений Эйнштейна Предположим, что пространство-время имеет компактную поверхность Коши 20.

Тогда уравнения Эйнштейна на

линеаризационно устойчивы в «точке» если и только если не допускает ни одного векторного поля Киллинга.

Мы завершим этот раздел кратким рассмотрением случая, когда не обладает линеаризационной устойчивостью. Цель состоит в том, чтобы найти те необходимые и достаточные условия на решение линеаризованных уравнений, при которых касается кривой точных решений, проходящей через Необходимые условия будут выведены; относительно достаточности см. [95].

В теореме 32 мы показали, что если касается кривой точных решений и то

Следуя [148], мы можем переписать это условие второго порядка через метрику пространства-времени точно так, как уже было переписано условие (см. альтернативные доказательства в работах [92, 95]).

Теорема 36 [148]

Пусть удовлетворяет линеаризованным уравнениям

Пусть — векторное поле Киллинга метрики (и, следовательно, линеаризационно неустойчива). Пусть - компактная гиперповерхность Коши и пусть —нормальная и касательная компоненты на Тогда необходимым условием второго порядка для того, чтобы было касательно к кривой точных решений, является равенство

Если имеет дивергенцию, равную нулю [171]. Таким образом, если — векторное поле Киллинга, то дивергенция векторного поля

также равна нулю. Следовательно, необходимое условие второго порядка

на деформацию первого порядка не зависит от гиперповерхности Коши, на которой оно накладывается. Тогда интеграл от по гиперповерхности Коши представляет собой сохраняющуюся величину для гравитационного поля, построенную из решения линеаризованного уравнения и векторного поля Киллинга Интересным и важным свойством этой сохраняющейся величины Тауба является, как это видно из теоремы 36, тот факт, что решение первого порядка из которого построено не является касательным к какой-либо кривой точных решений, если эта величина не равна нулю. Таким образом, для пространства-времени, которое не является линеаризационно устойчивым, сохраняющая величина Тауба играет решающую роль для ответа на вопрос о допустимости возмущения (т. е. о том, является ли оно касательным к какой-либо кривой точных решений).