§ 11. ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА II ТИПА

Решение интегрального уравнения оптимального фильтра II типа, полученное в § 9, существенным образом опиралось на теорию функций комплексного переменного. В данном параграфе мы модифицируем это решение таким образом, чтобы в него входили значения функций при вещественных со, для которых их можно фактически найти путем «спектрального анализа» соответствующих случайных процессов.

Начнем с вычисления функций Оказывается, что их можно вычислить другим путем, особенно удобным для вещественных частот Этот путь устанавливает связь функций с теорией электрических цепей.

Возьмем функцию

определяемую леммой Считая вещественным, сведем вычисление этого интеграла лишь к интегралу по вещественной оси. Для этого, пользуясь аналитичностью функции опустим контур интегрирования на вещественную ось, обходя сверху (рис. 11). Провести путь интегрирования через этот полюс нельзя, так как интеграл будет расходящимся из-за окрестности точки

Действительно, предел

при независимом стремлении положительных чисел к нулю не существует. Однако при предел существует и называется главным значением интеграла по Коши. Мы его обозначим так же, как обычный интеграл:

Таким путем интегралу по вещественной оси можно придать определенный смысл но он будет отличаться от первоначального интеграла (11.01).

В теории функций комплексного переменного доказывается, что интеграл (11.01) равен

Действительно, интеграл по контуру, изображенному на рис. 11, равен половине вычета в точке (т. е. интегралу по бесконечно малой окружности) и интегралу по вещественной оси (в главном значении).

Рис. 11. Контур интегрирования, идущий по вещественной оси и огибающий точку сверху.

Если есть четная функция, то

и формула (11.04) принимает вид

Этот интеграл имеет лучшую сходимость при чем интеграл (11.04).

Применим формулу (11.06) к функциям (ср. § 10)

тогда

причем мы предполагаем, что интеграл справа сходится (это заведомо так, если рациональная функция). Принимая во внимание, что

и обозначая

мы можем для вещественных окончательно написать

Таким образом, первое слагаемое в правой части формулы (11.08) дает абсолютную величину функции второе — фазу, причем при вещественных значениях

Этим соотношением мы уже пользовались в § 9.

В теории электрических цепей часто ставится такая задача. Известна амплитудно-частотная характеристика (абсолютная величина коэффициента передачи) некоторого фильтра II типа для всех частот от 0 до Возникает вопрос, чему равна фазовая характеристика Она должна быть такой, чтобы комплексная частотная характеристика

определяла фильтр, использующий входной процесс лишь в прошлом и настоящем, но не в будущем. Функцию в частности, можно определить формулой

подобной формуле (11.10). Действительно, для фильтра II типа функции должна быть аналитической в нижней полуплоскости (ср. § 9, требование ), а вместе с тем она удовлетворяет соотношению (3.08)

где функция очевидно, должна быть аналитической в верхней полуплоскости. Легко показать, что соотношение (11.15) применимо и к частотным характеристикам вида (8.09). Поэтому задача о нахождении по сводится к задаче о разбиении данной функции на

множители (11.15), откуда и получаем формулу (11.14).

Для вычислений удобно переписать формулу (11.10) так

где дополнительное слагаемое, благодаря которому обеспечивается сходимость интеграла в точке причем в силу тождества

это не изменяет результата.

Дальнейшее изложение опирается на следующую лемму.

Лемма II. Пусть функция удовлетворяет условиям леммы I в некоторой полосе

и пусть функция равна

Тогда функции могут быть вычислены по формулам

Доказательство леммы II почти очевидно. Подставляя в формулу (11.19) разложение

мы получим

где

Функции по лемме I убывают на бесконечности, и интегралы (11.23) имеют смысл. Функция является аналитической в верхней полуплоскости, поэтому при можно деформировать путь интегрирования наверх и преобразовать его в бесконечно большую полуокружность, опирающуюся на вещественную ось. Интеграл по этой полуокружности равен нулю в силу леммы Жордана, условия которой в данном случае выполняются. Поэтому

и аналогично

Воспользовавшись обращением интегралов (11.23), будем иметь

В силу формул (11.22), (11.24) и (11.25) интегралы (11.26) и (11.20) совпадают, что и доказывает лемму И.

Эта лемма позволяет по-новому подойти к определению оптимального линэйного фильтра II типа. Учитывая все сказанное, можно рассчитывать оптимальный линейный фильтр по следующим этапам.

1-й этап сводится к вычислению и способом, изложенным выше. Если функция о) задана аналитически (например, в рациональном виде), то лучше пользоваться функциями Когда задана эмпирически (в виде некоторой кривой), то этого сделать нельзя, и следует пользоваться формулами (11.11) и (11.16).

2-й этап. Образуем функцию по формуле

и ее преобразование Фурье

если функция удовлетворяет условиям леммы I.

Если же (ср. конец § 9)

где удовлетворяет условию леммы I, а полином, то функцию вычисляем по формуле

Для дальнейшего функция нужна лишь при

3-й этап сводится к вычислению функции Ее можно вычислить с помощью леммы II по формуле

Если все спектральные функции заданы аналитически, то вместо функции можно пользоваться формулами § 9.

4-й этап совершенно элементарен. Искомая частотная характеристика вычисляется по формуле

Здесь берутся функции знаком минус, ибо фильтр II типа не использует входного процесса в будущем.

Эти четыре этапа удобны, когда исходные функции заданы эмпирически. Иногда имеет смысл написать вместо четырех формул одну общую

Это и есть окончательная формула для фильтров II типа.

Если функция не удовлетворяет условию

леммы выделяется та часть ее для которой внутренний интеграл по в формуле (1133) существует. В формуле (11.33) мы уже освободились от продолжения в область комплексных частот, где измерять нельзя.

Рассуждения, изложенные выше, относятся ко всем фильтрам II типа — прогнозирующим фильтрам и фильтрам, только отсеивающим помехи, а также к фильтрам, сочетающим прогнозирование или преобразование полезного сигнала с отсеиванием помех. Дальше мы рассмотрим некоторые частные случаи таких фильтров.

Следует также отметить, что если есть рациональная функция частоты, то всегда можно подобрать радиотехническую схему из индуктивностей, емкостей и сопротивлений, которая осуществляет данный оптимальный фильтр. Таким образом, теория оптимальной фильтрации приводит нас к частотным фильтрам, широко применяемым в радиотехнике. Элементарный пример такого фильтра будет дан в § 15.