§ 46. РАЗЛИЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧАХ ОБ ОБНАРУЖЕНИИ НЕКОГЕРЕНТНОЙ ПАЧКИ

На основании формул, полученных в предыдущих параграфах, можно произвести ряд расчетов, относящихся к некогерентным радиолокаторам. Наиболее простые результаты при этом получаются, если рассматривать обнаружение быстро мерцающей цели по величине

величина как при наличии, так и при отсутствии сигнала имеет распределение степенями свободы.

Напомним, что есть число периодов повторения — число импульсов или других сигналов, по которым мы должны обнаружить цель. Ясно, что при увеличении распределение величины должно стремиться к нормальному в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если воспользоваться нормальным распределением при конечных значениях как некоторой аппроксимацией, допустимость которой затем проверяется более точным вычислением, то получаются, как правило, весьма простые соотношения, позволяющие легко разобраться в существе дела.

В качестве примера мы рассмотрим следующий вопрос: какое число зондирующих сигналов является оптимальным для обнаружения быстро мерцающей цели, при фиксированной суммарной (полной) энергии всех сигналов? Иначе говоря, на какое число периодов повторения наиболее выгодно распределить заданную энергию, чтобы наилучшим образом обнаружить цель?

Поскольку параметр пропорционален энергии полезного сигнала за один период повторения, полная энергия пачки пропорциональна величине

которая по условию задачи фиксирована, так как уровень помех постоянен. Задана также вероятность ложной тревоги и надо найти значение при котором вероятность правильного обнаружения максимальна.

Поскольку есть, очевидно, монотонно возрастающая функция можно поставить задачу несколько иначе: задать и искать при котором необходимое значение минимально.

Нормальная аппроксимация распределения (45.02) определяется первым и вторым моментами случайной величины При отсутствии сигнала имеем:

причем первое соотношение вытекает из формул (45.01), а второе — из тождеств

являющихся, в сущности, частными случаями формулы (35.30). Они дают

откуда и получается вторая формула (46.03). Поэтому в отсутствие полезных сигналов распределение равно

так что вероятность ложной тревоги равна

При наличии полезного сигнала в формулах (46.04) нужно заменить на так что формулы (46.03) принимают вид

и вместо функции распределения (46.06) мы получаем

Вероятность правильного обнаружения будет равна

При заданных пределы а и также заданы, однако в силу формулы (46.02) между ними существует следующая связь

откуда

что и дает нам зависимость от Минимум достигается при

т. е. при

Мы видим, что экстремум достигается лишь при т. е. при что мы и будем предполагать в дальнейшем. Соответствующее значение равное

как легко проверить, действительно соответствует минимальному значению величины (46.12), равному

так что если, например, взять

то

В предыдущих рассуждениях мы считали непрерывным параметром; фактически, разумеется, в формулах (46.14) и (46.15) нужно брать ближайшее целое значение.

Наличие минимума у функции легко понять.

Действительно, достоверное обнаружение мерцающей цели по одному сигналу требует больших поскольку всегда есть опасность получить малую амплитуду полезного сигнала (ср. § 32). Увеличение при уменьшении передает и формула (46.12), хотя при малых она неприменима. Вероятность появления малых амплитуд во всей пачке из независимо флюктуирующих сигналов тем меньше, чем больше поэтому при увеличении величина сигнала уменьшается. Однако при слишком сильном "раздроблении" энергии паоаметр опять начинает расти, так что согласно формуле (46.12)

Это объясняется тем, что при достаточно больших личина для каждого сигнала в пачке становится малой и наступает явление подавления слабого сигнала сильным шумом (ср. § 18, 33 и 38). Это подавление характерно для некогерентного радиолокатора, в котором сигналы со случайными фазами детектируются и лишь затем суммируются.

Если следовательно, то по формуле (46.15) оптимальное значение стремится к нулю и само наше рассмотрение (правильное лишь при больших становится сомнительным. При когда уравнение (46.14) вообще не имеет корней, так что, по крайней мере при больших величина есть монотонно возрастающая функция В этом случае оптимальным является значение поскольку недостоверное обнаружение мерцающей цели вероятностью по одному сигналу требует согласно «§ 34 сравнительно малых значений Если достаточно велико (скажем, то точность распределения (46.06) является неравномерной: при увеличении формула (46.06) по отношению к точной формуле (45.02) дает все большую погрешность. Это

видно хотя бы из того, что по точной формуле должно быть

в то время как нормальная аппроксимация (46.05) приводит для отрицательных к малым, но конечным значениям Поэтому вычисление весьма малых и весьма близких к единице по формулам (46.07) и (46.10) приводит к весьма грубым результатам. Подобное обстоятельство было уже отмечено в § 35.

На рис. 42—45 изображена зависимость от при фиксированных значениях вычисленная по формулам (45.03) и (45.04) и таблицам распределения Мы видим, что зависимость от качественно согласовывается с тем, что мы получили из нормального распределения, однако количественное соответствие имеет место не всегда.

Для пачки сигналов с постоянной (нефлюктуирующей) амплитудой согласно формулам (38.30) и (38.32) мы получаем

Сравнивая выражения (46.08) и (46.21), мы видим, что при они созпадают, если их выразить через параметр определенный формулой (45.23). Это совпадение объясняет сближение сплошных и пунктирных кривых на рис. 40, а при о чем мы уже говорили в предыдущем параграфе.

Пределы в формулах (46.07) и (46.10) для пачки сигналов с постоянной амплитудой равны

Исключая отсюда величину получаем выражение

которое в отличие от выражения (46.12) является монотонно возрастающей функцией Таким образом, при

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

постоянстве амплитуды наиболее выгодно концентрировать всю энергию в одном сигнале, некогерентное «дробление» энергии всегда приводит к потерям (ср. § 38 и рис. 33—36). Заметим, что наиболее точные результаты формула (46.23) дает, если не считать величину а постоянной, а вычислять ее по первой формуле (46.22). Таким путем и были рассчитаны сплошные кривые на рис. 33—36.

Рассмотрим в заключение некогерентную пачку сигналов от медленно мерцающей цели, т. е. сигналы, имеющие одинаковую, но случайную амплитуду распределенную по закону Релея (44.01). При фиксированном значении выражения (46.21) изменяются следующим образом:

Производя дополнительное усреднение по и пользуясь соотношениями

мы получаем выражения

отличающиеся от соответствующих выражений (46.08) и тем, что дицперсия величины теперь содержит член, пропорциональный Формулы (46.26) можно также вывести, исходя из функции распределения (45.07). Они показывают, что функция распределения является при больших сравнительно «тупой», и поэтому даже приближенно вероятность с помощью нормального распределения рассчитывать нельзя.

Для расчета вероятности правильного обнаружения можно, однако, воспользоваться аппроксимацией, непосредственно подсказываемой рис. 40, б: три изменении в определенной пропорции (на 1 дб при D = 0,5 и на 9 дб при D=0,9) соответствующие сплошные и пунктирные кривые практически совпадают. Благодаря этому обстоятельству из рис. 33—36 нетрудно получить характеристики обнаружения медленно мерцающей цели. Необходимые сдвиги по оси ординат, т. е. неизвестные изменения легко найти, определяя сдвиг начальной точки по рис. 31, относящемуся к одиночному сигналу с неизвестной амплитудой и фазой.

Данный рецепт приближенного построения характеристик обнаружения медленно мерцающей цели основан, в сущности, на том, что потери на некогерентное «дробление» энергии для постоянной и медленно мерцающей целей практически совпадают. Для проверки этого рецепта можно воспользоваться приближенной формулой

вытекающей из точного выражения (45.08) при условии, что параметр близок к единице; тогда первое слагаемое в правой части формулы (45.08) можно заменить нулем, а во втором взять интеграл в пределах и мы получим формулу (46.27), абсолютная погрешность которой по порядку величины равна вероятности ложной тревоги. Логарифмируя формулу (46.27) и пользуясь приближенным выражением

мы получаем простую формулу

которая в сочетании с формулой (46.07) упрощается следующим образом:

Из последней формулы видно, что есть монотонно возрастающая функция так что дробление энергии, как и в случае постоянной цели, всегда ведет к потерям.

Для количественных расчетов целесообразно пользоваться формулой (46.29). На рис. 46—49 сплошными линиями изображены характеристики обнаружения медленно мерцающей цели, вычисленные по формуле (46.29), а пунктирными — характеристики, построенные по указанному выше приближенному рецепту. Мы видим, что оба способа приводят к достаточно близким результатам.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)