§ 59. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГАУССА

Перейдем теперь к вычислению плотности вероятности вещественных случайных величин нормального типа. По формулам (58.03) и (58.07) имеем

Последний интеграл всего легче вычислить, переходя от переменных к переменным с помощью ортогонального преобразования

такого, что квадратичная форма в интеграле (59.01) преобразуется к главным осям, т. е. принимает вид

В этих переменных мы имеем также

и кратный интеграл (59.01) распадается на произведение простых интегралов

каждый из которых легко вычисляется

так что

Из теории преобразований квадратичных форм известно, что определитель, составленный из их коэффициентов, остается при ортогональных преобразованиях (59.02) инвариантом, поэтому

Далее по формуле (59.04) получаем

в то время как формула (59.03) дает

Используя соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты ортогонального преобразования (59.02)

мы легко получаем формулу

показывающую, что элементы матрицы, обратной матрице Поэтому формула (59.07) в развернутом виде гласит

При рассмотрении комплексных случайных величин нужно иметь в виду, что в силу формул (58.14) и (58.18) мы имеем

поэтому, определяя плотность вероятности для комплексных величин так, что есть вероятность того, что эти величины попадают в соответствующий элемент многомерного пространства, мы получим вместо выражения (59.01) следующую, формулу:

С помощью унитарного преобразования

коэффициенты которого по определению удовлетворяют соотношениям

мы можем привести эрмитову матрицу к главным осям

причем

Вводя вещественные переменные по формулам

мы будем иметь

откуда, пользуясь формулами (59.06), получаем

так что

Соотношение (59.08) справедливо и для унитарных преобразований, а

Поскольку

то матрица обратна матрице и плотность вероятности для комплексных нормальных величин равна

Если по формулам (58.14) и (59.14) вернуться к вещественным случайным величинам и представить эрмитову матрицу в виде

то плотность вероятности будет равна

Заметим, что если мы имеем нормальных случайных величин то введением дополнительных случайных величин удовлетворяющих условиям (58.12), можно всегда прийти к комплексным

нормальным величинам рассмотренного выше типа. При этом коэффициенты можно выбирать различным образом. Если, например, считать то величины (58.22) будут вещественными. В § 43 мы имели дело со случаем, когда выбор комплексных чисел подсказывался общей формулой для корреляционной функции, полученной ниже в § 69.

Формула (59.13) дает Я-мерное распределение Гаусса для вещественных случайных величин, формула (59.26) — для комплексных.

С точки зрения теории вероятностей значение гауссовых случайных величин определяется тем, что величины, каждая из которых является суммой достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, имеют распределение, близкое к гауссовому. В теории вероятностей исследуются условия, при которых гауссово распределение (59.13) является предельным в этом смысле.