§ 61. ТЕПЛОВЫЕ И ДРОБОВЫЕ ШУМЫ КАК ПРИМЕРЫ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Случайные величины возникают при рассмотрении «выборок» случайных процессов, т. е. значений различных случайных функций времени в дискретные моменты. При этом нормальными, или гауссовыми, случайными процессами называются такие процессы, выборки из которых имеют распределение Гаусса (см. § 59), или, что то же самое, характеристическую функцию вида (58.07).

В теории оптимальных приемников обычно предполагают, что помеха является стационарным случайным процессом нормального типа. Часто делают еще одно дополнительное предположение (от которого мы полностью освободились в данной книге), что помеха является «белым шумом», т. е. имеет постоянную спектральную интенсивность, и, будучи некоррелированной во времени («абсолютно случайный процесс»), может быть представлена, как беспорядочное наложение возмущений с нулевой длительностью (ср. § 12 и 17). Существенно отметить, что собственные шумы приемника — тепловые и дробовые, которые будут подробно рассмотрены ниже, дают основание для такой идеализации. Однако представление о

помехе как о белом шуме ведет к Некоторым математическим трудностям, не вполне соответствует физической реальности и, что особенно важно, не позволяет включить в рассмотрение интересный вид помех, встречающихся в радиолокации, а именно помех, обусловленных хаотическими отражениями (см. гл. XI).

Поскольку внутренние шумы приемников рассматриваются на протяжении всей книги, целесообразно разобрать вкратце физическую сторону этих явлений.

Тепловые шумы возникают вследствие теплового движения электрических зарядов в проводниках. В каждом сопротивлении, находящемся при абсолютной температуре в состоянии термодинамического равновесия, в результате флюктуаций возникает случайная электродвижущая сила спектральная интенсивность которой равна

где постоянная Больцмана, сопротивление. Это соотношение применимо к любому элементу электрической цепи, причем в общем случае определяется по формуле

где импеданс данного элемента при частоте со.

Мы видим, что для чисто омического сопротивления, не зависящего от частоты, флюктуационная электродвижущая сила является белым шумом, поскольку ее спектральная интенсивность является константой. Фактически, разумеется, при достаточно высоких частотах постоянство всегда нарушается вследствие остаточных емкостей или индуктивностей, скин-эффекта или квантовых явлений. Нужно еще учесть, что при росте частоты квазистационарное рассмотрение цепи и вместе с ним формула (61.01) теряют свой смысл.

Оказывается, что для металлических проводников формулу (61.01) можно применять в случае, когда по ним текут постоянные или переменные токи, т. е. когда, строго говоря, термодинамическое равновесие отсутствует. Объясняется это тем, что прохождение не слишком сильных токов через металлический проводник возмущает тепловое движение электрических зарядов лишь в незначительной степени, так что флюктуации по-прежнему, подчиняются формуле (61.01).

Дробовой эффект в электронных лампах возникает как результат дискретной структуры электронного потока.

Если, например, мы имеем диод, к которому приложено достаточно большое анодное напряжение, так что все испускаемые катодом электроны поступают на анод (рис. 56, а), то вследствие флюктуаций катодной эмиссии на средний анодный ток накладывается случайный «дробовой» ток со спектральной интенсивностью

где есть абсолютная величина заряда электрона. Мы видим, что возникающий благодаря дробовому эффекту, также можно считать белым шумом, поскольку его спектральная интенсивность не зависит от .

Рис. 56. Электронные потоки в диоде: а) обычный диод—электроны движутся от катода к аноду; б) «равновесный» диод—электроны движутся навстречу друг другу и полный анодный ток равен нулю.

Фактически, если под понимать то к во внешней цепи диода, формула (61.03) применима при условии

где есть время пролета электрона через диод или длительность импульса во внешней цепи, появляющегося при прохождении одного электрона от катода к аноду. При происходит резкое спадание спектральной интенсивности дробовых шумов.

В сущности говоря, дробовой шум является физической реализацией той модели случайного процесса, которую мы рассматривали в § 12, поскольку он состоит из беспорядочно возникающих возмущений (импульсов) стандартной формы.

Благодаря наличию пространственного заряда в электронных лампах лишь часть испускаемых катодом электронов доходит до анода. Оказывается, что пространственный заряд уменьшает дробовой эффект, так что для диода формула (61.03) видоизменяется следующим образом:

где есть так называемый коэффициент депрессии дробового эффекта, -анодный ток.

Отметим, что электронная лампа является

неравновесной системой, поэтому для нее формула (61.01) неприменима и флюктуации имеют совершенно иную физическую природу, что и находит свое отражение формулах (61.03) и (61.05) для диода. Интересно, что можно себе представить электрическую цепь с «равновесным» диодом (рис. 56, б), катод и анод которого находятся при одинаковых температуре и напряжении и выполнены из одного и того же материала, способного испускать электроны. Если для простоты считать, что по внешней цепи анод и катод замкнуты накоротко, и обозначить через внутреннее сопротивление равновесного диода (по отношению к малым анодным напряжениям и токам), то тепловая возникающая в равновесном диоде, будет связана с флюктуационным током через диод соотношением

поэтому по формуле (61.01) получаем

С другой стороны, при не слишком больших плотностях заряда соударениями электронов друг с другом в пространстве между катодом и анодом можно обычно пренебречь, поэтому единственным «случайным элементом» в системе, изображенной на рис. 56, б, является электронная эмиссия. Если обозначить через ток, который проходит от катода к аноду, то ток в равновесном диоде будет течь в противоположном направлении от анода к катоду, причем каждый из этих токов должен испытывать дробовой эффект. Поэтому для равновесного диода мы должны иметь формулу

Формулы (61.07) и (61.08) должны совпадать, поэтому сопротивление равновесного диода должно быть равно

Детальное микроскопическое рассмотрение электронных потоков в диоде подтверждает последнее выражение. Таким образом, в данном примере дробовой и тепловой шумы представляют собой разные названия для одного и того же явления.

При отсутствии теплового равновесия спектральную интенсивность дробового тока часто представляют в виде

где называется коэффициентом депрессии тепловых шумов. Оказывается, что в диоде с задерживающим напряжением и холодным анодом

причем в этом случае формулы (61.03) и (61.10) эквивалентны. В плоском диоде с ускоряющим анодным напряжением и сильным пространственным зарядом (таким, что справедлив так называемый закон трех вторых, по которому анодный ток в основном определяется анодным напряжением и практически не зависит от тока эмиссии)

причем в этом случае коэффициент в формуле (61.05) мал.

Выше мы рассмотрели простейшие системы, в которых проявляются тепловые и дробовые шумы. В реальных системах эти шумы подвергаются преобразованиям. Например, в приемных устройствах дробовой и тепловой эффекты усиливаются, претерпевают фильтрацию и т. д. В теории оптимальных приемников мы предполагаем, что помеха, эквивалентная всем внутренним шумам приемника, как бы отнесена к его входному звену и представлена в виде случайного процесса с известными статистическими свойствами.

Тепловые и дробовые шумы являются классическими примерами нормальных случайных процессов, причем после прохождения через линейные системы (частотные фильтры) они остаются нормальными. Последнее следует просто из того, что при линейном преобразовании

новые случайные величины по-прежнему являются нормальными, т. е. имеют распределение Гаусса.

Другим примером нормального Случайного процесса, как мы уже указывали, является радиолокационная помеха, вызванная отражением., от многих хаотически движущихся рассеивателей (см. гл. XI).