§ 29. АПОСТЕРИОРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРАВДОПОДОБИЯ

Вычислим апостериорные вероятности, получающиеся в результате приема, для чего воспользуемся некоторыми формулами теории вероятностей. Известно, что вероятность совместного наступления событий А и B, записываемая как удовлетворяет следующему соотношению:

где вероятность события вероятность события В при условии, что событие А произошло; символы и имеют аналогичный смысл. Соотношение (29.01) можно переписать так:

Пусть имеется полная система несовместимых событий

т. е. таких событий, что одно из них непременно должно произойти, а сразу несколько событий произойти не может. Если В есть событие, которое может произойти только совместно с любым из событий системы (29.03), то для вероятности мы имеем выражение:

называемое формулой полной вероятности.

Если известно, что событие В произошло, то естественно возникает вопрос, совместно с каким событием произошло событие В. События (29.03) в этом случае называются гипотезами, вероятности которых необходимо определить. Из формул (29.02) и (29.04) мы получаем выражение

которое называется формулой Байеса или формулой обратных вероятностей. Так как гипотезы образуют полную систему, то для вероятностей имеем следующее контрольное равенство:

Вероятности, входящие в формулу (29.05), имеют следующие специальные названия: априорная

вероятность гипотезы ее вероятность до опыта; апостериорная вероятность гипотезы вероятность гипотезы после опыта — после того, как событие В совершйлось; функция правдоподобия.

Применим выписанные выше формулы к вычислению апостериорной вероятности присутствия полезного сигнала в принятой функции В нашем случае событие В есть появление на входе приемника функции событие А — наличие в нем полезного сигнала Апостериорная вероятность будет равна

где априорная вероятность появления полезного сигнала (вероятность до приема); функция правдоподобия [условная вероятность принять функцию при наличии полезного сигнала априорная вероятность принять функцию апостериорная вероятность наличия полезного сигнала в принятой функции ((вероятность после приема).

Рассмотрим вид выражения (29.07) в случаях, предусмотренных классификацией в конце § 28.

1. Простое обнаружение — полезный сигнал полностью известен. Принятая функция может иметь двоякое происхождение: а) функция образована одной помехой, функция является смесью полезного сигнала и помехи, Тогда вероятность сложного события можно записать в виде

где априорная вероятность появления полезного сигнала условная вероятность при наличии априорная вероятность отсутствия полезного сигнала, условная вероятность при отсутствии

Общую формулу (29.07) можно переписать с учетом (29.08) следующим образом:

где величину

мы будем называть коэффициентом правдоподобия.

Коэффициент правдоподобия определяет также апостериорную вероятность отсутствия полезного сигнала

причем отношение апостериорных вероятностей (29.09) и (29.11) равно

2. Сложное обнаружение — полезный сигнал имеет неизвестный параметр 6, который не измеряется. При сложном обнаружении принятая функция может реализоваться следующим образом: а) она состоит из одной помехи, она является суммой полезного сигнала с каким-то определенным значением неизвестного дискретного параметра и помехи, Тогда вероятность сложного события можно записать так:

где - вероятность того, что полезный сигнал есть и имеет параметр условная вероятность приема функции при наличии в ней полезного сигнала с параметром Суммирование в формулах (29.13) производится по всем возможным дискретным значениям параметра Если неизвестный параметр может принимать непрерывную совокупность значений, то вместо вероятностей нужно ввести плотность вероятности и в формулах (29.13) заменить суммы на интегралы. Тогда получим

где есть вероятность того, что полезный сигнал есть и имеет параметр в интервале , а интегрирование производится по всем возможным значениям .

Условие нормировки можно записать в виде

где

Величина есть вероятность появления полезного сигнала. Плотность вероятности можно также представить в виде

где есть условная вероятность того, что полезный сигнал имеет параметр в интервале при условии, что он присутствует. Плотность условной вероятности удовлетворяет соотношению

Апостериорная вероятность наличия полезного сигнала с параметром равна

Ввиду того, что неизвестный параметр 6 нас не интересует, мы образуем апостериорную вероятность наличия полезного сигнала

Если параметр принимает непрерывную совокупность значений, то последняя формула приобретает вид

или

причем А есть коэффициент правдоподобия, равный

где

В формулах (29.22) — (29.24) мы различаем величину и коэффициент правдоподобия получаемый в результате интегрирования (или суммирования) по всем возможным значениям 6. Если мы имеем несколько неизвестных параметров то в предыдущих формулах интегралы по 0 нужно заменить кратными интегралами.

С помощью коэффициента правдоподобия А мы записали апостериорную вероятность при сложном обнаружении в таком же виде, что и при простом формулы (29.09) и (29.22)], однако сам коэффициент А теперь вычисляется по более сложной формуле (29.23).

Следует также иметь в виду, что вероятности обычно равны нулю, а при вычислении коэффициентов правдоподобия нужно раскрывать неопределенности следующим образом:

т. е. брать вместо равных нулю вероятностей соответствующие плотности вероятностей

3. Простое измерение — сигнал с неизвестным параметром, который измеряется. Считая, что параметр меняется непрерывно, мы можем записать вероятность появления функции как и при сложном обнаружении, в виде

где имеют тот же смысл, что и аналогичные выражения при сложном обнаружении.

При измерении нас интересует вопрос о том, присутствует ли во входном сигнале полезный сигнал или нет, а если присутствует, то что можно сказать об его неизвестном параметре х. В результате приема мы цаходим плотность апостериорной вероятности для всех возможных значений измеряемого параметра

С учетом формул (29.26) мы получаем следующее выражение для апостериорной плотности вероятности

являющейся функцией х причем

и

4. Сложное измерение — сигнал с неизвестными параметрами и , из которых параметр х измеряется, а параметр не измеряется; возможные значения образуют непрерывную совокупность. Вероятность появления функции в этом случае равна

причем обозначения понятны из предыдущего.

Так как интересует параметр х и не интересует параметр мы должны образовать плотность апостериорной вероятности для параметра х

произведя интегрирование по всем возможным значениям параметра 6. Иначе можно написать

где обозначено

В данной задаче, таким образом, приходится различать три величины: причем есть коэффициент правдоподобия при измерении параметров и коэффициент правдоподобия при измерении одного параметра коэффициент правдоподобия при сложном обнаружении сигнала .

Если параметры х и 0 независимы, то

и формула (29.34) несколько упрощается:

Вышеприведенные формулы дают возможность найти вид оптимального приемника, если известны статистические свойства помехи и неизвестных параметров полезного сигнала Прежде чем приступить к соответствующим вычислениям, мы в следующем параграфе рассмотрим вопрос об априорных вероятностях.

Заметим в заключение что в литературе иногда коэффициенты правдоподобия и т. д. вводятся по формулам

не включающим априорных вероятностей . В этом случае выписанные выше формулы имеют несколько иной вид.