§ 52. ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ ПОМЕХАХ

В двух предыдущих параграфах мы рассмотрели простейшие случаи измерения параметров сигнала при наличии помех. В этих случаях выполнены следующие условия: 1) измеряемые параметры имеют распределение Гаусса; 2) полезный сигнал линейно зависит от измеряемых параметров. При невыполнении этих условий задача сильно усложняется. Теоретическое исследование оптимального приемника, производящего измерение при наличии помех, было впервые проведено В. А. Котельниковым в 1946 г., причем предложенный им метод является весьма общим. В настоящем параграфе мы рассмотрим проблемы измерения параметра сигнала, следуя, в основном, работе Котельникова и лишь применяя иные обозначения; некоторое обобщение по сравнению с этой работой будет заключаться в том, что мы будем считать шомехи коррелированными.

Если полезный сигнал кроме времени зависит только от одного параметра который подлежит измерению, то для нормальных помех коэффициент правдоподобия равен

где априорная плотность вероятности параметра , а величины имеют обычный смысл

и

Здесь выборки процесса на входе приемника, выборки полезного сигнала с параметром матрица, обратная корреляционной матрице помех, элементы которой равны

Оптимальный приемник должен образовывать коэффициент правдоподобия или какую-нибудь монотонно

возрастающую функцию от этого коэффициента (в дальнейшем удобно брать , на основании чего он выдает значение х, измеренное по максимуму коэффициента правдоподобия. Ясно, что если от приемника требуется определенный ответ в виде числа, то ничего лучшего он дать не может, и нам остается только рассчитать характеристики такого приемника.

Расчет характеристик оптимального приемника, производящего измерение параметра сигнала в присутствии помех, связан с некоторыми трудностями. При слабых помехах, когда ошибки измерения малы и измеряемый параметр распределен, как и в рассмотренных выше случаях, по закону Гаусса, качество измерения можно характеризовать его средней квадратичной ошибкой (см. далее). При сильных помехах качество измерения удобно характеризовать вероятностью ошибки, превышающей некоторое заданное значение.

Начнем со слабых помех. Из соотношения (52.01) имеем

Величина х есть корень уравнения

в котором вторая производная отрицательна

Если есть несколько значений удовлетворяющих условиям (52.06) и (52.07), то следует выбрать то, для которого максимально, поскольку мы считаем, что присут ствует один полезный сигнал.

При можно разложить в ряд Тейлора

отбрасывая члены порядка и выше. Положительная величина определяется соотношением

Производя дифференцирование, получаем

причем мы использовали симметрию матрицы Окончательно

и коэффициент правдоподобия при имеет вид

Интересно отметить, что в рассмотренных ранее простых случаях эта формула была точной, и мы получали распределение Гаусса при любых Формула (52.11) при этом упростилась бы: второе слагаемое обращается в нуль так как полезный сигнал линейно зависит от измеряемого параметра), а третье есть константа (так как распределение является нормальным и квадратичная функция х). В общем случае формула (52.12) имеет ограниченное применение, однако при достаточно слабых помехах или, что то же самое, при достаточно больших отношениях сигнал/помеха формула (52.12) определяет нам практически весь апостериорный закон распределения величины х. Это закон Гаусса со средним (и наиболее вероятным) значением х и дисперсией которую при слабых помехах можно вычислять по формуле

При уменьшении интенсивности помех и при увеличении мощности сигнала эта величина неограниченно уменьшается и гауссово распределение (52.12) становится все более

«острым» и поэтому более точным, поскольку отброшенные члены играют все меньшую роль. Величина, стоящая в знаменателе формулы (52.13), всегда цоложительна [см. далее формулу (52.26)] и монотонно возрастает с увеличением амплитуды сигнала, поэтому остальными слагаемыми в правой части (52.11) можно пренебречь при достаточно больших отношениях сигнал/помеха; для слагаемого это верно потому, что оно не зависит от этого отношения, а для суммы

потому, что при этих условиях разность практически определяется помехой и, следовательно, дает меньший вклад в величину

Предположим, что истинное значение х равно так что на входе приемника имеется функция

выборки которой равны

Какая связь существует между истинным значением и измеряемым значением

Функцию (52.02) можно представить в виде

где

и

причем функция (52.18) обладает следующими свойствами:

доказательство которых не представляет труда.

Можно ожидать, при слабых помехах разность мала, поэтому в выражении для производной

при можно ограничиться нулевым и первым членом разложения Тейлора для функций

и заменить на Приравнивая выражение (52.21) при нулю, получаем для разности выражение

где

В данном приближении случайная величина является нормальной, ее среднее значение и дисперсия равны

поскольку

При достаточно большом отношении сигнал/помеха производными можно пренебречь по сравнению с величиной (52.26) и мы имеем

где величина

практически созпадает с величиной (52.13).

Условное распределение величины определяется поэтому нормальным законом

с той же дисперсией, что и в формуле (52.12).

При уменьшении отношения сигнал/помеха точность выведенных выше соотношений будет падать, и при достаточно сильных помехах они будут давать результаты, неправильные даже качественно. При сильных помехах целесообразно характеризовать качество измерения вероятностью того, что измеренное (любым способом) значение отличается от истинного по абсолютной величине больше, чем на Эта вероятность равна

где есть вероятность события при условии, что истинное значение параметра равно При написании формулы (52.30) мы использовали выражение (29.04) для полной вероятности. Переходя в первом интеграле к переменной а во втором — к переменной мы получаем

В дальнейшем ограничимся случаем, когда априорное распределение имеет прямоугольную форму

Этого всегда можно добиться надлежащей заменой переменных. Функции изображены на рис. 51.

Рис. 51. Прямоугольное распределение параметра (априорное).

Если мы в интеграле (52.31) ограничимся интервалом то в виду положительности подынтегральных функций мы можем только уменьшить значение интеграла, и поэтому

Для подынтегральной функции в последнем выражении можно вывести следующее неравенство

где

есть вероятность ложной тревоги при простом обнаружении, соответствующая нормированному порогу [см. формулу (31.34)], а

есть отношение сигнал/помеха в задаче об обнаружении разностного полезного сигнала

на фоне нормальных коррелированных помех.

Неравенство (52.34) доказывается следующим образом. Пусть на фоне помех производится прием одного из сигналов или , причем априорная вероятность каждого из них равна у. Оптимальный приемник, производящий различение двух взаимно исключающих случаев

есть по существу оптимальный приемник обнаружения разностного сигнала (52.37) в известной разностной функции

Такой (приемник однозначно определяется, например, заданием вероятности ложной тревоги или порога в формуле (52.35), вероятность правильного обнаружения зависит еще от параметра (52.36). Полная вероятность принятия правильного решения определяется формулой (30.11), а полная вероятность ошибки V при равновероятности обоих сигналов равна

Она зависит от Производная

обращается в нуль при условии

[ср. формулу (31.39)], что, как легко видеть, соответствует минимуму Учитывая, соотношение

мы видим, что Для Достижения минимального значения V надо в формуле (31.34) положить

и формула (31.35) принимает вид

откуда окончательно

Левая часть соотношения (52.34) равна полной вероятности ошибки для приемника, осуществляющего различение сигналов с помощью измерения параметра х. При этом считается принятым первый сигнал, если измеренное значение параметра — меньше и второй сигнал — при Поскольку такой способ различения двух сигналов является неоптимальным и во всяком случае не может приводить к вероятности ошибки, меньшей чем вероятность (52.46), мы и получаем неравенство (52.34).

Формулы (52.33) и (52.34) приводят к выражению

связывающему вероятность ошибки при измерении параметра х с вероятностью ложной тревоги при обнаружении разностного сигнала (52.37).

При Достаточно малых можно положить

и поэтому величина (52.36) приближенно равна

где определяется формулой (52.28). Поэтому правая часть формулы (52.45) равна

Если помехи достаточно слабы и измерение производится по максимуму коэффициента правдоподобия, то с помощью распределения (52.29) можно вычислить условную вероятность ошибки

и полная вероятность ошибки равна

Сравнивая последнее выражение с формулами (52.47) и (52.50), мы видим, что если измерение производится по коэффициенту правдоподобия, то при малых ошибках и слабых помехах знак, неравенства в соотношении (52.47) можно заменить на знак равенства. Приемник, осуществляющий такое измерение, является оптимальным в том смысле, что обеспечивает минимальную вероятность ошибки В других случаях формула (52.47) дает, вообще говоря, лишь одностороннюю оценку погрешности измерения и вероятность ошибки может значительно превосходить минимальное значение (ср. конец § 56).