§ 68. ЯВЛЕНИЕ ДОППЛЕРА

При рассеянии электромагнитных волн на движущемся теле ее частота изменяется благодаря явлению Допплера. Поскольку в учебниках физики явление Допплера рассматривается обычно для воли, излучаемых (а не рассеиваемых) движущимся телом, мы рассмотрим здесь для полноты явление Допплера в радиолокации. При этом мы будем пользоваться основными положениями теории относительности и лишь потом рассмотрим более элементарный вывод.

Пусть в системе координат х, у, z наблюдается некоторое отражающее тело К, движущееся с постоянной скоростью Совместим с телом К систему координат не ограничивая себя в общности, мы можем считать, что ось х направлена параллельно скорости тела и параллельно оси оси у и также параллельны. Преобразование Лоренца связывает между собой координаты и время в неподвижной системе с координатами и временем в системе, движущейся вместе с телом К

где

При этом предполагается, что в момент начала отсчета времени начала координатных систем х, у, z и х, у, z совпадают. Обратное преобразование Лоренца имеет вид

Пусть передающая антенна А, жестко связанная с системой х, у, z, облучает монохроматической электромагнитной волной тело К. На достаточно большом расстоянии антенны эту волну можно рассматривать как плоскую. Если ось у выбрать так, чтобы направление распространения этой волны лежало в плоскости то фаза волны будет равна

Рис. 59. К расчету явления Допплера.

Эта величина остается инвариантной при преобразовании Лоренца, поэтому в системе будем иметь

Приравнивая выражения (68.04) и (68.05) и пользуясь формулами (68.03), получаем

и

Последнее соотношение дает нам частоту волны в движущейся системе координат. Исключая из соотношений (68.06) , получаем

Падающая волна с фазой (68.05) рассеивается на теле неподвижном в системе координат Если рассматривать рассеянную волну, распространяющуюся в плоскости у под углом к оси то в достаточном удалении от тела К она является плоской волной с фазой

1 В системе координат х, у, z эта фаза представляется в виде

Сравнивая эти выражения и применяя преобразования Лоренца (68.01), получаем

и

Соотношения (68.11) дают

поэтому формулу (68.12) можно переписать в виде

Используя формулу (68.07), окончательно получаем выражение для частоты волны, приходящей к приемной антенне

Если передающая антенна А совмещена с приемной антенной В, то и

Мы видим, что в этом случае изменение частоты определяется радиальной составляющей скорости, поскольку (ср. рис. 59)

При мы имеем т.е. частота не изменяется.

При формулу (68.16) можно переписать в более простом виде

Дадим теперь элементарный, хотя и нестрогий вывод формулы (68.16) при Для этого рассмотрим отражение плоской волны

распространяющейся в направлении оси х, от ллоского идеально проводящего зеркала, перпендикулярного оси х и движущегося со скоростью вдоль нее, так что в момент зеркало имеет абсциссу

Волну, отраженную от зеркала, мы будем искать в виде

с неизвестной частотой со. Поскольку на зеркале должно выполняться граничное условие

мы приходим к соотношению

которое может удовлетворяться при любых если только частота отраженной волны равна

что полностью согласуется с формулой (68.16). Последнюю формулу можно получить и при заставляя зеркало двигаться в отрицательном направлении оси

следовательно, заменяя в формуле на , а в формуле на Наконец, при движении зеркала перпендикулярно к оси х, когда оно остается в одном и том же положении на оси х, изменения частоты при отражении происходить не должно, в полном соответствии с формулой (68.16).

Явление Допплера для немонохроматических волн рассмотрено в приложении IV.