ГЛАВА IV. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 23. ФИЛЬТРАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Наряду со случайными процессами, рассмотренными ранее, представляют интерес и случайные последовательности (последовательности случайных величин). Элементы случайной последовательности мы будем обозначать через и т. д., где есть целочисленная переменная: или которую для наглядности мы будем называть временем (дискретное время). Переменная является в сущности индексом, т. е. можно вместо писать Однако обозначение более удобно, поскольку получается единообразие, облегчающее перенос ряда понятий из теории случайных процессов в теорию случайных последовательностей.

Пусть две стационарные случайные последовательности имеют равные нулю средние значения

Введем их взаимную корреляционную функцию по формуле

и (авто) корреляционную функцию

Эти определения отличаются от соответствующих определений для случайных процессов только тем, что переменные являются целочисленными. Стационарность последовательностей проявляется в том, что корреляционные функции (23.02) и (23.03) не зависят от

Проблема фильтрации стационарных случайных последовательностей ставится следующим образом. Пусть мы имеем входную последовательность

состоящую из полезного сигнала и помехи Требуется по известным значениям в моментов с наибольшей возможной точностью определить при фильтрация соединяется с прогнозированием (упреждением), при это есть "чистая" фильтрация.

В общем виде решена лишь задача о линейной фильтрации, когда ищется наилучшая формула вида

для величины с наименьшей ошибкой воспроизводящей нужное нам значение При этом используется критерий средней квадратичной ошибки, для чего вводится ошибка

и образуется ее средний квадрат

Пользуясь формулами (23.02) и (23.03), можно написать

и выражение (23.07) преобразуется к виду

Оптимальная линейная фильтрация соответствует минимуму , который можно найти по правилам дифференциального исчисления, полагая

в результате чего получаем систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов и

из которой эти коэффициенты определяются, вообще говоря, однозначно, ибо число уравнений равно числу неизвестных Система алгебраических уравнений (23.11) аналогична интегральному уравнению оптимального линейного фильтра (§ 2) или его обобщению (§ 5), поскольку теперь выделяемый сигнал есть

Как в теории фильтров для случайных процессов, решение уравнений (23.11) действительно дает минимум средней квадратичной ошибки (а не просто экстремум), что не- трудно доказать тем же путем.

Если мы возьмем коэффициенты в соответствии с уравнениями (23.11), то средний квадрат ошибки фильтрации будет раъен

или

Соотношения, полученные выше для линейной фильтрации стационарных последовательностей, отличаются более элементарным характером: в них фигурируют суммы и алгебраические уравнения вместо интегралов и интегральных уравнений, полученных ранее в теории фильтрации случайных процессов. Однако в вычислительном отношении дело обстоит не так просто, поскольку при больших (скажем, при численное решение уравнений (23.11) является довольно трудоемкой задачей, быстро усложняющейся при росте Я.

Чтобы получить общую ориентировку в возможностях линейной фильтрации, будем считать, что случайная последовательность нам известна целиком, т. е. при

и нам нужно найти формулу фильтрации

с наименьшей ошибкой воспроизводящую значение Такая постановка в теории случайных процессов ведет к фильтру I типа, дающему среди всех линейных фильтров наименьшую среднюю квадратичную ошибку. Здесь эта постановка задачи ведет также к наилучшей фильтрации, поскольку используется бесконечная в обе стороны последовательность

В данном случае уравнения (23.11) принимают вид

Их решение можно получить в замкнутом виде. Для этого умножим каждое уравнение (23.17) на и просуммируем по всем

Левая часть этого уравнения преобразовывается следующим образом:

Введем по аналогии с § 2 обозначения

и, кроме того, обозначим

тогда уравнение (23.18) можно записать в виде

откуда

Зная функцию мы легко найдем коэффициенты в формуле фильтрации. Действительно, формула (23.21) является в сущности комплексным рядом Фурье. Если умножить обе части формулы (23.21) на и проинтегрировать от до или в пределах любого другого интервала длиной то получаем

Аналогичным образом производится "обращение формул (23.20)

Подсчитаем теперь средний квадрат ошибки фильтрации. Имеем

поскольку

в силу вещественности коэффициентов . в формуле (23.21). Окончательно формула (23.13) преобразуется в виду

аналогичному выражению (2.31). Подставляя в формулу (23.28) выражение (23.23), получаем

Если полезный сигнал и помеха некоррелированы (или статистически независимы), то

и мы приходим к соотношениям

и

Физический смысл этих соотношений тот же, что и смысл соответствующих формул § 2. В следующем параграфе мы на нем остановимся подробнее.