§ 12. ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

До сих пор мы рассматривали фильтры I и II типов с математической точки зрения. Посмотрим, какой физический смысл можно придать математическим формулам, выведенным ранее. Для этого целесообразно рассмотреть некоторую модель случайных процессов.

Простейшее представление о случайных процессах ключается в том, что такие процессы являются наложением нерегулярно возникающих возмущений (импульсов) стандартной формы. Будем считать, что момент появления каждого возмущения является случайным, а его форма — вполне определенной. Если есть момент появления возмущения (импульса), то его изменение во времени характеризуется функцией как показано на рис. 11.

Оказывается, что ряд случайных процессов, например дробовой эффект, действительно может быть представлен таким образом. Экиссия электронов из катода лампы носит случайный характер. Разобьем ось времени (рис. 12) на много малых отрезков и обозначим число вылетевших за отрезок времени Да электронов буквой Дальнейшее движение электронов будет зависеть от поля

Рис. 12. Случайный процесс как наложение беспорядочно возникающих возмущений определенной формы.

в лампе между анодом и катодом. Если принять за ток, возбуждаемый во внешней цепи электроном, вышедшим из катода в момент то результирующий ток и будет равен

Среднее значение величины будет, очевидно, пропорционально так что

где среднее число электронов, вылетающих за единицу времени. Среднее значение случайной функции равно

или, переходя к пределу (при ,

В силу очевидного условия

можно также написать

Выражение (12.01) может быть использовано для получения «модели» случайного процесса с произвольной корреляционной функцией (за некоторыми исключениями, см. далее § 13). До сих пор мы рассматривали случайные процессы, среднее значение которых равно нулю. При моделировании случайного процесса данным выше способом мы, следовательно, тоже должны считать, что

выражение (12.06) должно обращаться в нуль. Для этого достаточно положить

т. е. считать, что среднее значение (12.02) равно нулю. Это возможно, когда принимает как положительное так и отрицательное значение, так что с равной вероятно стью возникают возмущения как с положительными, так и отрицательными знаками. Будем считать, что если интервалы не перекрываются, то

т. е. возмущения возникают в разные интервалы времени статистически независимо друг от друга. Что касается возмущений в один и тот же интервал времени, то мы считаем

т. е. квадрат числа возмущений пропорционален длительности интервала

Если считать, что величина причем случайные величины подчиняются закону распределения Пуассона и опреде. ляют случайный процесс

связанный с процессом (12.01) соотношением

то число с имеет вполне определенный смысл: это есть среднее число возмущений, образующих процесс за единицу времени, Действительно, из закона Пуассона мы имеем

откуда и вытекает смысл соотношения (12.09).

Вычислим автокорреляционную функцию

Используя формулы (12.08) и (12.09), получим

и окончательно при будем иметь

Таким образом, автокорреляционная функция данного случайного процесса представляется в виде интегралов, подобных рассмотренным в конце § 1.

Если считать, что "стандартные" возмущения удовлетворяют условию (12.05) и при затухают достаточно быстро, то мы можем применить преобразование Фурье. Пусть будет комплексной спектральной амплитудой возмущения равной

тогда, применяя преобразование Фурье, можно написать

Важно заметить, что "стандартное возмущение разлагается в интеграл Фурье, а сам случайный процесс нет. Поэтому имеет смысл говорить лишь о спектральной интенсивности случайных процессов, а не об их спектральной амплитуде.

Автокорреляционная функция процесса равна

или

Сравнивая эту формулу с формулой (2.16), связывающей автокорреляционную функцию случайного процесса с его спектральной интенсивностью, легко находим последнюю

Она пропорциональна квадрату абсолютной величины спектральной амплитуды возмущения.

Последняя формула показывает нам, как подобрать соответствующую модель для любого случайного процесса. Разумеется, это — неоднозначная задача, и для случайного процесса, заданного лишь своей корреляционной функцией, можно дать много разных моделей (подбирая, например, разные фазы

В § 3 мы вывели соотношение (3.33), связывающее между собой время корреляции и ширину спектра В рассмотренной выше модели определяется длительностью возмущения В частности, если мы возьмем возмущения бесконечно малой длительности, то им соответствует бесконечно широкий спектр. Такой спектр имеет так называемый белый шум, о котором мы уже говорили в § 6 [см. формулу (6.21)]. Ниже мы будем обозначать этот процесс черэз Его спектральная интенсивность является константой

Это, конечно, предельный случай. Практически всякий реальный процесс будет иметь спектральную интенсивность, спадающую при достаточно высоких частотах. Это видно и из модели: импульсы с нулевой длительностью осуществить невозможно, а возмущения конечной, но малой длительности всегда приводят к спектральной интенсивности, исчезающей при Однако в зависимости от условий задачи (ср. § 6) всегда можно считать, что выполнение условия (1.2.15) в достаточно широком диапазоне частот приводит практически к тому же результату, как если бы реализовался «настоящий» белый шум, строго удовлетворяющий соотношению (12.15) при всех частотах.

Если мы будем для белого шума искать корреляционную функцию, то интеграл (2.17) не будет сходиться, так что о корреляционной функции такого процесса говорить нельзя. Исходя из представления о белом шуме как о совокупности мгновенных импульсов и учитывая, что по формуле (12.12) корреляционная функция отлична от нуля лишь за счет конечной длительности возмущений, можно заключить, что для белого шума корреляционная функция при равна нулю, так что белый шум — абсолютно случайный процесс, в котором никакой корреляционной связи между настоящим и будущим или между прошлым и настоящим не существует. В частности, прогнозирование белого шума невозможно.

Представим теперь, что белый шум пропускается через фильтр, вырезающий из широкого спектра какой-то спектральный интервал. На выходе этого фильтра будет процесс, который уже будет иметь какую-то корреляцию во времени. Если рассматривать белый шум как совокупность нерегулярно возникающих мгновенных импульсов, то эта связь объясняется тем, что каждый импульс при прохождении через фильтр «размазывается» определенным образом, превращается в реакцию фильтра на единичный импульс и поэтому на выходе фильтра процесс имеет корреляцию, во времени. Таким образом, если случайный процесс рассматривать только с точки зрения его автокорреляционных свойств и соответствующих спектральных интенсивностей, то он ничем не отличается от белого шума, пропущенного через соответствующий фильтр Представим себе, что белый шум со спектральной интенсивностью мы подаем на вход некоторого фильтра II типа с частотной характеристикой Тогда по формулам (4.10) и (11.12) можно написать

т. е. на выходе получаем случайный процесс со спектральной интенсивностью Поэтому процесс можно рассматривать (рис. 13) как результат прохождения белого шума через фильтр II типа с соответствующим образом подобранной частотной характеристикой Наоборот, пропуская случайный процесс через фильтр с частотной характеристикой получаем белый шум со спектральной интенсивностью, равной единице (рис. 14).

Выясним теперь смысл формулы

для частотной характеристики оптимального фильтра II типа.

Рис. 13. Фильтр с частотной характеристикой превращающий белый шум в случайный процесс или в его модель.

Рис. 14. Фильтр с частотной характеристикой превращающий случайный процесс в белый шум.

На основании этой формулы можем записать оптимальный фильтр II тина, как последовательно включенные фильтры: 1) фильтр с частотной характеристикой преобразующий данный нам случайный процесс в белый шум фильтр с частотной характеристикой Чтобы выяснить физический смысл второго фильтра, посмотрим, какой фильтр следует поставить вместо него, чтобы получить оптимальный фильтр I типа (рис. 15).

Рис. 15. Схема действия фильтра с частотной характеристикой (12.19).

Согласно формулам (2.28) и (9.10) нужно взять

Тогда, действительно, получим частотную характеристику всего фильтра в виде

Если же мы ограничимся фильтрами И типа, то вместо нужно взять взять фильтр, использующий лишь "прошлые" импульсы белого шума. Действительно, согласно лемме II (см. § 11) реакция фильтра на единичный импульс при та же, что у фильтра , но при она равна нулю.

Моделирование процесса белым шумом, прошедшим через фильтр, позволяет наглядно понять смысл статистического прогнозирования, называемого также экстраполяцией или упреждением. Пусть

тогда по формуле (4.15) будем иметь

и функция будет равна

Такая функция удовлетворяет условиям леммы I, и формула (11.28) принимает вид 00

где функция

в силу леммы II удовлетворяет условию

Легко видеть, что функция есть реакция на единичный импульс для фильтра, имеющего частотную характеристику Более того, дает форму импульсов белого шума после их прохождения через фильтр т. е. форму импульсов, моделирующих процесс (см. рис. 13).

По лемме II фильтр с частотной характеристикой обладает реакцией равной

и, значит, он работает по формуле

или

Работа прогнозирующего фильтра изображена на рис. 16. Первая строчка рис. 16 изображает белый шум.

Рис. 16. Схема действия фильтра, прогнозирующего значение

При его прохождении через фильтр каждый импульс, относящийся к моменту размазывается, переходя в импульс Вторая строчка дает модельное изображение случайного процесса и наглядно поясняет, на чем может основываться его прогнозирование.

Значение можно рассматривать как результат наложения возмущений уже возникающих к моменту и продолженных далее "стандартным образом. За время 5 возникнут, конечно, новые возмущения, обусловливающие непрогнозируемую часть значения Они делают прогноз тем менее точным, чем дальше вперед мы прогнозируем. Иными словами, чем более долгосрочен прогноз, тем он менее достоверен. Можно показать, что средняя квадратичная ошибка в пределе стремится к к среднему квадрату самой функции, а прогнозируемое значение к нулю.

Третья и четвертая строчка рис. 16 построены в соответствии с формулой (12.17) для они показывают, что по теории статистического прогнозирования все происходит так, как это было сформулировано выше. Пройдя через фильтр , процесс превращается в белый шум, точно такой же, как и в начале (третья и первая строчки тождественны). Заключительное звено фильтра работающее по формуле (12.28), переносит каждый импульс белого шума на 5 секунд раньше и продолжает его по закону Функция изображенная на четвертой строчке, прогнозирует значение обусловленное таким продолжением.