ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

ГЛАВА IX. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ НОРМАЛЬНОГО ТИПА

§ 58. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНЫХ (ГАУССОВЫХ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В данной главе мы выведем основные формулы, относящиеся к нормальным случайным величинам и используемые на протяжении всей книги. Изложение удобно начать с понятия характеристической функции случайных величин.

Для случайных величин характеристической функцией называется функция от вспомогательных параметров определяемая с помощью соотношения

где черта сверху означает образование среднего (т. е. математического ожидания). Если считать, что -мерная плотность вероятности случайных величин

равна формулу (58.01) можно переписать в виде

т. e. функция получается из функции с помощью -мерного интегрального преобразования Фурье. Обращение этого преобразования дает формулу

позволяющую вычислить распределение вероятностей если иззестна характеристическая функция х

Из определения (58.01) вытекают следующие свойства характеристический функции

т. е. моменты случайных величин непосредственно выражаются через производные их характеристической функции в начале координат, т. е. при

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случайных величин со средними значениями, равными нулю

что ни в коей мере не умаляет общности, поскольку всегда можно ввести новые случайные величины

удовлетворяющие условиям (58.05), и в окончательных выражениях перейти к величинам

Величины удовлетворяющие условиям (58.05), называются нормальными или гауссовыми, если их характеристическая функция равна

где коэффициенты соответствуют положительно определенной квадратичной форме, удовлетворяют условию симметрии

и согласно третьему соотношению (58.04) имеют следующий смысл

поскольку при дифференцировании функции (58.07) мы получаем

Используя четвертую и пятую формулы (58.04), нетрудно также вывести соотношения

последнее из которых было использовано в § 35.

Выше мы неявно предполагали, что случайные величины являются вещественными, т. е. принимают только вещественные значения. Иногда

целесообразно вводить и комплексные случайные величины. Пусть мы имеем вещественных случайных величин нормального типа, имеющие моменты

Характеристическая функция этих величин, как непосредственно следует из определения (58.07), равна

Вместо вещественных случайных величин можно ввести комплексных величин по формулам

которые будут удовлетворять соотношениям

Если ввести комплексные коэффициенты

то соотношения (58.15) можно переписать в виде

Обозначая

можно характеристическую функцию (58.13) записать более кратко

где

есть в силу формул (58.16) положительно определенная эрмитоза форма, принимающая вещественные неотрицательные значения при любых . В формуле (58.19) уже можно считать х функцией от (а не от ), определяемой с помощью соотношения

так что, например,

в соответствии с формулой (58.17).