§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА II ТИПА

В § 8 мы свели уравнение (8.03) для оптимального фильтра II типа к двум соотношениям (8.17) и (8.18). В дальнейшем мы будем считать, что функции являются аналитическими в пределах полосы

охватывающей вещественную ось, причем функция в этой полосе нигде не обращается в нуль. В частности предполагается, что при всех вещественных со

В дальнейшем (см. § 11) мы от этих ограничений попытаемся избавиться, однако в данном параграфе мы будем на них опираться.

Применим теперь лемму I к соотношениям (8.17) и (8.18). Будем считать, что удовлетворяют лемме I также и в отношении поведения на бесконечности, иначе выписанные интегралы не имели бы смысла. По лемме I можно написать

Есл 1 взять в лемме I полосу, расположенную ниже вещественной оси то для нее формула (8.17) дает

и, следовательно,

Аналогичным образом для полосы, лежащей выше вещественной оси из соотношения (8.18) получаем

и

Это значит, что для оптимального фильтра функция должна быть аналитической функцией во всей верхней полуплоскости, аналитической во всей нижней полуплоскости. Мы показали необходимость этого, опираясь на соотношения (8.17) и (8.18). Достаточность этих условий для соотношений (8.17) и (8.18) легко доказывается с помошью теоремы Коши, а для соотношений (8.11) и (8.13) на основании леммы Жордана, если функции убывают равномерно на бесконечности в тех полуплоскостях, где они являются аналитическими Действительно, в силу аналитичности функции в верхней полуплоскости мы можем преобразовать интеграл по прямолиней ному контуру в левой части формулы (8.13) в интеграл по бесконечной полуокружности С (рис. 8)

Он равен нулю при если функция убывает на бесконечности. Это соотношение удовлетворяется и при если убывает быстрее, чем — тогда интеграл по полуокружности исчезает и при Если функция на бесконечности исчезает равномерно, то к ней тоже можно применить лемму Жордана и написать

при где полуокружность в нижней полуплоскости.

Таким образом, мы приходим к следующим требованиям:

А. Функция должна быть аналитической в нижней полуплоскости и исчезать при равномерно (в этой полуплоскости). В соответствии с формулой (8.09) частотная характеристика должна представлять собой

аналитическую функцию в нижней полуплоскости и расти в ней не быстрее некоторого полинома

В. Функция должна быть аналитической фунцией в верхней полуплоскости и должна в ней убывать при быстрее, чем

Из требований можно получить решение задачи, которое выражается через вспомогательные функции произведение которых равно данной функции т. е.

где подобно функции являются аналитическими в полосе (9.01) и не имеют в ней нулей, кроме того функция является аналитической и не обращается в нуль во всей верхней полуплоскости (при а функция обладает теми же свойствами в нижней полуплоскости (при

Разумеется, это разбиение на множители неоднозначно, и формулу (9.10) нужно чем-то дополнить, чтобы точно определить и Известно [см. формулу (3.02)], что есть четная функция Поэтому

Отсюда естественно принять, что

Будем считать, что на бесконечности в нашей полосе функция убывает, как где и с — положительная постоянная. Это значит, что

Чтобы фактически найти введем функцию

где — произвольное число, большее Будем считать, что при вещественных значениях со функция тоже вещественна, для чего возьмем главную ветвь логарифма. Кроме того, аналитическая функция в пределах полосы. Поэтому лемма I применима к ибо при

Используя формулу (9.10) и тождество

Получим

Первый логарифм формулы (9.16) является функцией, аналитической в верхней полуплоскости, второй логарифм является функцией, аналитической в нижней полуплоскости. Иначе говоря, в силу формулы (8.23) можно положить

откуда функции и получаются в виде

причем сами функции определяются формулами (8.26).

Недостаток этих формул в том, что в них входит произвольное число и что они выведены при условии (9.13). В дальнейшем мы постараемся избавиться от этих ограничений.

Функции и определенные формулами (9.18), обладают свойствами, сформулированными выше. Таким образом, лемма I позволила разбить функцию по формуле (9.10). В дальнейшем мы всюду будем под понимать выражения (9.18). На бесконечности (в тех

полуплоскостях, где они являются аналитическими) они удовлетворяют предельным соотношениям

Выписанные выше формулы на первый взгляд довольно сложны. Однако в приложениях часто можно взять в виде рациональной функции, т. е. отношения двух полиномов формулу (4.33)]

Это — полиномы степени а и от поскольку они должны быть четными функциями Будем считать, что

и

Тогда функцию можно представить в виде произведения

и функции равны

Здесь мы через обозначили корни знаменателя и числителя, находящихся в верхней полуплоскости а через и корни в нижней полуплоскости. Действительно, выражения (9.24) удовлетворяют соотношениям (9.10), (9.12) и (9.19) и поэтому совпадают с выражениями (9.18).

В силу формулы (9.10) мы имеем

откуда получаем соотношение

в котором — известные функции, и -неизвестные. Значит, левая часть соотношения (9.26) — известная функция, которую мы обозначим через а правая — неизвестная, причем первое слагаемое по условию А есть функция, аналитическая в нижней полуплоскости, а второе слагаемое по условию В — функция, аналитическая в верхней полуплоскости. Из свойств функций и вытекает, что удовлетворяет условиям леммы 1, кроме, быть может, условия о поведении на бесконечности. Если последнее условие также выполняется, то функцию можно представить согласно лемме I в виде

где есть функция, аналитическая в верхней полуплоскости, нижней. Если отождествить слагаемые в правых частях формул (9.26) и (9.27), являющиеся аналитическими функциями в тех же полуплоскостях, то мы получим

так что

причем

Если мы определим функции с помощью формул (9.29), то, очевидно, они будут аналитическими в тех полуплоскостях, где это требуется по условиям А и В. В отношении поведения на бесконечности условие В выполняется, поскольку функции обе убывают на бесконечности в верхней полуплоскости, а условие А будет выполнено, если и рациональные функции.

Рассмотрим теперь случай, когда рациональные функции, но функция Я И не убывает на

бесконечности. Тогда ее можно представить в виде суммы двух функций — полинома и функции уже удовлетворяющей всем условиям леммы I

Мы образуем по лемме 1, полагаем

и опять определяем функции с помощью мул (9.29). Проверим теперь условие В в отношении поведения на бесконечности. Пусть функции на бесконечности удовлетворяют соотношениям (9.13) и (9.19). Считая, что убывает, как (где 1), мы будем иметь

и

так что функция действительно удовлетворяет условию В. Условие в отношении поведения на бесконечности автоматически выполняется, поскольку спектральные интенсивности суть рациональные функции.

В предыдущем изложении мы не учли одного существенного обстоятельства, без которого задача будет неоднозначной и решение (9.29) — лишь одним из возможных. Действительно, наряду с разбиением функции выбранным выше, можно взять другое разбиение

в котором функции являются аналитическими в тех же полуплоскостях, что и но ведут себя на бесконечности иначе. Сравнивая последнее выражение со взятым выше разбиением (6.27), мы будем иметь

где левая часть — аналитическая функция в верхней полуплоскости, правая часть — в нижней. Поэтому обе части равенства (9.36) являются аналитической функцией во всей плоскости комплексного неременного со.

Воспользуемся теперь теоремой Лиувилля, которую можно сформулировать так: если функция — аналитическая во всей плоскости комплексного переменного то она или неограниченно возрастает при или сводится к постоянной. Поэтому функция уже не будет убывать на бесконечности, а будет расти или стремиться к постоянному пределу.

Вычислим интенсивность процесса на выходе оптимального фильтра

входящую в выражение (5.26) для средней квадратичной ошибки. При вещественных значениях со мы имеем тождество

которое будет обосновано ниже (см. § 11). Поэтому формулы (9.29) и (9.37) дают

так что для получения конечного значения (без чего найденное решение никакого смысла не имеет), функция должна убывать при быстрее, чем

Функции определяемые формулами (9.30) и (9.32), этому условию удовлетворяют, в то время как любая другая функция о которой мы говорили выше, будет давать Условие

как раз и обеспечивает однозначность нашей задачи, по крайней мере в рамках данного метода ее решения.