§ 20. ГРЕБЕНЧАТЫЙ ФИЛЬТР И СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР (КОРРЕЛЯТОР) ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАДИОИМПУЛЬСОВ

В данном параграфе мы рассмотрим последовательность прямоугольных радиоимпульсов. Возьмем сначала один импульс, заданный следующим образом:

Здесь несущая частота, А — амплитуда импульса и его длительность. Спектральная амплитуда одиночного импульса равна

или

Графическое изображение этой функции дано на рис. 20 для положительных частот При получим такую же кривую, поскольку

Эти соотношения мы уже использовали в § 17.

Рис. 20. Спектральная амплитуда прямоугольного радиоимпульса.

Импульс (20.01) симметричен относительно момента Беря прямоугольный импульс более общего вида

мы вместо выражения (20.03) получим

Если прямоугольные импульсы возникают беспорядочно, то мы получаем случайный процесс со спектральной интенсивностью

как это показано в § 12: параметр а равен среднему числу импульсов, возникающих в единицу времени. Соотношение (20.07) применимо к случаю, представляющему интерес для радиолокации, когда импульсы появляются периодически (с периодом повторения 71), но каждый раз со случайной фазой не зависящей от фаз всех остальных импульсов. В этом случае говорят о последовательности некогерентных импульсов. Если любое расположение этой последовательности на оси времени имеет одинаковую вероятность, то эта последовательность имеет спектральную интенсивность (20.07) с коэффициентом

и корреляционную функцию

как это следует из формул (17.05) — (17.08). Соотношения (20.07) — (20.09) пригодны для любой бесконечной последовательности некогерентных сигналов, но для прямоугольного импульса (20.01) и формула (20.09) дает

где интегралом от мы пренебрегли, поскольку он по порядку величины в раз меньше учтенного, а произведение предполагается большим — в радиоимпульсе содержится много периодов высокой частоты. Окончательно имеем

где есть энергия импульса, определенная формулой (17.34). Таким образом, ввиду некогерентности различных импульсов корреляция в данном случайном процессе простирается лишь на промежутки времени порядка (рис. 21).

Рис. 21. Корреляционная функция прямоугольного радиоимпульса.

Найдем теперь спектральное разложение бесконечной периодической последовательности когерентных импульсов, т. е. будем считать, что формула (20.01) применима в пределах период повторения) и вне этого интервала функция продолжается периодически. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье

коэффициенты которого будут равны

Сравнивая эту формулу с формулой (20.02), мы можем написать

где

есть частота повторения.

Коэффициент дает вес гармоники, т. е. он показывает, какая амплитуда приходится на долю частоты

Рис. 22. Спектральные коэффициенты для бесконечной периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов:

Если отвлечься от множителя то можно построить как показано на рис. 22: по отношению к линейчатому спектру периодической последовательности импульсов функция спектральная амплитуда одиночного импульса такой же формы (см. рис. 20) — является своего рода "спектральной огибающей". Спектральные линии расположены весьма часто, так как

Интересно рассмотреть еще спектр конечной последовательности периодических радиоимпульсов. Такой сигнал будет разлагаться в интеграл Фурье и иметь непрерывный

спектр. Но при увеличении числа импульсов энергия импульсов будет концентрироваться вблизи частот Представим себе, что имеется импульсов, периодически следующих за импульсом (20.01). Вычислим функцию для такой последовательности:

Выражение в квадратных скобках является геометрической прогрессией. Оно равно

и, значит,

Это выражение показывает, что

где любое целое число, потому что при множитель обращается в нуль. При имеем

или

где — коэффициент Фурье, определенный формулой (20.14)

Более наглядно спектральную амплитуду периодической последовательности импульсов можно записать с помощью теоремы (19.16). В самом деле, перенося начало отсчета времени, мы можем последовательность импульсов заключить в интервал

причем величина (19.14) будет равна

Формулы (20.19) и (20.21) показывают, что

поэтому формула (19.16) принимает вид

Данная формула показывает, что в случае конечной последовательности радиоимпульсов каждая спектральная линия расплывается (по сравнению с бесконечной последовательностью) по закону где Чем больше тем острее становится функция В пределе получаем дискретный спектр, как на рис. 22, при

(кликните для просмотра скана)

будет спектр одиночного импульса (рис. 20). На рис. 23, а изображен промежуточный случай, когда

Поскольку при больших спектр конечной последовательности имеет квазилинейчатый вид, то для пропускания полезного сигнала без заметной потери энергии и без заметного искажения и вместе с тем для максимального снижения интенсивности помех нужно взять фильтр, частотная характеристика которого имеет вид гребня (см. рис. 23, б). Высота «зубьев» одна и та же, ширина также (она зависит от Середина каждого зуба приходится на одну из частот хсоь Это — так называемый гребенчатый фильтр.

Согласованный фильтр является некоторой модификацией гребенчатого. В согласованном фильтре зубья не одинаковы по величине и не имеют прямоугольной формы, а воспроизводят форму спектральной амплитуды полезного сигнала (рис. 23, б).

Согласованный фильтр в противоположность гребенчатому фильтру сильно искажает полезный сигнал, зато дает возможность получить на выходе большее отношение сигнал/помеха, чем гребенчатый фильтр, а именно дает выигрыш, равный 4,3 дб. Это число получено Джорджем и Заманакосом в предположении, что ширина зубьев Гребенок чатого фильтра взята равной и что частотная характеристика согласованного фильтра отлична от нуля только в пределах этих зубьев (рис. 23, в). При точном выполнении согласованного фильтра его частотная характеристика должна воспроизводить спектр полезного сигнала (рис. 23, а) и, в частности, обращаться в нуль только, в отдельных точках, а не в интервалах, однако «неоптимальность» фильтра, изображенного на рис. 23, в, лишь весьма незначительно уменьшает его эффективность.

Выше мы рассмотрели работу согласованного фильтра с частотной точки зрения (рис. 23). Для изучения того же вопроса с временной точки зрения нужно иметь в виду, что согласованный фильтр является коррелятором и образует функцию

(ср. § 17 и § 18), где есть «стандартный» зондирующий сигнал, состоящий в данном случае из когерентных радиоимпульсов, принятая функция за периодов

повторения. Выражение (20.26) можно также переписать в виде

где через обозначен радиоимпульс, в соответствии с формулами (20.01) и (20.16) равный

Таким образом, работа согласованного фильтра или коррелятора сводится к следующим операциям.

1. Умножение на при различных сдвигах Эта операция может быть легко произведена с помощью когерентного (фазового) детектора, как раз осуществляющего перемножение косинусоидального напряжения (с несущей частотой и входного напряжения

2. Интегрирование произведения по интервалу времени Такое интегрирование (или усреднение во времени) производит линейный фильтр, пропускающий только достаточно низкие частоты и поставленный в схеме, как это обычно и делается на Практике, за когерентным детектором. Отметим, что действие «усредняющего» фильтра не совсем эквивалентно интегрированию по вполне определенному интервалу однако ведь и наличие импульсов строго прямоугольной формы и продолжительности То также является теоретической идеализацией.

3. Суммирование или накопление полученных значений за периодов повторения. Эта операция опять приводит к формуле (18.05), показывающей увеличение отношения сигнал/шум по мощности за счет накопления. Отношение

сигнал/шум после всей обработки определяется формулой (17.15).

Совокупность всех трех операций можно назвать когерентным накоплением (в отличие от некогерентного накопления в видеоканале, описанного в § 18). Мы видели, что когерентное накопление легко осуществляется обычными радиотехническими средствами.

В радиолокации даже в случае одного неподвижного отражающего объекта принимаемые импульсы обычно не образуют строго периодической последовательности в силу того, что высокочастотные фазы излученных импульсов случайным образом меняются от импульса к импульсу. Поэтому согласованный фильтр в цепи высокой или промежуточной частоты радиолокационного приемника можно осуществить лишь при когерентном детектировании, использующем колебание с несущей (или промежуточной) частотой и с фазой, соответствующей фазе излученного импульса; благодаря когерентному детектору все происходит так же, как если бы излучалась строго периодическая последовательность радиоимпульсов, в которой каждый импульс имеет одну и ту же фазу. Остальные операции должны быть такими же, как описано выше.

Быстрое движение отражающего объекта (например, самолета) чрезвычайно усложняет техническое осуществление когерентного накопления. С частотной точки зрения при конструировании гребенчатых или согласованных фильтров нужно учесть смещение частоты принимаемого сигнала из-за эффекта Допплера; для разных частот приходится применять различные фильтры, причем эти фильтры должны быть расположены на шкале частот тем чаще, чем длительнее интервал времени, в течение которого производится накопление. С временной точки зрения нужно для каждой цели, движущейся с постоянной радиальной скоростью, производить обработку принятой функции не по формуле (20.27), а по формуле

где

есть импульс из последовательности импульсов, отраженных от движущегося объекта, а есть дополнительная разность фаз между импульсами, обусловленная этим движением. Легко показать, что

где I есть смещение частоты из-за эффекта Допплера (ср. гл. XI).

Необходимость применения различных операций при разных (и, вообще говоря, неизвестных) значениях т. е. осуществление «многовариантного» когерентного детектирования, приводит к чрезвычайно громоздкой схеме приемника.