ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРИЕМНИКОВ

ГЛАВА V. ПРИЕМ КАК СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

§ 28. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ХАРАКТЕР ПРИЕМА

Прием полезных сигналов при наличии случайных помех всегда дает нам сведения, имеющие вероятностный характер, и лишь при достаточно малой интенсивности случайных помех эти вероятностные сведения становятся практически достоверными.

Действительно, на фоне случайных помех (шумов) обнаружить полезные сигналы и различить их тем труднее, чем интенсивнее этот фон. Шумовой фон маскирует полезные сигналы, накладываюсь на них случайным образом и делая необходимым некоторое «угадывание», в результате чего сигнал может быть принят за другой сигнал или вообще пропущен, а сильный выброс шума принят за полезный сигнал. Но даже тогда, когда полезный сигнал обнаружен правильно, измерение его параметров вследствие помех производится с той или иной ошибкой.

Случайный характер собственных шумов приемника и других помех, а также зависимость полезного сигнала от случайных параметров заставляют нас анализировать прием с помощью статистических методов.

Статистическая теория приема рассматривалась впервые В. А. Котельниковым, Ф. Вудвордом, И. Дэвисом, Д. Мидлтоном и др. авторами. Главной проблемой этой теории является нахождение наилучшего (оптимального) способа обработки принятого сигнала, и, в частности, наилучшего способа «угадывания», о котором говорилось выше. Но что понимать под словом «наилучший»? В первой части книги мы пользовались критерием максимума отношения сигнал/помеха или же критерием минимума средней квадратичной ошибки на выходе системы. Однако эти

критерии нуждаются, в сущности, в более глубоком обосновании.

Приведем в связи с этим поучительное высказывание Вудворда: «Задачей приема является извлечение информации ,из смеси полезного сигнала и шума. По этому вопросу существует обширная литература. Значительная ее часть касается методов получения возможно большего отношения сигнала к шуму на том основании, что именно шум, в конечном счете, ограничивает чувствительность и (поэтому чем слабее шум, тем лучше. Этот подход правилен до тех пор, пока он приводит к цели, однако он не содержит постановки задачи об извлечении информации. Иногда он может ввести в заблуждение, так как не существует общей теоремы, утверждающей, что максимальное отношение сигнала к шуму на выходе обеспечивает максимальное извлечение информации».

Как мы увидим ниже, в статистической теории приема также фигурирует параметр, играющий роль отношения сигнал/помеха и определяющий характеристики оптимального приемника. Однако здесь этот параметр занимает более скромное положение, поскольку выбор оптимального приемника производится без его помощи.

Статистическая теория приема исходит из следующей постановки задачи.

Пусть входной процесс

состоит из полезного сигнала и помехи данных в виде функций времени в свою очередь, помеха может состоять из помех различного типа (собственные шумы приемника, отражения от хаотически расположенных частиц и т. д.). Мы будем в дальнейшем рассматривать случаи, когда имеется вероятность того, что полезный сигнал отсутствует. Тогда вместо формулы (28.01) будем иметь

т. е. входной процесс сводится к одной помехе.

Оптимальным приемником мы назовем устройство, которое при подаче на его вход функции образует на выходе условные вероятности интересующих нас событий т. е. вероятность присутствия полезного сигнала и вероятность его отсутствия при условии, что нам известна фуцкция процесс на входе

приемника. В задачах о различении нескольких или многих полезных сигналов на фоне помех оптимальный приемник должен образовывать более богатый набор условных вероятностей (ср. гл. VIII).

Условные вероятности д. называют вероятностями апостериорными, или вероятностями после проведения опыта, подчеркивая тот факт, что они являются вероятностями, основанными на результатах опыта, в данном случае на известной функции Обычно вводят также априорные вероятности или вероятности появления и отсутствия полезного сигнала при приеме, характеризующие ситуацию до проведения опыта; эти вероятности более подробно будут рассмотрены в § 30.

Данное выше определение оптимального приемника отображает то обстоятельство, что при наличии случайных помех на основании входной функции можно говорить о наличии или отсутствии полезного сигнала или о том, что он имеет те или иные параметры, лишь с некоторыми вероятностями. Апостериорные вероятности дают наиболее полное и подробное описание результатов, к которым приводит прием. Как правило, но результатам приема приходится предпринимать определенные действия и, следовательно, принимать решения, которые используют апостериорные вероятности лишь частичным, неполным образом, например, считают наиболее вероятное событие действительно наступившим или применяют какую-либо другую схему решения (см. § 30). Вопрос о выборе оптимального правила решения («угадывания») или оптимальной схемы, принимающей, например, решение о наличии или отсутствии полезного сигнала, является более сложным, поэтому мы начнем изложение с исследования оптимального приемника, образующего апостериорные вероятности.

При приеме возникают две задачи:

1) оптимальное обнаружение полезного сигнала на фоне помех,

2) оптимальное измерение некоторых параметров полезного сигнала при наличии помех.

Полезный сигнал зависит от времени и ряда параметров. Разделим эти параметры на три группы:

1. Известные параметры, которые мы. будем обозначать самой буквой они определяют, в частности, фюрму сигнала или же его статистические свойства, если

есть случайная последовательность или случайный процесс.

2. Неизвестные параметры, которые мы измеряем при приеме; для радиолокационного сигнала к ним относятся, например, дальность цели, азимут цели и т. д. Такой параметр мы обозначим буквой (в случае нескольких таких параметров х заменяет группу символов

3. Неизвестные параметры, которые мы не измеряем при приеме; в радиолокации к ним, относятся, например, высокочастотная фаза сигнала и его флюктуирующая амплитуда. Такой параметр -или группу таких параметров) мы обозначим буквой 0.

Итак, полезный сигнал в общем случае имеет вид:

Помеху на входе приемника мы будем считать случайным процессом с известными статистическими свойствами.

Пользуясь обозначением (28.03), можно дать следующую классификацию функций, которые должен выполнять приемник.

1. Простое обнаружение — обнаружение полностью известного полезного сигнала на фоне помехи.

2. Сложное обнаружение — обнаружение сигнала с неизвестными параметрами без измерения последних.

3. Простое измерение — обнаружение сигнала и измерение его неизвестных параметров

4. Сложное измерение — обнаружение сигнала с измерением его неизвестных параметров

Заметим, что в радиолокации всегда осуществляется сложное измерение. Однако, начиная теоретическое исследование с самых простых случаев, можно лучше понять более сложные проблемы, возникающие на практике.