§ 44. КОЭФФИЦИЕНТ ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ НЕКОГЕРЕНТНОЙ ПАЧКИ

Пачку из некогерентных сигналов, приходящих в приемник от мерцающей цели, можно представить в виде (43.02), однако в отличие от когерентной пачки, для которой справедлива формула (43.08), фазы независимы, поскольку излучаемые сигналы имеют случайные фазы, которые при приеме не используются, т. е. считаются неизвестными. Что же касается аплитуд то они в общем случае статистически связаны друг с другом. Если их нормировать по формуле (43.07), то одномерная функция распределения равна

а двухмерная функция распределения определяется формулой (60.19).

Коэффициент правдоподобия, определяющий функционирование оптимального приемника обнаружения, получается в результате интегрирования функции

по всем возможным значениям Здесь

есть плотность вероятности случайных величин а в силу формулы имеем:

где элементы матрицы, обратной

есть эффективное отношение сигнал/помеха за один период повторения (при введенное в § 38.

Интегрирование функции (44.02) по всем фазам являющимся независимыми случайными величинами, приводит к коэффициенту правдоподобия

где величины

были введены выше в формулах (37.15).

Дальнейшее усреднение по при дает

Этот результат мы уже имелив § 34 [см. формулу (34.16)]. При в силу формулы (60.19) мы получаем интеграл

где

Дважды применив формулу для второго экспоненциального интеграла Вебера (см. Ватсон, стр. 433), мы получим из формулы (44.09) выражение

где

Рассмотрение пачки из трех и более сигналов при произвольном законе мерцания наталкивается на серьезные трудности. Поэтому при мы ограничимся исследованием предельных случаев, соответствующих независимым (или быстрым) и полностью коррелированным (медленным или одинаковым) мерцаниям. Для независимых мерцаний все являются независимыми случайными величинами, и формулы (44.06) и (44.08) дают

Наоборот, для полностью коррелированных мерцаний все равны, и

Если воспользоваться приближенным выражением

пригодным при малых значениях аргумента х, то интеграл (44.14) вычисляется, и

Формула (44.13) показывает, что оптимальный приемник, обнаруживающий быстро мерцающую цель, должен образовывать величину по формуле

т. е. производить оптимальную внутрипериодную обработку входного сигнала (ср. § 33 и 38) и затем — накопление после квадратичного детектора. Если мерцания происходят более медленно, то коэффициент правдоподобия, как видно из формул (44.11) и (44.16), выражается через величину (44.17) при малых т. е. при малых значениях параметра (44.05). Тот же результат получается при отсутствии мерцаний, когда сигналы в пачке имеют фиксированную амплитуду (ср. § 37). При малых потребность в оптимальной обработке многих периодов повторения наиболее велика, поскольку тогда по данным одного периода к достоверным решениям придти нельзя: по этой причине мы будем исследовать приемник, образующий величину (44.17).

Из формул (44.11) и (44.14) следует, что при интенсивных и сильно коррелированных сигналах оптимальное накопление должно производиться после линейного детектора. Действительно, при формула (44.13) принимает вид

причем предэкспоненциальный множитель на значение влияет слабо. Заменяя в интеграле (44.14) функции асимптотическим выражением (37.21), подобным же образом приходим к заключению, что коэффициент в основном определяется величиной

получаемой в результате накопления после линейного детектора или, иначе говоря, линейного суммирования.

В следующем параграфе мы вычислим вероятности для приемника, образующего величину (44.17), т. е. производящего квадратичное суммирование и принимающего решение по схеме

где порог.