§ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА

Исследуем свойства фильтра К, обеспечивающего наивысшую точность воспроизведения полезного сигнала при известных свойствах сигнала и помехи. Будем считать, что полезный сигнал и помеха представляют собой стационарные случайные процессы. Точность воспроизведения будем характеризовать средней квадратичной ошибкой определяемой формулой (1.04). Нашу задачу можно формулировать так: найти такой фильтр К, чтобы средняя квадратичная ошибка воспроизведения нужного нам сигнала выходной функцией фильтра К была минимальной. Такой фильтр называется оптимальным. Решение задачи, как мы увидим далее, сводится к решению интегрального уравнения, определяющего функцию искомого оптимального фильтра.

Итак, имеется линейный фильтр, на вход которого поступает функция На выходе получаем функцию

Соответствующая ошибка восироизведения равна

Квадрат этой ошибки равен

Преобразовывая квадрат первого члена справа в двойной интеграл, получим

где множитель введен под знак интеграла, поскольку он не зависит от переменной интегрирования

Среднее значение равно

Введем обозначения

Здесь есть по определению (1.07) автокорреляционная функция случайного процесса (1.01) на входе фильтра К, являющаяся согласно формуле (1.09) четной функцией своего аргумента. Функция называется взаимной корреляционной функцией стационарных случайных процессов Она отображает статистическую связь случайных величин средние значения которых предполагаются равными нулю.

Корреляционная функция определяется формулой

откуда при получаем

Окончательно средний квадрат ошибки запишется в виде

Он зависит не от самих функций а от их корреляционных функций.

При каком же условии функция обращает выражение (2.09) в минимум? Покажем, что необходимое и достаточное условие минимальности заключается в том, что функция является решением интегрального уравнения

Пусть оптимальный фильтр имеет функцию и обеспечивает минимум средней квадратичной ошибки Всякий другой фильтр пусть имеет функцию и ошибку Выясним, при каком средняя квадратичная ошибка будет всегда больше

Подставлял в формулу (2.09) вместо функцию получим

или

Сумма трех интегралов в первой строчке правой части последней формулы равна Первый и второй двойные интегралы во второй строчке равны вследствие того, что функция -четная. Поэтому выражение для запишется в виде

где слагаемое равно

откуда видно, что

Для того чтобы ошибка, соответствующая функции была минимальной, необходимо и достаточно, чтобы квадратная скобка в первом интеграле правой части формулы (2.11) была равна нулю, т. е. выполнялось интегральное уравнение (2.10). Если эта квадратная скобка отличается от нуля, то при надлежащем выборе функции интеграл по х будет отличен от нуля, например отрицателен. Тогда получается, что ибо при достатоточно малых квадратичным слагаемым У в равенстве (2.11) можно пренебречь, и функции соответствует неоптимальный фильтр. Если же интеграл положительный, то, переменив знак получим то же самое.

Отсюда видна необходимость того, чтобы функция оптимального фильтра удовлетворяла уравнению (2.10). Достаточность вытекает из того, что при выполнении уравнения (2.10) выражение (2.11) для средней квадратичной ошибки принимает вид

и в силу неравенства (2.13)

т. е. фильтр К будет действительно оптимальным, всякий другой фильтр будет давать ошибку большую (или такую же).

Для того чтобы найти оптимальный фильтр, нужно решить интегральное уравнение (2.10) относительно неизвестной функции Решение такого уравнения для фильтров II и III типа довольно сложно, поскольку тогда функция удовлетворяет дополнительным условиям (1.14) и

(1.16). Однако для фильтра I типа это уравнение решается, как мы сейчас увидим, довольно просто.

Введем функцию

соответствующую некоторой корреляционной функции Тогда, пользуясь интегральным преобразованием Фурье, можно написать

Функция имеет весьма глубокий физический смысл, определяемый теоремой Хинчина (§ 3); мы ее будем называть спектральной функцией или спектральной интенсивностью.

Введем еще функцию

Тогда на основании преобразования Фурье имеем:

Функция называется реакцией фильтра К на единичный импульс. В самом деле, если в формуле (1.11) задать входную функцию в виде единичного импульса, или, что то же самое, дельта-функции определяемой формулами (1.13), то мы получим

Функция называется коэффициентом передачи или комплексной частотной характеристикой фильтра К. Это

название оправдывается следующим образом. Пусть на вход линейного фильтра К подается функция

тогда на его выходе мы получим

Отсюда видно, что функция равна

где

Величины можно назвать комплексными амплитудами входной и выходной функций; коэффициент передачи есть коэффициент пропорциональности между этими амплитудами. Как всегда при употреблении комплексных обозначений, физический смысл имеют не сами комплексные выражения (2.21) и (2.22), а их вещественные части

определяющие установившиеся синусоидальные колебания частоты на входе и выходе фильтра К.

Теперь мы сможем без труда решить интегральное уравнение (2.10). Для этого умножаем обе его части на интегрируем по от до

Произведя замену переменной по формуле , преобразуем левую часть уравнения (2.25) к виду

Интеграл в правой части уравнения (2.25), согласно принятому нами обозначению, есть Поэтому уравнение (2.25) принимает вид

и коэффициент передачи оптимального фильтра

весьма просто определяется спектральными функциями

Выражение (2.09) для средней квадратичной ошибки оптимального фильтра в силу уравнения (2.10) принимает вид

Пользуясь формулами (2.19) и (2.17), мы производим следующие преобразования:

откуда

Пользуясь формулой (2.28), получим

где мы использовали четность функции

вытекающую из четности функции [см. формулу (1.09) и § 3].

Рассмотрим задачу о простой фильтрации, когда

Будем для простоты считать, что полезный сигнал и помеха не имеют корреляционной связи, т. е.

Тогда корреляционные функции будут равны

и поэтому

Если учесть все это, то частотная характеристика (2.28) будет равна

причем при функцию можно выбрать произвольно, например положить равной нулю; то же относится к формулам (2.28) и (2.34).

Это — оптимальная частотная характеристика простой фильтрации при условии, что полезный сигнал и помеха некоррелированы. Средняя квадратичная ошибка (2.32) для данного фильтра равна

Мы увидим в § 3, что суть неотрицательные функции своего аргумента. Рассмотрим полученные соотношения в частных случаях. Предположим, что спектральные функции сигнала и. помехи не перекрываются (рис. 2). Тогда формула (2.38) даег при

и по формуле (2.39) получим

В этом случае фильтрация происходит без ошибок, и на выходе фильтра К воспроизводится в точности полезный сигнал

Рис. 2. Разделение случайных процессов с неперекрывающимися спектрами.

Рис. 3. Фильтрация в случае, когда спектр помехи частично перекрывает спектр полезного сигнала.

Если же спектральные функции перекрываются, то фильтрация происходит с некоторой ошибкой. Так, например, если взять как на рис. 3, то при а при функция непрерывно спадает до нуля. Ошибка (2.38) при этом отлична от нуля. Она возникает как от пропускания части спектра помех (при так и от искажения полезного сигнала вследствие ослабления части его спектра в том же частотном диапазоне. Чем больше функция в диапазоне перекрытия и чем меньше в этом же диапазоне, тем в меньшей степени этот диапазон должен пропускаться оптимальным фильтром.

Напомним, что эти результаты относятся к фильтрам

I типа. Качественно их можно применять и к фильтрам II типа, но здесь будут некоторые особенности (см. гл. II).

Интересно рассмотреть, чему равна частотная характеристика оптимального фильтра при условии

т. е. когда спектральная интенсивность помех весьма велика по сравнению со спектральной интенсивностью сигналов (см., например, рис. 4). В этом случае приближенно имеем

где мы пренебрегли членом в знаменателе формулы (2.38). В том же приближении формула (2.39) дает

и согласно формуле (2.17)

т. е. средняя квадратичная ошибка на выходе оптимального фильтра будет равна среднему квадрату полезного сигнала.

В общем случае среднюю квадратичную ошибку можно назвать средней интенсивностью помех на выходе фильтра. Действительно, фильтр должен воспроизводить нужный сигнал но на выходе получаем функцию которая уклоняется от на величину поэтому помехи на выходе естественно характеризовать их интенсивностью

Мы показали выше, что интенсивность помех на выходе фильтра равна интенсивности сигнала, т. е. отношение сигнал/помеха на выходе равно 1, когда на входе помеха гораздо интенсивнее полезного сигнала и занимает

Рис. 4. Спектр помехи, полностью перекрывающий спектр полезного сигнала и более интенсивный.

тот же частотный диапазон. Отсюда можно сделать ошибочный вывод, что оптимальный фильтр эффективно отделяет сигнал от сколь угодно интенсивной помехи. На самом деле процесс на выходе фильтра в этом случае весьма слаб, поскольку функция (2.43) мала, и ошибка (2.45) получается потому, что приближенно можно считать . В радиотехнике часто бывает, что при отношении сигнал/помеха, равном единице, какое-то выделение полезного сигнала еще возможно благодаря тому, что сигнал по своим свойствам как-то отличается от помехи. При применении оптимального фильтра это различие в свойствах уже использовано, так что если отношение сигнал/помеха на выходе фильтра равно единице, то полезный сигнал фактически не выделяется.

Заметим, что из формул (2.29) и (2.39) легко вывести неравенство

показывающее, что при более (благоприятных условиях фильтрации, т. е. при меньшей интенсивности помех, отношение сигнал/помеха на выходе получается больше единицы.