ГЛАВА VIII. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА ПРИ НАЛИЧИИ ПОМЕХ

§ 50. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРА ПО МАКСИМУМУ АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

В предыдущих главах мы рассматривали различные случаи обнаружения полезного сигнала на фоне помех. Задача об измерении параметров полезного сигнала при наличии помех исследуется в рамках той же статистической схемы, изложенной в главе V, но имеет ряд особенностей. Чтобы не создавать лишних трудностей, мы отделим сначала проблему измерения от проблемы обнаружения и будем считать, что полезный сигнал присутствует, так что априорные вероятности наличия и отсутствия полезного сигнала равны

и требуется измерить параметр сигнала

Эта постановка задачи соответствует "чистому" измерению, для которого формулы (29.28)-(29.30) принимают

где

есть коэффициент правдоподобия, отличающийся от апостериорной плотности вероятности только множителем не зависящим от

Согласно гл. V оптимальный приемник, производящий измерение параметрах, должен образовывать апостериорную плотность вероятности или же коэффициент правдоподобия (являющийся при чистом измерении ненормированной плотностью вероятности). На основании этих вероятностных данных приходится принимать решение и указывать какое-то определенное значение параметра как результат измерения. Схему, принимающую это решение, можно считать включенной в оптимальный приемник (ср. § 30).

Наиболее вероятное значение х, т. е. такое значение х, при котором плотность вероятности и коэффициент правдоподобия максимальны, естественно определить как результат измерения и считать "измеренным“ значением х.

Рассмотрим простейшие следствия, вытекающие из этого определения.

При нормальных помехах коэффициент правдоподобия равен

Легко показать, что отыскание наиболее вероятного значения х приводит к некоторому обобщению метода наименьших квадратов. Действительно, пусть сначала помеха является некоррелированной, так что при кроме того, все элементы равцы. Тогда максимум достигается (при когда выражение

минимально. В общем случае вместо выражения (50.05) нужно брать квадратичную форму, учитывающую корреляцию помех

а также учитывать и априорное распределение Если имеется еще неизвестный параметр то коэффициент правдоподобия вычисляется по формуле (29.34).

В качестве примера рассмотрим измерение неизвестной амплитуды а сигнала известной формы

Пусть амплитуда а распределена по нормальному закону

Если перейти к выборкам функций в моменты обозначая

и считая выборки помех в моменты независимыми, причем

то можно написать плотность распределения случайных величин в виде

Поэтому коэффициент правдоподобия равен [ср. (32.03)]

где величины и равны

Учитывая формулу (50.08), запишем коэффициент правдоподобия в виде

Наиболее вероятное значение параметра а обозначим через а. В соответствии со сказанным выше, при функция максимальна, поэтому а определится из уравнения

откуда

Важным свойством величины а по формуле -является то, что она является линейной функцией входных данных

В данной задаче роль отношения сигнал/помеха играет параметр

Если он велик, то формула (50.16) принимает вид

так что наиболее вероятное значение а не зависит от параметра характеризующего априорное распределение (50.08).

Представим в виде

Формула (50.19) показывает, что апостериорное распреде ление величины а также является гауссовым, причем среднее значение этого распределения является случайным и

равно , а дисперсия от случайных величин не завнёй? и равна

Исследуем статистические свойства случайной величины а. Усредняя по помехе, мы получим

и поэтому

Следовательно, а является (при фиксированном а) нормальной случайной величиной, распределение которой равно

Таким образом, величина а имеет математическое ожидание а, смещенное относительно истинного значения неизвестного параметра а на величину

зависящую от самого параметра а. Дисперсия а определяется второй формулой (50.22); она не зависит от измеряемого параметра а. Удобно вместо двух дисперсий ввести понятие средней квадратичной ошибки измерения определяемой формулой

В силу формул (50.23) и (50.25) имеем

Формула (50.26) показывает, Что средняя квадратичная ошибка измерения в общем случае больше дисперсии и только при достигая своего минимума, становится ей равной. Усредняя Да по случайному параметру а, получаем

т. е. средний квадрат ошибки, усредненный по всем возможным значениям параметра а, равен дисперсии (50.20) апостериорного распределения.

Рассмотрим апостериорное распределение (50.19) при больших и малых значениях отношения сигнал/помеха При имеем

и дисперсия

не зависит от неизвестного параметра а и от т. е. от априорного распределения (50.08), а определяется лишь интенсивностью шумов и энергией сигнала

Апостериорное распределение при гораздо острее априорного, при этом его дисперсия равна

т. е. также не зависит от априорного распределения (50.08) и равна дисперсии (50.29).

Средняя квадратичная ошибка измерения, определяемая формулой (50.26), будет равна

Таким образом, все три средние квадратичные величины (50.29), (50.30) и (50.31) в этом случае совпадают между собой и апостериорное распределение характеризуется двумя параметрами и

При мы получаем

при любом значении а, откуда

а дисперсия

Дисперсия же апостериорного распределения при будет равна

т. е. апостериорное распределение имеет ту же дисперсию, что и априорное. Легко видеть, что в этом случае все апостериорное распределение воспроизводит априорное распределение практически без изменений, так что никакой новой информации процесс измерения не дает.

Средняя квадратичная ошибка измерения в этом случае равна

а ее усредненное значение

Формулы (50.36) и (50.37) также характеризуют плохое качество измерения.

В принципе можно было бы использовать при любых в качестве измеренного значения а величину а, определяемую формулой (50.18), которая, как уже было указано, не зависит от параметра Тогда при любых и фиксированном значении а распределение случайной величины а, определяемой формулой (50.18), будет равно

так как величина а имеет следующие статистические свойства

Недостаток величины а, определяемой формулой (50.18) при любых состоит в том, что при дисперсия неограниченно возрастает. Кроме того, дисперсия по формуле (50.37) больше средней дисперсии по формуле (50.27). В дальнейшем мы будем считать, что измерение производится по максимуму апостериорной вероятности, поскольку преимущества других способов измерения ни в коей мере не компенсируют их недостатков.